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第4讲 二次根式
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次根式的相关概念
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
考点二 二次根式的性质与化简
题型01 利用二次根式的性质化简
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 换元法
技巧五 拆项法
技巧六 整体代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 辅元法
技巧十 先判断后化解
考点要求 新课标要求 命题预测
二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
二次根式的性质与化简 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简
二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
考点一 二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
题型01 二次根式有意义的条件
【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【解答】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【考点】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若有意义，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
【考点】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【解答】解：根据题意得，，
解得，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【考点】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．
【解答】解：依题意，
∴且，
故答案为：且．
【考点】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
题型02 判断最简二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答案．
【解答】A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选C．
【考点】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【解答】解：时，，是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【考点】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型03 判断同类二次根式
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【考点】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【解答】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【考点】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．
【变式3-2】下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】A．化简后不能与合并，不合题意；
B．化简后不能与合并，不合题意；
C．化简后不能与合并，不合题意；
D．化简后能与合并，符合题意；
故选：D．
【考点】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键．
【变式3-3】若最简根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：2．
【考点】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． = ， =
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
题型01 利用二次根式的性质化简
【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：．
故选：B．
【考点】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【解答】解：＝2，
故选：A．
【考点】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可
【解答】解：∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
【考点】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．
【解答】解：∵
∴
∵为正整数
∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数
∴为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【考点】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.
【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【解答】解∶∵根据数轴得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【考点】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
【变式2-1】实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【解答】由数轴位置可知，
．
【考点】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键．
【变式2-2】（2022遂宁中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【考点】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
技巧二 估值法
方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.
【例3】（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【解答】解：
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【考点】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
【解答】解： ，
∵，
∴，
即，
故选：B．
【考点】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
【变式3-2】若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是 ．
【答案】
【分析】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
【解答】设被覆盖的数是，根据图形可得
，
∴，
∴三个数，，中符合范围的是．
故答案为：．
【考点】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．
技巧三 公式法
方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.
【例4】（2022·天津红桥·三模）计算的结果等于 ．
【答案】3
【分析】利用平方差公式解答．
【解答】解：
故答案为：3．
【考点】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式算出，再结合已知条件求出结果．
【解答】 ，，
，
．
故答案为：．
【考点】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式4-2】计算：．
【答案】
【解答】
解：
．
【考点】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
【变式4-3】计算：．
【答案】
【解答】解：
=
=
=
【变式4-4】 ．
【答案】25
【分析】利用平方差公式把原式变形为，即可求解．
【解答】解：
；
故答案为：25
【考点】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
技巧四 换元法
方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.
【例5】已知n＝＋1，求的值．
【答案】+1
【解答】
设a=n+2+，b=n+2-，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2），
∴原式=
=
=n．
当n＝＋1时，原式＝＋1.
技巧五 拆项法
方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项.
【例6】计算：.[分析：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]
【答案】
【分析】根据题中分析进行拆分，在进行化简即可.
【解答】解：原式＝=
＝+
＝+
＝+
＝.
技巧六 整体代入法
方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.
【例7】已知，，则 ．
【答案】17
【分析】先对x和y进行分母有理化，将所给的多项式化为，再计算和的值后，代入计算即可．
【解答】解：，
原式=
∵，，
∴原式，
故答案为：17．
【考点】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
【变式7-1】已知，，求的值．
【答案】23
【分析】利用分母有理化化简可得，，再代入求值即可；
【解答】解：∵，
，
∴
．
【考点】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，解决问题关键是掌握分母有理化．
【变式7-2】已知：，．求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分母有理化，化简，据此求解即可；
（2）提取公因式得到，再整体代入求解即可．
【解答】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∴
．
【考点】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
【变式7-3】已知，，求．
【答案】62
【分析】利用分母有理化化简、，求出和，再将所求式子利用分式加法法则变形，代入计算即可．
【解答】解：，，
∴，，
则
．
【考点】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式是解题的关键．
技巧七 因式分解法
方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果.
【例8】计算：.
【答案】
【解答】分析：把分母变形为：，然后提出（）即可求解.
解：.==
=
＝
＝
＝.
技巧八 配方法
【例9】若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求的值．
【答案】
【解答】试分析：利用二次根式的定义求出a与b的值，再把原式进行化简，把a，b的值代入化简结果进行计算即可得到结果．
解：由二次根式的定义，得，
∴3－5a＝0，∴a＝.∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
∴＝
=
当a＝，b＝15时，
原式＝.
【变式9-1】可以用配方法化简二重根式，
例如：，
请化简式子： ．
【答案】2
【分析】先把，分别化为与，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可．
【解答】解：
；
故答案为：2
【考点】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键．
技巧九 辅元法
方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值.
【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
【答案】
【解答】
设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
∴原式＝.
【变式10-1】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【解答】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴
解得
故答案为：
【考点】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
技巧十 先判断后化解
【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
【答案】
【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提取公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可．
【解答】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
∴原式=
=.
【变式11-1】先化简再求值
(1)已知：，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)2
(2)7
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得的值，从而得的范围，从而可将要求的式子化简求解；
（2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将的值代入计算即可．
【解答】（1）∵，，，
∴ ，
∵
∴




