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专题49两直线的位置关系
知识梳理 考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类 题型一：两直线的平行与垂直
题型二：两直线的交点与距离问题
题型三：对称问题
培优训练 训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试 单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【考点预测】
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
【常用结论】
五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【方法技巧】
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
3.求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
3.利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
4.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
5.几个常用结论
①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
6.几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、【题型归类】
【题型一】两直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【典例3】已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
【题型二】两直线的交点与距离问题
【典例1】已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．－－1
C．k>－1 D．－【典例2】已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．2 B．4 C. D．2
【典例3】直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
【题型三】对称问题
【典例1】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【典例2】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
【典例3】已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为________．
三、【培优训练】
【训练一】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【训练二】（2023秋·高二单元测试）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【训练三】（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【训练四】（2023秋·全国·高二阶段练习）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为 .
【训练五】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为 .
【训练六】（2023·全国·高三专题练习）已知 分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
四、【强化测试】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．（2023·吉林白山·统考一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A． B． C． D．4
8．（2023秋·高二单元测试）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：（其中）分别与直线、交于C、D两点，则（ ）
A．时，l的倾斜角为
B．，点A、B到l的距离之和为定值
C．，使l与圆O无公共点
D．，恒有
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形
12．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
三、填空题
13．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .
14．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是 .
15．（2023·天津·大港一中校联考一模）若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为 .
16．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为 .
四、解答题
17．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
18．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
19．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
20．（2020·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）
（1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程.
21．（2005·北京·高考真题）如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．
(1)分别用不等式组表示和；
(2)若区域中的动点到的距离之积等于，求点的轨迹的方程；
(3)设不过原点的直线与（2）中的曲线相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆，下顶点为是椭圆上任意一点，过点作轴的平行线与直线交于点，若点关于点的对称点为，直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆上点到直线的距离的最大值；
(2)已知．过点作垂直直线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点坐标和，若不存在，请说明理由.专题49两直线的位置关系
知识梳理 考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类 题型一：两直线的平行与垂直
题型二：两直线的交点与距离问题
题型三：对称问题
培优训练 训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试 单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【考点预测】
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
【常用结论】
五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【方法技巧】
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
3.求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
3.利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
4.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
5.几个常用结论
①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
6.几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、【题型归类】
【题型一】两直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】当l1∥l2时，
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
故选A.
【典例2】已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【解析】∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
故选C.
【典例3】已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
故选D.
【题型二】两直线的交点与距离问题
【典例1】已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．－－1
C．k>－1 D．－【解析】联立直线方程得解得x＝，y＝(k≠－2)．因为直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，所以>0，>0，解得－故选D.
【典例2】已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．2 B．4 C. D．2
【解析】因为直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，所以＝≠，解得m＝－1.所以直线l1的方程为x－y＋3＝0，直线l2的方程为x－y＋1＝0.由平行直线间的距离公式，得d＝＝＝.故选C.
【典例3】直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
【题型三】对称问题
【典例1】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【典例2】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
【典例3】已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为________．
【解析】设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则线段PP′的中点M在直线l上，
且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴点P′的坐标为(－2,7)．
三、【培优训练】
【训练一】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】A
【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键.
【详解】
依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，
求的最小值相当于先求的最小值，
即求圆上一点到直线的距离d的最小值，
所以，
即的最小值为1．
故选：A．
【训练二】（2023秋·高二单元测试）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案.
【详解】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
【训练三】（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据互为反函数的对称性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求最小值即可.
【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
【训练四】（2023秋·全国·高二阶段练习）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，圆的圆心，半径，且有.
则圆心到直线：的距离.
又直线方程可化为，可知，，
所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离.
由题意易知，则，，
所以有，即，所以.
又，，所以，，所以.
所以圆心到直线的距离，
所以，直线与圆总相交，
又，所以被圆截得的弦长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系.
【训练五】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意假设的中点，先利用代入法求得的取值范围，再利用点斜式求得直线的方程，从而利用点线距离公式求得，进而利用换元法与基本不等式求得点B到直线l距离的最小值.
【详解】依题意，设的中点，则，，
所以，，则，
因为，所以，故，
所以线段AP的垂直平分线l为，即，则，
所以点到直线的距离为，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即点B到直线l距离最小值为.
故答案为：
.
【训练六】（2023·全国·高三专题练习）已知 分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.
【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，

