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2023-2024学年新疆乌鲁木齐市六校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知函数是幂函数，则( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
5.若偶函数在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
8.若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “，”是“”的充分不必要条件
10.若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域和值域均为 B. 为偶函数
C. 的单调递减区间为 D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.集合的子集有______个．
14.已知角的终边过点，则的值是______ ．
15.不等式的解集为______ ．
16.函数，的部分图象如图所示，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
求；
求．
18.本小题分
计算下列各式．
；
．
19.本小题分
已知函数．
判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
判断函数的奇偶性，并证明．
20.本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调递减区间；
当时，求证：．
22.本小题分
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为．
将表示为关于的表达式，并写出的取值范围；
当取何值时，矩形广告的总面积最小？并求出总面积最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，当时，则；当时，则，故C错误；
若，则，故D正确
故选D
根据不等式式的性质，令，可以判断的真假；由不等式的性质，可以判断，的真假；由不等式的性质，可以判断的真假，进而得到答案．
本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题知，解得，
，
．
故选：．
根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以且，
所以函数定义域为．
故选：．
根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出函数定义域．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在上的单调性，属于基础题．
根据题意，由函数为偶函数分析可得，结合函数的单调性分析可得，综合分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，
又由在上单调递增，且，则有，
即有，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
可得，
所以．
故选：．
根据题意，求得，再求得，结合倍角公式，即可求解．
本题考查三角函数求值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，
根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是
故选：．
确定，，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当时等号成立．
所以，，
解得或，
所以的取值范围是．
故选：．
利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围．
本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对：命题“，”的否定是“，使得”，故A错误；
对：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立．
故选：．
因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；中方程应该对是否为进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定的真假；根据充要条件的判定对进行判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确．
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确．
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误．
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误．
故选：．
由题意，根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可．
本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，的终边与相同，为第三象限角，选项A正确；
对于，设扇形的半径为，则弧长为，所以，扇形的面积为，选项B错误；
对于，若角的终边过点，根据三角函数的定义，，选项C正确；
对于，若角为锐角，则，所以，故是锐角或直角或钝角，选项D错误．
故选：．
根据象限角的定义判断；根据扇形的弧长公式和面积公式计算判断；根据三角函数的定义可判断；根据的范围，求出的范围可判断．
本题考查了象限角的定义与扇形的弧长和面积计算问题，也考查了三角函数的定义应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：画出函数的图象，如图所示：
对于，由图可知，函数的定义域为，值域为，故A正确；
对于，由图可知，函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故B错误；
对于，由图可知，的单调递减区间为，故C正确；
对于，当时，，
，
解得或，
，
当时，，
，
无解，
综上所述，不等式的解集为，故D正确．
故选：．
画出函数的图象，数形结合判断各个选项即可．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：集合的子集有：
，，，，共个．
故答案为：
集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．
本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题一般来说，若中有个元素，则集合的子集共有个．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，，
故答案为：．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，，即．
由于在上单调递增，所以，
即，
解得或，所以不等式的解集为．
故答案为：．
由题意，根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案．
本题主要考查指数函数的单调性，指数不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由函数图象可知：，可解得：，故，
由点在函数图象上，有，既有：，
由，可解得：．
故：．
故答案为：．
由函数图象可知：，可解得，由周期公式可求，由点在函数图象上，结合的范围，可求，从而可得函数解析式，即可求值得解．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，其中确定的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
17.【答案】解：全集，
集合，，
；
，
．
【解析】利用并集定义直接求解；
先求出，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：原式．
原式．
【解析】由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
由对数的运算性质化简即可得出答案．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：函数是增函数，证明如下：
任取，，不妨设，
，
因为，所以，又，，
所以，即，
所以函数是上的增函数．
函数为奇函数，证明如下：
由已知可得，且定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数．
【解析】利用函数的单调性定义判断证明即可；
利用奇函数的定义判断证明即可．
本题考查函数的单调性，奇偶性的证明，属于中档题．
20.【答案】解：，，
；
．
【解析】利用两角和的正切公式，再把已知条件代入运算求出结果；
利用二倍角公式，把要求的式子化为，约分后再利用同角三角函数的基本关系化为，把已知条件代入运算求出结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
21.【答案】解：，
函数的最小正周期．
由，，可解得，，
可得函数的单调递减区间为：，．
证明：，
，，
，
，得证．
【解析】由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，利用周期公式即可得解．
由，，可解得函数的单调递减区间．
由题意可求，利用正弦函数的图象和性质即可证明．
本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．
22.【答案】解：由题意可得：单个矩形栏目的长度为，
则
，；
由基本不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，矩形广告的总面积最小，最小面积为．
【解析】表达出单个矩形栏目的长度，进而求出关于的表达式，的取值范围；
由基本不等式求出总面积最小值．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
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