∴的值为2．
（2）∵

∴





∴的值为7．
【考点】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，是解题的关键．
考点三 二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
题型01 二次根式的乘除运算
【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【考点】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
【变式1-1】（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【解答】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
故选：C
【考点】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
【考点】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
【变式1-3】（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：．
故选：A．
【考点】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式1-4】（2023益阳市中考）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】．
故答案为：．
【考点】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．
题型02 二次根式的加减运算
【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】先化简二次根式，再计算减法．
【解答】解：，
故答案为：1．
【考点】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
=
=，
故答案为：．
【考点】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
【变式2-2】（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【考点】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
【变式2-3】（2023淄博市一模）已知实数m、n满足，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可．
【解答】∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【考点】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出和的值是解题的关键．
【变式2-4】（2020·河北·中考真题）已知：，则 ．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【解答】∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案为：6．
【考点】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
题型03 二次根式的混合运算
【例3】（2023·山东聊城·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【解答】解：
故答案为：3．
【考点】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【变式3-1】（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
【考点】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
【变式3-2】（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【解答】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【考点】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式3-3】（2023·甘肃武威·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
．
【考点】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
题型04 二次根式的化简求值
【例4】（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可．
【解答】解：
当时，原式
【考点】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【考点】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
【变式4-2】（2021·北京·一模）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=
，
当时，原式=．
【考点】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
=
=
=；
当时，
原式=．
【考点】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【解答】由题得：、
∴
故选：C.
【考点】本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
题型05 二次根式的应用
【例5】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为，，，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据a，b，c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【解答】解：∵，，，
∴，
则．
故答案为：．
【考点】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-1】（2022·江苏无锡·校联考一模）按一定规律排列的一列数：，，，，……其中第5个数为 ，第n个数为 （n为正整数）．
【答案】 ，
【分析】首先将转换成，再分析分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
【解答】将转换成之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，，
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是，
所以第5项的分子应是，则第n个数分子为，
故第5个数为，第n个数为，
故答案为：，．
【考点】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将转换成，同时对分子中的规律也应注意把握．
【变式5-2】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）观察下列各式：①，②，③，…，请写出第6个式子： ，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
【答案】
【分析】观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
【解答】解：观察可知：第6个式子为：；
一般规律为：
故答案为：；
【考点】本题考查二次根式有关的规律题．旨在考查学生的推理能力．
【变式5-3】（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【答案】(1)2；
(2)y的最小值为11
(3)49
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，求出最小值即可．
【解答】（1）解：∵当时，，即，
∴的最小值为2；
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值为；
故答案为：2；；
（2）解：，
，
，
∴当时，y的最小值为11．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴，
，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为49 ．
【考点】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
【变式5-4】（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和
利用根与系数的关系得： _____；_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
【答案】；；见解析
【分析】令，则，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值．
【解答】解：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和.
利用根与系数的关系得：；；
∴
．
【考点】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
【变式5-5】（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系．
(1)观察猜想：与的大小关系是______．
(2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______．
(3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．