则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为=
故答案为：
【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.
（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.
（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.
四、【强化测试】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【分析】建系，用坐标表示出向量的数量积，将其理解为点P到定点(0,1)的距离，再根据P点轨迹是以A为圆心的圆，由几何关系确定该距离的最大值即可.
【详解】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则．
因为，所以P是圆A：上的点．
又点P与点距离的最大值为，即，
所以．
故的最大值为17．
故选：B.

2．（2023·吉林白山·统考一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆C的圆心为，半径，则，
直线PQ与圆C相切，有，
因为点Q在直线l上，所以，则．
即的最小值是.
故选：A
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点到直线距离公式求边长，再求面积即可.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，，所以根据点到直线的距离公式可得，．
又，则，所以的面积为．
故选：B.
4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据鸽子到抛物线焦点的距离为10米，利用抛物线的定义求解其位置，再利用两点间的距离求解.
【详解】解：如图所示：

设鸽子所在位置为点，
因为它到抛物线焦点的距离为10米，
所以，解得，
则，
所以鸽子到拱顶的最高点的距离为，
故选：B
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.
【详解】圆：的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线：被圆截得的弦长为，
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值.
【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，
∴正方形的边长等于直线、的距离，则，
若圆的半径为r，，即，则，
由正方形的性质知：，
∴，即有.
故选：B.
8．（2023秋·高二单元测试）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：

