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亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
1.1 集合的概念（导学案）
【学习目标】
1、通过实例了解集合的含义．(难点)
2、掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示.
4、记住常用数集及其记法．(重点、易混点)
【自主学习】
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称 ，常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
注意：
(1)确定性：集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。
(2)互异性：给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时，只能算集合中的一个元素。
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
三．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
四．列举法
把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法．
思考1：列举法的特点有哪些
[问题1 ]如何表示方程x2-3x+2=0的所有解组成的集合
[问题2]关于x的方程(x-1)(x-a)=0有几个解 它的所有解组成的集合如何表示
[问题3]1与｛ 1 ｝是否具有相同的意义
[问题4]能否用列举法来表示无限集
五、描述法
（1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 .
思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2){x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？
思考3：描述法的特点有哪些
运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.
注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
【当堂达标基础练】
一、单选题
1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
2.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
5．已知集合，，则为（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． Q
C．－3∈N D． ∈Z
三、填空题
7．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
8．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
四、解答题
9．用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
10．用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
11．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
2．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3.已知集合A包含3和－1两个元素，集合B包含和－1两个元素，且，则实数______．
4．（2022秋 石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 　　．
三、解答题
5.选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
6.用列举法表示如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
【当堂达标素养练】
1.已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
2.已知集合，，求集合中元素的个数．
01.1 集合的概念（导学案）
【学习目标】
1、通过实例了解集合的含义．(难点)
2、掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示
4、记住常用数集及其记法．(重点、易混点)
【自主学习】
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称 ，常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
1.研究对象 a，b，c… 2.元素 集 A，B，C… 3.一样 4.确定性 互异性 无序性
注意：
(1)确定性：集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。
(2)互异性：给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时，只能算集合中的一个元素。
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
1. a属于集合A a∈A 2.a不属于集合A a A
三．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N N*或N＋ Z Q R
四．列举法
把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法．
一一列举 花括号“{ }”
思考1：列举法的特点有哪些
集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.
[问题1 ]如何表示方程x2-3x+2=0的所有解组成的集合
[问题2]关于x的方程(x-1)(x-a)=0有几个解 它的所有解组成的集合如何表示
[问题3]1与｛ 1 ｝是否具有相同的意义
[问题4]能否用列举法来表示无限集
五、描述法
（1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 .
（1）共同特征 （2）一般符号 取值(或变化)范围 共同特征
思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2){x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？
(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2) 相同，只是代表元素的符号不同，但是元素相同.．
思考3：描述法的特点有哪些
运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.
注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
【当堂达标基础练】
一、单选题
1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【分析】根据集合的定义分析判断即可.
【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
2.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据，所以可取，即可得解.
【详解】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故选：C
3．由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合元素的互异性即可求解.
【详解】由元素的互异性可得，解得且且.
故选：C.
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据数集的定义，即可得答案；
【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
二、多选题
5．已知集合，，则为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】BC
【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得的值.
【详解】依题意，
当时，或，
若，则，符合题意；
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
当时，或，
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
若，则，符合题意.
综上所述，的值为或.
故选：BC
6．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． Q
C．－3∈N D． ∈Z
【答案】AB
【分析】根据常见数集的范围,直接判断.
【详解】根据常见数集的范围：
，故A正确；
不是有理数，所以 Q.故B正确；
N为自然数集合，所以－3N.故C错误；
为无限不循环小数，所以.故D错误.
故选：AB
三、填空题
7．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
【答案】
【分析】分和两种情况保证方程只有一个解或重根，求出a的值即可．
【详解】当时，只有一个解，
则集合有且只有一个元素，符合题意；
当时，若集合A中只有一个元素，
则一元二次方程有二重根，
即，即
综上，或，故实数a的取值的集合为
故答案为：
8．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系判断.
【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
四、解答题
9．用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
【答案】(1){红色，黄色}； (2).
【分析】利用集合的列举法的概念即得.
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}；
(2)由，解得，
故方程组的解集为.
10．用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】(1)；(2).
【分析】利用集合的描述法即得.
(1)奇数组成的集合为；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.
11．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
【分析】解方程即得解.
【详解】解：由题得， 解得或.
因为，所以.
当时， B＝{0，7，3，1}.
故集合B＝{0，7，3，1}．
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【分析】依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
2．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
二、填空题
3.已知集合A包含3和－1两个元素，集合B包含和－1两个元素，且，则实数______．
【答案】3或-1
解析：由题意，或m=-1. 故答案为：3或-1.
4．（2022秋 石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 　②④　．
【分析】直接利用幸运集的定义和赋值法判定①②③④四个结论．
【解答】解：P为非空实数集满足：对任意给定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．
对于①，由于﹣2﹣2＝﹣4 A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不为幸运集，故①错误；
对于②，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，
故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集，故②正确；
对于③，若集合P1、P2为幸运集，设P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}为幸运集，但是P1∪P2不为幸运集，故③错误；
对于④，若集合P为幸运集，取x＝y，x﹣y＝0∈P，则一定有0∈P，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查集合的新定义，注意运用赋值法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题
5.选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
5.解：(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
6.用列举法表示如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
6.解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
【当堂达标素养练】
1.已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
(1)解： 是空集，且，
，解得
(2)解：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
(3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素。
2.已知集合，，求集合中元素的个数．
【答案】9
【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素.
【详解】，，
，共9个元素. /
将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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