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新余市2023一2024学年度上学期期未质量检测
高二数学试题卷
说明：1.本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，.答策要求写在答题卷上，.在试题卷上作答不给分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.已知C41=C4+C(n∈N),则n=(
3A.6
B.7
C.8
D.9
2.若直线4：ar-y+1=0与直线l2:（a+2)x-ay-1=0平行，则l,与l2之间的距离为(
45
B.25
c.3W5
D.3v5
5
5
10
3.己知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，正实数x,y满足
OD-30C-0a-v0,则子+号的最小值为（
)
A.1+√2
a是
C.1+22
D.3+2√2
4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有20%的
学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时
的学生中任意调查一名学生，
则他近视的概率为（一·）
5
A.2
C.
7
B.
D.9
20
20
40
5.设F,F是椭圆x
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差
3,1下1
3
为1，则△PFF的面积为（4}喻
1代足原
、
A.2
B.3
C.3
D
6.新余市教育局选派7名工作人员到市区某三所学校进行教研活动，每所学校至少去1人，
恰有两所学校所派人数相同，则不同的安排方式共有(
)种
A.1176
B.1302
C.1722
D.2352
高二数学试题第1页（共6页）
只
0000000
7.如图，在四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是菱形，侧面AADD,是正方形，且
∠AAB=120°，∠DAB=60°，AB=2,C,D与CD,交于点O,则|BO=(
A.√5
B.3
C.5
D.9
D
A
E
B
C
(第7题图)
(第8题图)
8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底
面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，其
中41底面ABCD,底面偏环所对的圆心角为牙，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，
AB=1,AA=1,E是AD的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为(：：，)
A.2
D.25
4
与B.2
9c.52
5
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分)
9.下列说法正确的是（.，，…）.
A已知X~N(5,a2)且P(X<4.5=p,则P(4.52
B.已知X~N(5,o2)，则o越小，P(4.5京》
C已知X-BaP),且E6X-9)=D3X-9)=27,则a=16,p=月
D.若变量y关于x的线性回归方程为y=2x-t且x=1,y=t,则t=1
10.某兴趣小组对“性别和喜欢观看直播带货是否有关"做了一次调查，其中被调查的男女人数相
同，男性喜欢观看的人数占男性人数的等，女性喜欢观看的人数占女性人数的，若有9%的
把握认为是否喜欢观看和性别有关，则调查人数中男性有可能的人数为(
高二数学试题第2页（共6页）
0000000新余市 2023—2024 学年度上学期期末质量检测
高二数学参考答案
一、选择题（12×5=60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B D C A A B BCD ABD ACD ABD
二、填空题（4×5=20 分）
9 9
13. 1 14. 15. 21 1（1- ，] 16.5 6 2 2
三、解答题
17.（本小题满分 10 分）
x
解：（1）当直线 l过原点时，直线 l的方程是 y ，即 x 2y 0 ...............（2 分）
2
当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为 x y a，
把点 P 2, 1 代入方程得 a 3，则直线 l的方程是 x y 3 0 .
综上，所求直线 l的方程为 x 2y 0或 x y 3 0 ...........................（5 分）
（2）依题意圆心C 1, 1 ，半径 r 2，............................................（6 分）
CN 2， CM （3-1）2+（-2+1）2 = 5 .........................................（7 分）
所以 MN CM 2 CN 2 = 5 4=1..................................................................（10 分）
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）若事件 表示抽到的学生获得一等奖，事件 表示抽到的学生来自中学组，
1 ( | ) = ( )所以抽到的 个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为 ，
( )
( ) = 40 , ( ) = 72 ( | ) = 5由表格知： ，则 .……………………（4分）
700 700 9
（2）由题意， 可能值为 0,1,2，……………………（5分）
C1 C1 1 C1 ( = 0) = 200 300 = ( = 1) = 200C
1 +C1 C1 1 1
1 1 ，
100 100 300
1 1 =
5
， ( = 2) = C100C100 = 1，
C 1 1300C400 2 C300C400 12 C300C400 12
的分布列如下：……………………（8分）
0 1 2
1 5 1
( )
2 12 12
1 5 1 7
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = .……………………（10分）
2 12 12 12
（3）由题设知 + = 3，所以 ( ) = (3 ) = (3) + ( 1)2 ( ) = ( ).……（12分）
{#{QQABLQQUggCgAgAAAAhCAw0KCAIQkBEAACoGxBAMoAAACRNABAA=}#}
19.（本小题满分 12 分）
n
解：（1）当 x 1,n 2024时， x 3x2 1 3 2024 42024，
因为42024 2g24047 2g81349 2g(7 1)1349
2(C0 1349 1 1348 134813497 C13497 L C13497 1) ................................（3 分）
所以二项式的值被7除的余数为2 ............................................................（5 分）
（2）由题意可得 2n 128，解得n 7，.............................（6 分）
r
其通项为T r 7 r 2 r r 7 rr 1 C7x 3x 3 C7x ..........................................（7 分）
3rCr7 3
r 1Cr 17
设展开式中系数最大的项为第 r 1项，则 r r r 1 r 1 , r 1,2,3,4,5,6 ，....（8 分）
3 C7 3 C7
3 7! 7!