二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
10．（2023·全国·高三专题练习）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：（其中）分别与直线、交于C、D两点，则（ ）
A．时，l的倾斜角为
B．，点A、B到l的距离之和为定值
C．，使l与圆O无公共点
D．，恒有
【答案】BD
【分析】对于A：首先得到直线的斜率，即可求出直线的倾斜角，从而判断A，对于B，分别求出点、到直线的距离，再求和即可，求出坐标原点到直线的距离，即可判断C，求出，点坐标，再求出，即可判断D.
【详解】解：依题意，，
对于A：当时直线，即，
所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于B：点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以点、到直线的距离之和为，
因为，所以，所以，
即对，点、到直线的距离之和为定值，故B正确；
对于C：坐标原点到直线的距离，
所以直线与单位圆相切，即直线与单位圆必有一个交点，故C错误；
对于D：对于直线，令，解得，
令，解得，
即，，
所以，，
所以，所以，
即，恒有，故D正确；
故选：BD
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形
【答案】BD
【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若，则直线l与圆O相切，若，则直线l与圆O不相切；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当MO最短时，有最大的张角；对于D选项，考虑能否等于60°.
【详解】对于A选项，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离，故A错误；
对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；
对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误；
对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确.
故选：BD.
12．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A；确定最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确；
对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时，最大，而，
显然是锐角，正弦函数在上单调递增，，
因此最大，当且仅当最大，当且仅当最小，则有，此时，
所以当为两定点时，满足的点只有1个，B错误；
对于C，令AB的中点为D，则，，点D在以O为圆心，为半径的圆上，
，显然当在上运动时，无最大值，C不正确；
对于D，设，当为切线时，，点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，于是直线为，即，
所以直线过定点，D正确.
故选：AD
三、填空题
13．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .
【答案】8
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故答案为：8.
14．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解.
【详解】设点，则，
即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，
则需圆心到直线的距离，
解得.
故答案为：
15．（2023·天津·大港一中校联考一模）若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为 .
【答案】24
【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.
【详解】把圆：化为标准方程有：，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为6，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：24.
16．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为 .
【答案】或1/1或
【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值
【详解】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积
解之得或
故答案为：或1
四、解答题
17．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【详解】（1）解：由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，化为一般形式为；
（2）解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为
，由垂径定理得，
解得，
圆的标准方程为．
18．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即；
法二：直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，
所以；
（3）直线AB的斜率为，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
19．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程可得关于的一元二次方程，从而可得，，进而可得点的坐标，即可得到的坐标表示，同理可得，求解即可；
（2）结合（1），根据抛物线的定义得，，进而可得，即可得到圆的半径，从而可得到圆的方程，同理也可得到圆的方程，两圆方程相减即可得到直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程为，
由，得，
设，两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，
所以
所以点的坐标为，，
同理可得的坐标为，，
于是，
又，所以．
（2）结合（1），
由抛物线的定义得，，
所以，
所以圆的半径，
所以圆的方程为
化简得，
同理可得圆的方程为，
于是圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又，则直线的方程为，
所以点到直线的距离，
故当时，取最小值．
【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得，，进而可得，从而得到圆的半径，可得到圆的方程，同理可得到圆的方程，再根据点到直线的距离公式求解．
20．（2020·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）
（1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1），；（2）4；．
【解析】（1）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
【详解】（1）解：点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即为最大值．
，
的斜率为：，
可得，解得．
（2）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，直线方程为，，则，，，
，当且仅当时取等号，面积的最小值为4．
此时直线的方程为．
【点睛】本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
21．（2005·北京·高考真题）如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．
(1)分别用不等式组表示和；
(2)若区域中的动点到的距离之积等于，求点的轨迹的方程；
(3)设不过原点的直线与（2）中的曲线相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）直接写出答案即可.
（2）根据题意得到，判断，代入化简得到答案.
（3）考虑直线与轴垂直和不垂直两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到，，根据重心坐标公式得到证明.
【详解】（1），.
（2）直线，直线，由题意得，
即 ，，知，所以，
即，所以动点的轨迹的方程为 .
（3）当直线与轴垂直时，可设直线的方程为.
由于直线，曲线关于轴对称，且与关于轴对称，
于是的中点坐标都为，
所以的重心坐标都为，即它们的重心重合；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.
由，得.
由直线与曲线有两个不同交点，
可知且.
设 的坐标分别为，
则.
设的坐标分别为 ，
由及 得，
从而，
所以，
所以，
于是的重心与 的重心也重合.
综上所述：的重心与的重心重合.
【点睛】本题参考了图形的区域问题，轨迹问题，证明重心重合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中没有考虑斜率不存在的情况是容易犯的错误，利用韦达定理是解题的关键，需要熟练掌握.
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆，下顶点为是椭圆上任意一点，过点作轴的平行线与直线交于点，若点关于点的对称点为，直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆上点到直线的距离的最大值；
(2)已知．过点作垂直直线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点坐标和，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点，使得.
【分析】（1）设椭圆任意一点，结合点到直线的距离公式，求得，利用三角函数的性质，即可求解；
（2）设直线的斜率分别为，得到，以为原点，轴仍为轴建立直角坐标系，把椭圆的方程转化为，设直线的方程为，联立方程组，求得的值，进而得到过定点，求得的中点为及，结合直角三角形性质，即可求解.
【详解】（1）解：由点是椭圆上的任意一点，可设，
则点到直线的距离为，
其中且，
当时，可得，所以，
即椭圆上点到直线的最大距离为.
（2）解：由题意，可得点，
设直线的斜率分别为，且，则，
则，可得，
平移坐标系，以为原点，轴仍为轴建立直角坐标系，则，
则椭圆的方程变为，
设直线的方程为，可得，
所以，所以，可得，
所以直线的方程为，
经过定点，即，
所以直线过定点，
又由，可得的中点为，且，
中直角中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得，即存在定点，使得.

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