资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
10.1　两角和与差的三角函数
【考点梳理】
考点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考点三：　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【题型归纳】
题型一：两角和与差的余弦公式
一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦
1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二：用和差余弦公式进行化简求值
4．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知为锐角，为钝角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川乐山·高一期末）（ ）．
A． B． C． D．1
6．（2022·全国·高一）已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
三：逆用和差余弦公式进行化简求值
7．（2023·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南·郑州四中高一阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·西藏·拉萨中学高一期末）已知，，则值等于（ ）
A． B． C． D．
题型二：两角和与差的正弦公式
一：已知两角的正、余弦求和差角的正弦
10．（2022·山东菏泽·高一期末）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高一期末）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高一期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二：用和差正弦公式进行化简求值
13．（2022·河南洛阳·高一期末）已知，为锐角，，，则的值为( )
A． B． C． D．
14．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·北京·中国农业大学附属中学高一期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
三：逆用和差正弦公式进行化简求值
16．（2022·福建漳州·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江苏·南京二十七中高一期中）（ ）
A． B． C． D．
题型三：两角和与差的正切公式
一：已知两角的正、余弦求和差角的正切
19．（2023·浙江·乐清市知临中学高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·浙江·高一单元测试）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·四川·石室中学高一阶段练习）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
二：用和差正切公式进行化简求值
22．（2022·福建省福州第一中学高一期末）已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
23．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．2
24．（2022·广东实验中学高一期末）若，则值为（ ）
A． B． C． D．7
三：逆用和差正切公式进行化简求值
25．（2023·江苏·金陵中学高一阶段练习）的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
26．（2023·陕西阎良·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
题型四：两角和与差的三角函数综合应用
28．（2022·云南丽江·高一期末）已知，.
(1)求的值；(2)求的值．
29．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知角在第二象限，且．
(1)求的值；
(2)若，且为第一象限角，求的值．
30．（2022·全国·高一）求下列各式的值．
(1); (2);
(3); (4).
【双基达标】
一、单选题
31．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）若，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·云南·高一期末）已知角的终边经过点，则( )
A． B．
C． D．
33．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·广东实验中学高一期末）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·山西太原·高一期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
36．（2022·四川雅安·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
37．（2023·全国·高一专题练习）已知都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
38．（2023·全国·高一单元测试）已知、均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
39．（2023·广东·高一期末）已知，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
40．（2022·安徽宣城·高一期末）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2022·全国·高一单元测试）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2023·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）下列式子结果为的是（ ）
①；②；
③； ④．
A．① B．② C．③ D．④
43．（2023·全国·高一专题练习）下列四个三角关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
44．（2022·河南信阳·高一期末）___________.
45．（2022·河南新乡·高一期末）已知，，则__________．
46．（2022·重庆八中高一期末）已知，，，则___________.
47．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若是方程的两根，，则___________.
四、解答题
48．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，且，求cos()的值.
49．（2022·贵州贵阳·高一期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点都与坐标原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，角的终边在第二象限，与单位圆交于点Q，扇形的面积为.
(1)求的值； (2)求的值.
50．（2022·湖南·高一）求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
/
【答案详解】
1．D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．
【详解】
∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
由题干中的条件可得，，再由化简求值即可.
【详解】
，，，
，，
，，
.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
先根据的范围，求出，进而根据计算即可.
【详解】
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.
【详解】
因为为锐角，为钝角，，
所以，
，
则
.
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
先利用诱导公式把化成，就把原式化成了两角和的余弦公式，解之即可.
【详解】
由可知
，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
由角的范围结合同角三角函数的平方关系求得、，再有，应用差角余弦公式求出，即可确定大小.
【详解】
由题意得：，又，则，
∴，
锐角，
故选：C．
7．A
【解析】
【分析】
转化，再利用两角和的余弦公式即得解
【详解】
由题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题
8．C
【解析】
【分析】
本题首先可通过诱导公式以及两角和的余弦公式得出、，然后通过函数在区间上是减函数即可得出结果.
【详解】
，
，
因为函数在区间上是减函数，，
所以，即，
故选：C.
9．C
【解析】
【分析】
运用同角的三角函数关系式，根据两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】
，
，
得，，
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
根据题意可知，，，再结合题意可得，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又，所以；
因为，所以，
又，所以，
所以，
又
所以
.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
根据角的范围算出，，再根据展开计算即可．
【详解】
∵，，∴，
又，，
∴，，
则．
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
把函数化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数的增区间得出的不等关系，可求得其范围．
【详解】
由已知，
又在上单调递增，
所以，，解得，
由得，又，因此，
所以．
故选：C．
13．A
【解析】
【分析】
，根据正弦的差角公式展开计算即可.
【详解】
∵，，∴，
又∵，∴，
又，∴，
∴，
，
∴
故选：A.
14．C
【解析】
【分析】
根据题意和两角和正弦公式化简得到，结合，即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以，则．
故选：C.
