资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
09.3.1平面向量基本定理
【考点梳理】
考点一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
【题型归纳】
题型一：基底的概念问题
1．（2023·云南·镇雄县第四中学高一）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2023·全国·高一）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023·全国·高一）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）．
A．和 B．和
C．和 D．和
题型二：基底表示向量问题
4．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北张家口·高一期末）如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量基本定理
7．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
8．（2023·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（ ）
A．为常数 B．的最小值为
C．的最小值为 D．、的值可以为，
题型四：平面向量基本定理求参数
10．（2023·福建·泉州科技中学高一阶段练习）如图，在 ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，，连接AC，MN交于P点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高一）如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（理））在△ABC中，若N是AC上一点，且＝3，点P在BN上，并满足＝＋m，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：平面向量基本定理证明共线问题
13．（2023·全国·高一课时练习）已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
14．（2023·江西·宜春九中高一）如图所示，在中，分别是，的中点，，，.
（1）用，表示向量，，；
（2）求证：，，三点共线.
15．（2023·全国·高一）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设
（1）试用a，b表示
（2）证明：B，E，F三点共线．
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·湖南·高一）在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·四川达州·高一期末）已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·辽宁·高一期末）如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
20．（2023·全国·高一课时练习）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C．2 D．
21．（2023·全国·高一课时练习）如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.
（1）试用表示向量;
（2）若，求.
【高分突破】
一：单选题
22．（2023·全国·高一）已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
23．（2023·全国·高一单元测试）在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足，则为等腰三角形
D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
24．（2023·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一）已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·山西·晋中市新一双语学校高一阶段练习（文））下列说法不正确的是（ ）
A．为不共线向量，若，则
B．
C．若，则与不一定共线
D．若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为
26．（2023·安徽·合肥艺术中学 高一阶段练习）如图，中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·陕西·西安电子科技大学附中高一阶段练面内有三个向量，其中的夹角为，的夹角为，且，若则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
28．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全国·高一课时练习）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．
30．（2023·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则λ1μ2-λ2μ1 =0
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
31．（2023·江苏·苏州中学高一）如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
32．（2022·湖南·高一课时练习）已知(，是同一平面内的两个不共线向量)，则________.(用，表示)
33．（2023·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则___________.
34．（2023·全国·高一单元测试）如图，在中，，，，若延长CB到点D，使，当点E在线段AB上移动时，设，当取最大值时，的值是___________.
35．（2023·全国·高一）设，是不共线的两个向量，已知，，若A，B，D三点共线，则k的值为_________.
36．（2023·全国·高一）如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设=，=，以{，}为基底来表示=____，=_____．
四、解答题
37．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）如图所示，△中，，，.线段相交于点.
(1)用向量与表示及；
(2)若，试求实数的值.
38．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，．如果，试用基底表示向量，，．
39．（2023·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
40．（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
/
【答案详解】
1．D
【解析】
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
【详解】
解：、是平面内所有向量的一组基底，
与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
与不共线，可以作为基底，
与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，
故选：．
2．B
【解析】
【分析】
不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.
【详解】
不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
共线：B.
4．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
由题可得：
．
故选：B．
5．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
，
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.
【详解】
因为，
所以，
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【详解】
由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
根据M，H，N共线，设，再根据，，以，为基底表示，再根据是的中点，是的中点，以，为基底表示，然后利用向量相等求解.
【详解】
因为M，H，N共线，
所以设，
因为，，
所以，
则，
又因为是的中点，是的中点，
所以，
则，
即，解得，
即，
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论.
【详解】
如下图所示：
由，可得，
，
若，，，
则，，
，
、、三点共线，
，，
故A正确；
所以，时，也满足，则D选项正确；
，当且仅当时，等号成立，C选项成立；
，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.
故选：B
10．D
【解析】
【分析】
由题意可得，进而可得，即可得解.
【详解】
，，
，
设，则即，
，
故选：D
11．B
【解析】
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【详解】
因为＋μ，
所以λ＝，μ＝，
则λ＋μ＝＋＝.
故选：B
12．D
【解析】
【分析】
把用表示，利用在中，设＝λ，这样有再化为用表示，结合已知得关于的方程组，解之可得．
【详解】
∵＝3，∴＝，
∴＝－＝－．
∵点P在BN上，∴∥，
∴存在实数λ，使＝λ＝λ，
∴＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋＝＋m．
又∵与不共线，∴∴
故选：D．
13．证明见解析
【解析】
【分析】
由，结合已知可得，根据向量共线定理即可证结论.
【详解】
∵，
∴根据共线向量基本定理得，与共线．又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线，得证．
14．（1），，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）用一组基底来表示其他向量的问题利用三角形法则进行计算即可；
（2）将三点共线转化成两个向量共线即可得证.
【详解】
解：（1）∵，，，分别是，的中点，
∴，
，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴与共线，又∵与有公共点，
故，，三点共线.
15．（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将向量a,b作为基底表示向量，要在封闭图形中去找；
（2）运用向量共线定理，再强调有一个公共点即可证明.