r ! 7 r ! r 1 ! 8 r !
化简可得 7! 3 7! ，解得
5 r 6，

r ! 7 r ! r 1 ! 6 r !
因为 r 1, 2,3, 4,5,6，所以 r = 5或 r 6，.....................（10 分）
所以展开式中系数最大的项为第 6、7 项，
T6 3
5C5x7 5 5103x12 T 36C6x7 67 ， 7 7 5103x
13
，.............................（12 分）
20.（本小题满分 12 分）
解：（1）由该地区参与社区养老的老人的年龄 X 近似服从正态分布 N 70,16 ，
故 70, 4，..................................................（1 分）
P 78 X 82 0.9974 0.9544 0.0215 ,................................（3 分）
2
所以该地参与社区养老的老人有54 0.0215 2512（人）...............................（5 分）
7
x x 2（2） x 4， i 9 4 1 0 1 4 9 28 ..................................（6 分）
i 1
7 7
xi x yi y xi x yi y
i 1 i 1 7
由于 r 7 7 2
28 225
4 ，
xi x
2 y i y
i 1 i 1
7
xi x y 7 105i y 225 28 ，...................................................（7 分）
i 1 4 2
{#{QQABLQQUggCgAgAAAAhCAw0KCAIQkBEAACoGxBAMoAAACRNABAA=}#}
7
x x y y 105i i
∴b i 1 2
15
7 ,.........................................................................（8 分）
x 2 28 8i x
i 1
7 2 7 2 2
∵ yi y 225 y 2 7 y 1597 7y 225 ，∴ y 14，i
i 1 i 1
15 13
∴ a y b x 14 4 ，
8 2
∴回归方程 y
15
x 13 ，...............................................................................（10 分）
8 2
∴当 x 8时， y 22，
即 2024 年时，估计该地区新建社区养老机构的数量为 22 个.............................（12 分）
21.（本小题满分 12 分）
（1）证明：在△ADC中，AD＝DC＝1，∠ADC＝90°，∴ = 2，
在△ABC中，AC= 2，AB＝2，∠BAC＝45°，
由余弦定理得 BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cos45°＝2，
∴BC= 2，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，①……………………（2分）
∵BC⊥PA，②
由①②得 PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，③，……………………（3分）
在△PAC中，AC= 2，PC＝2，PA= 6，∴PC⊥AC，④……………………（4分）
由③④，得 AC∩BC＝C，∴PC⊥平面 ABCD．……………………（5分）
（2）以 A为坐标原点，AD所在直线为 x轴，AB所在直线为 y轴，
过 A作平面 ABCD的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（1，1，2），
→ →
设 = =λ（1，﹣1，2）＝（λ，﹣λ，2λ），
→ → → → →
则 = + =（λ，2﹣λ，2λ）， =（1，1，0）， =（1，1，2），…………（7分）
{#{QQABLQQUggCgAgAAAAhCAw0KCAIQkBEAACoGxBAMoAAACRNABAA=}#}
→
设平面 EAC的法向量 =（x，y，z），
→ →
= + (2 ) + 2 = 0
则 → → ，
= + = 0
→
取 x＝﹣λ，得 =（﹣λ，λ，λ﹣1），……………………（9分）
2
∵PA与平面 EAC所成角的正弦值为 ，
3
→
→ →→
∴|cos |= | |＜ ， ＞ → → =
|2 2 | = 2，
| | | | 6 2+ 2+( 1)2 3
1
整理得 3λ2+2λ﹣1＝0，解得 = 3（舍负），……………………（11分）
2 1
∴存在点 E使得 PA与平面 EAC所成角的正弦值为 ，此时 = .……………………（12分）
3 3
22.（本小题满分 12 分）
| 2 0 2 0 6 |
解：（1）直线 2x 2y 6 0与圆O相切，则 b 12 2 ，............（2分）( 2) ( 2)
c b2 2 2
由椭圆的离心率 e 1 ，解得： a2 9，............（3分）
a a2 3
x2
椭圆的标准方程： y2 1；......................................................（4分）
9
（2）由题意知直线 BP， BQ的斜率存在且不为 0， BP BQ，
不妨设直线 BP的斜率为 k(k 0)，则直线 BP : y kx 1．............（5分）
y kx 18k 1

x 2
2 9k 1 x 0由 x 2 ，得 ，或1 9k 2
，
y 1 y 1 9 y 9k 2 1
18k 1 9k2
所以 P ,
9k
2 1 9k 2 1
1 18k k 2 9
用 代替 k，Q 2 , 2 ...................................................（6分）k k 9 k 9
PB 0 18k
2

2
(1 9k 1 2 18k则 2
9k 2 1 9k 2
) 1 k ，
1 9k 2 1
18k 9 k2BQ (0 )2 (1 )2 182 2 2 1 k
2，............（8分）
k 9 k 9 9 k
{#{QQABLQQUggCgAgAAAAhCAw0KCAIQkBEAACoGxBAMoAAACRNABAA=}#}
S 1
2
△BPQ PB BQ
1 18k 1 k 2 18 1 k 2 162k(1 k ) 2 2 2 9k 1 9 k 2 (9 k 2 )(1 9k 2 )
162(k k3 ) 162(
1 k )
4 2
k
9k 82k 9 9 ，..........................................................（9分）9k 2 82
k 2
162 162 162 27
k 1
S BPQ
设 ，则 82 9( 2 2) 9 64 64 8k 2 9
．

9 64当且仅当 即 k
1 8

时取等号，............（11分）k 3
所以 S 27 BPQ .........................................................................（12分）max 8
{#{QQABLQQUggCgAgAAAAhCAw0KCAIQkBEAACoGxBAMoAAACRNABAA=}#}

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