(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．
【答案】(1)
(2)；
(3)；
(4)矩形周长的最小值为4．
【分析】（1）根据题意作出猜想即可；
（2）代入数据，计算即可得出答案；
（3）易得，再通过证明，利用相似比得，根据直角边与斜边的关系得（当C点为半圆的中点时取等号），所以；
（4）设矩形的两边分别为a、b，则，利用得，即，所以，于是可得矩形周长的最小值．
【解答】（1）解：猜想：与的大小关系是．
故答案为：；
（2）解：当时，，，
∴；
当时，，，
∴．
故答案为：；；
（3）解：∵为直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵（当C点为半圆的中点时取等号），
∴；
（4）解：设矩形的两边分别为a、b，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴矩形周长的最小值为4．
【考点】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何的方法比较代数式的大小．第4讲 二次根式
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次根式的相关概念
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
考点二 二次根式的性质与化简
题型01 利用二次根式的性质化简
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 换元法
技巧五 拆项法
技巧六 整体代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 辅元法
技巧十 先判断后化解
考点要求 新课标要求 命题预测
二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
二次根式的性质与化简 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简
二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
考点一 二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
题型01 二次根式有意义的条件
【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若有意义，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
题型02 判断最简二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是 ．
题型03 判断同类二次根式
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式3-2】下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】若最简根式与是同类二次根式，则 ．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． = ， =
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
题型01 利用二次根式的性质化简
【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ．
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.
【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【变式2-1】实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【变式2-2】（2022遂宁中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
技巧二 估值法
方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.
【例3】（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是 ．
技巧三 公式法
方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.
【例4】（2022·天津红桥·三模）计算的结果等于 ．
【变式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：，则 ．
【变式4-2】计算：．
【变式4-3】计算：．
【变式4-4】 ．
技巧四 换元法
方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.
【例5】已知n＝＋1，求的值．
技巧五 拆项法
方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项.
【例6】计算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]
技巧六 整体代入法
方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.
【例7】已知，，则 ．
【变式7-1】已知，，求的值．
【变式7-2】已知：，．求值：
(1)
(2)
【变式7-3】已知，，求．
技巧七 因式分解法
方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果.
【例8】计算：.
技巧八 配方法
【例9】若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求的值．
【变式9-1】可以用配方法化简二重根式，
例如：，
请化简式子： ．
技巧九 辅元法
方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值.
【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
【变式10-1】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
技巧十 先判断后化解
【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
【变式11-1】先化简再求值
(1)已知：，求的值．
(2)已知，求的值．
考点三 二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
题型01 二次根式的乘除运算
【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-3】（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：等于（　　）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023益阳市中考）计算： ．
题型02 二次根式的加减运算
【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）计算： ．
【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ．
【变式2-2】（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023淄博市一模）已知实数m、n满足，则 ．
【变式2-4】（2020·河北·中考真题）已知：，则 ．
题型03 二次根式的混合运算
【例3】（2023·山东聊城·中考真题）计算： ．
【变式3-1】（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
【变式3-2】（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】（2023·甘肃武威·中考真题）计算：．
题型04 二次根式的化简求值
【例4】（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【变式4-2】（2021·北京·一模）已知，求代数式的值．
【变式4-3】（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）先化简，再求值：，其中．
【变式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
题型05 二次根式的应用
【例5】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为，，，b，c，若，，，则的面积为 ．
【变式5-1】（2022·江苏无锡·校联考一模）按一定规律排列的一列数：，，，，……其中第5个数为 ，第n个数为 （n为正整数）．
【变式5-2】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）观察下列各式：①，②，③，…，请写出第6个式子： ，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
【变式5-3】（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【变式5-4】（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和
利用根与系数的关系得： _____；_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
【变式5-5】（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系．
(1)观察猜想：与的大小关系是______．
(2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______．
(3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．

(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（≥0）的式子叫做二次根
式，“√”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
二次根式的相关概念 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 题型03 判断同类二次根式
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相
同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
被开方数是非负数，即a≥0
双重非负性
二次根式的值是非负数，即√a≥0 题型01 利用二次根式的性质化简
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
二次根式的性质与化简 技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 换元法
二次根式 技巧五 拆项法
其它性质 技巧六 整体代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 辅元法
技巧十 先判断后化解
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab
=√a √b （a≥0，b≥0）
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即√a/ 题型01 二次根式的乘除运算
√b=√(a/b)（a≥0，b＞0）. 题型02 二次根式的加减运算
二次根式的运算 题型03 二次根式的混合运算 加减法法则 一化、二找、三合并 题型04 二次根式的化简求值
分母有理化 方法 题型05 二次根式的应用
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去
掉括号)．
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