15．D
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式，即得解
【详解】
由题意，
故选：D
16．A
【解析】
【分析】
由两角和的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
由两角和的正弦公式，可知
.
故选：A.
17．A
【解析】
【分析】
应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可.
【详解】
由，，
∴.
故选：A
18．D
【解析】
【分析】
结合诱导公式与两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】
，
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
根据题意得，故，进而根据正切的和角公式计算即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
先确定的范围，进而求得，再由求解.
【详解】
因为，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，
，
，
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．
【详解】
由得，所以，
又，所以，
由，解得，或（舍去，此时不是锐角），
，是锐角，，
，则，
所以．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．．
22．B
【解析】
【分析】
先求出，再求出，最后可求.
【详解】
因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
23．D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系式可求，再应用和角正切公式即求.
【详解】
∵，，
∴，，
∴.
故选：D.
24．B
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】
由，
所以，
故选：B
25．D
【解析】
【分析】
将 代入所求的式子，即可求解.
【详解】
.
故选：D
26．B
【解析】
【分析】
由两角和的正切公式计算．
【详解】
故选：B
27．A
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】
解：，所以
故选：A
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式求出的值，然后利用诱导公式结合弦化切可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值.
(1)
解：，所以，.
所以，.
(2)
解：.
29．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数关系可求解得，利用诱导公式化简原式可得原式，代入即得解；
（2）利用同角三角函数关系可得，又，利用两角差的正弦公式，即得解
(1)
因为，且在第二象限，
故，所以，
原式

(2)
由题意有
故，
．
30．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
（1）逆用正切的和角公式，结合特殊角的正切值即可求得结果；
（2）逆用正切的差角公式，结合特殊角的正切值即可求得结果；
（3）逆用正弦的和角公式，结合特殊角的正弦值即可求得结果；
（4）逆用余弦的差角公式，结合特殊角的余弦值即可求得结果.
(1)
因为；
即.
(2)
因为；
即.
(3)
.
即.
(4)
.
即.
31．B
【解析】
【分析】
由结合平方关系可解.
【详解】
因为为锐角，，所以，
又，均为锐角，所以，所以，
所以
.
故选：B
32．D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出sinθ和cosθ，用余弦和角公式展开即可计算.
【详解】
∵角的终边经过点，则P到原点距离为，∴，，
∴.
故选：D.
33．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式将角统一，再用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】
=,
故选：A.
34．D
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；
【详解】
，
，，
，
故选：D
35．A
【解析】
【分析】
利用同角关系得到，进而利用配角法与两角差余弦公式可得结果.
【详解】
∵，∴，
又，∴，
∴
.
故选：A
36．A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式和两角和的正弦公式求出结果．
【详解】
，
故选：．
37．D
【解析】
【分析】
由，结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确结论.
【详解】
由于，所以，
所以，
所以
.
故选：D
38．C
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系化弦为切，逆用两角差的正切公式可得，结合、均为锐角可得，进而可得即可求解.
【详解】
因为，
又、均为锐角，所以，，可得，
即，所以，
故选：C.
39．C
【解析】
【分析】
由已知，结合同角平方关系可求cos()、sin()，然后根据，由两角差的余弦展开可求值．
【详解】
∵，
∴，．
∵，
∴，则cos()＝，
∵，
∴sin()＝．
＝cos()cos()+sin()sin()
＝．
故选：C．
40．ACD
【解析】
【分析】
由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：ACD.
41．AC
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的余弦公式以及积化和差公式逐一判断即可.
【详解】
解：因为，，其中，为锐角，
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选：AC．
42．ABC
【解析】
【分析】
利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误.
【详解】
对于①，由于，
所以
；
对于②，由于，
所以；
对于③，因为， ；
对于④，因为， ；
故选：ABC
43．BD
【解析】
【分析】
由诱导公式以及两角和的正切以及两角和的余弦公式逐一判断选项即可.
【详解】
解：由诱导公式可知：
A：，故A错；
B：，故B正确；
C：，故C错；
D：，故D正确.
故选：BD.
44．1
【解析】
【分析】
由直接计算即可.
【详解】
.
故答案为：1.
45．
【解析】
【分析】
通过已知角和所求角之间的关系，将所求角的三角函数值转化为已知角的三角函数值可解.
【详解】
故答案为：
46．##
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.
【详解】
因为，，故，
而，故，而，
故，
所以
.
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.
【详解】
由题知，，
而，
所以，
所以.
故答案为：
48．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数的定义可得，代入直接计算即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角和的余弦公式计算即可.
【详解】
(1)因为角的终边经过点，，
所以，，
所以；
（2）因，且，
则，
.
49．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用任意角的三角函数定义进行求解；
（2）先利用扇形的面积公式求出其圆心角，进而得到，再利用两角和的余弦公式进行求解.
(1)
解：由任意角的三角函数定义，得
，，；
(2)
设，因为扇形的半径为1，面积为，
所以，即，
又因为角的终边在第二象限，所以不妨设，
则
.
50．(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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