【详解】
(1) 由题意，得＝b－a，
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝－a＋b.
(2) 因为＝－a＋b，
＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，
所以，所以与共线．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
16．B
【解析】
【分析】
利用共线向量定理求解.
【详解】
因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
17．D
【解析】
【分析】
根据向量的基底表示与线性运算计算.
【详解】
如图，因为，分别是的边和的中点，
.
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
利用向量运算求得，进而求得.
【详解】
，
所以.
故选：C
19．A
【解析】
【分析】
由可得，又，结合已知得，从而可得结果.
【详解】
，
∴，
，可得，
∵
∴则.
故选：A.
20．A
【解析】
【分析】
设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.
【详解】
设，
因为，所以，
则，
又因为，所以，解得.
故选：A.
21．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；
（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.
【详解】
（1）因为，所以，
由题意可知， ，
所以，则，
（2）因为，所以， ，
所以
22．A
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.
【详解】
对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；
对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；
对C，，，即，所以，
又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.
对D，若，且，则，
则，即，
则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.
综上，错误的选项为B.
故选：B.
24．A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，由题意可得，整理即可得解.
【详解】
由，
可得，
整理可得，
所以，
故选：A
25．D
【解析】
【分析】
对于A：根据向量加法的平行四边形法则得到及矩形的判定定理的即可判断；
对于B：由向量数乘的运算法则即可判断；
对于C：对向量是否为零向量进行分类讨论；
对于D：利用平面向量的基本定理直接判断.
【详解】
对于A：为不共线向量，则两向量均为非零向量，又由得以向量模长为邻边的平行四边形的两对角线长度相等，因此该平行四边形为矩形，即邻边垂直，故A正确；
对于B：由向量数乘的运算法则知，B正确；
对于C：若均为非零向量，因为，则共线；若为零向量，则不一定共线，故C正确；
对于D：由平面向量的基本定理知，只有当非零且不共线时可以作为一组基底，平面内任意向量都可以表示为故命题才成立.故D不一定成立.
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
由重心定义和性质知，结合可得结果.
【详解】
分别为中点，为的重心，，
又，.
故选：A.
27．C
【解析】
【分析】
如图所示：过点作，交直线于点，由题意可得，在中，由边角关系求出，，由平面向量基本定理即可求解.
【详解】
如图所示：过点作，交直线于点，
因为的夹角为，的夹角为，
所以，
在中，，，
由，
可得，
所以，，
所以， ，所以.
故选：C.
28．BC
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.
【详解】
由已知可得，故D错误；
因为P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，
由,故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BC
29．ABD
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理依次判断，即得解
【详解】
对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；
对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；
对于选项D，，又，不共线，
，即，即，
（当且仅当时等号成立），
，得，故D正确
故选：ABD．
30．ACD
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案.
【详解】
根据平面向量的基本定理可知A正确、B错误；
根据向量共线定理，存在唯一的非零实数，
使得，
即，消去可得，故C正确；
若实数λ，μ有一个不为，不妨设，
则，此时共线，这与已知矛盾，
所以λ=μ=0，故D正确.
故选：ACD
31．BC
【解析】
【分析】
画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中以为起点，个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知最小值，进而可知的取值范围，即可得正确选项.
【详解】
如下图所示，求的最大值，只需考虑下图中以为起点，个顶点为终点向量即可，讨论如下：
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，
则的取值范围为，
由选项判断可知，选项BC正确，
故选：BC.
32．
【解析】
【分析】
设，可得，联立方程，即可求得答案.
【详解】
设
则
，
，不共线，
，解得
故
故答案为：.
33．
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算化简可得.
【详解】
因为，
则，
所以，则.
故答案为：.
34．##
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算求得，得，从而求得，设，由及求得，而，最大，则最大，最大值为1，由此得，从而得差．
【详解】
，
，
所以，所以，
又，所以，，
设，由于在上，所以，
又，
即，化简得，
由得，所以，
（），所以，
所以时，，．
故答案为：．
35．-8
【解析】
【分析】
由题得,即解方程组即得解.
【详解】
由题得,
.
故答案为：
36． +##+ +##+
【解析】
【分析】
由题设图形，结合向量加法的几何意义有、，进而可得、关于{，}为基底的表达式.
【详解】
=+(-)=+，
=(-)=+．
故答案为：+，+.
37．(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.
（2）由题图知，，结合已知条件求得，根据平面向量的基本定理可得的值.
(1)
由题设，，.
(2)
设，
所以，且，
所以，则，可得，
所以，故，.
38．，，
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算表示出，，.
【详解】
，
，
.
39．（1）证明见解析 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；
（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.
【详解】
（1）由A，M，N三点共线，得∥，设＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因为＝m，＝n，EF的中点为M，BC的中点为N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故当m＝时，．
40．（1） ；（2） 证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；
（2）根据条件，结合可建立等式，利用三点共线，可得出结论.
【详解】
（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得
．
由B，M，C三点共线可知，存在实数使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）证明：若，，则．
又因为E，M，F三点共线，所以．
将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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