资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
09.3.2 -9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示
【考点梳理】
考点一：平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二： 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
考点三　平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
考点四　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
考点五　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
考点六：平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
技巧：向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【题型归纳】
题型一：平面向量线性运算的坐标表示
1．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·无锡市第六高级中学高一期中）已知向量，则的最小值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
3．（2020·浙江·台州市黄岩第二高级中学高一阶段练习）已知向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用坐标求向量的模
4．（2020·全国·高一课时练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高一期末）设向量，，则等于（ ）
A． B．5 C． D．6
6．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型三：由向量线性运算结果求参数
7．（2023·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023·广东·忠信中学高一阶段练习）已知，，为坐标原点，点在第二象限内，，且，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·全国·高一课时练习）已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
10．（2023·浙江温州·高一期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019·山东德州·高一期末）已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（ ）
A．2 B． C． D．－2
12．（2023·全国·高一课时练习）在中，已知，，，点满足，其中，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：由向量平行（共线）求参数
13．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知向量，，且与平行，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
14．（2023·全国·高一课时练习）设，向量且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·广东普宁·高一期中）设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．10
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与可以作为一组基底
C． D．与方向相反
17．（2022·湖南·高一课时练习）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
18．（2023·全国·高一课时练习）已知，且，下列等式：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2023·吉林·长春市第二十九中学高一阶段练习）△中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
20．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高一课时练习）已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高一课时练习）设，，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：
①；②；③不与垂直；④．
其中，是真命题的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·全国·高一单元测试）在中，，的中点为，的重心，则B，C的坐标分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
24．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．1
25．（2023·安徽宣城·高一期中）如图，在长方形中，，点在线段上运动，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
26．（2022·全国·高一）在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，E为AD上一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
28．（2023·广东·仲元中学高一期末）已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为 B．
C．向量在向量上的投影向量的模为 D．若，则
29．（2023·全国·高一）若平面向量和互相平行，其中，则（ ）
A． B．0 C． D．2
30．（2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量的模为
31．（2023·全国·高一单元测试）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
32．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（，为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为3
三、填空题
33．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）已知向量，，且，则______．
34．（2023·全国·高一单元测试）已知，，点P在延长线上，且，则点P的坐标为___________.
35．（2023·河北·沧州市一中高一阶段练习）已知，，为坐标原点，，，三点共线，且，则点的坐标为______．
36．（2023·江苏东海·高一期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为___________.
37．（2022·全国·高一单元测试）如图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为______.
四、解答题
38．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
39．（2022·湖南·高一课时练习）已知点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及．
(1)当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明为什么．
40．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，．
(1)求和；
(2)当k为何值时，向量与垂直？
41．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
/
【答案详解】
1．A
【详解】
因向量，则有，
所以.
故选：A
2．A
【详解】
解:因为,
所以,
所以,
因为,
所以,当且仅当时等号成立,
故选:A
3．D
【详解】
因为向量，，则，故A错误；，故B错误；
，故错误；，故正确，故选：D
4．A
【详解】
解析根据题意，向量，，则，
则，，.
若，则有，
解得.
故选：
5．B
【解析】
根据，，结合向量加法的三角形法则，应用向量的坐标运算得到，进而求得
【详解】
由，，而
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，结合向量加法法则求向量的模
6．A
【解析】
可得，即可求出，得出模.
【详解】
，，
，
,
，即，
.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
以，为坐标轴建立平面直角坐标系，由转化为坐标的运算可得答案.
【详解】
以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则，，．
因为，所以
解得，所以．
故选：B．
8．C
【解析】
【分析】
由题可得，再根据可求.
【详解】
，，为坐标原点，
，即，
点在第二象限内，，
，解得（舍负），
.
故选：C.
9．B
【解析】
【详解】
设是单位向量，，① 由得，因为向量与单位向量同向，② ，①②联立解方程得或，或，又方向相同，舍去，，故选B.
10．A
【解析】
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
11．C
【解析】
【分析】
由，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】
由,结合投影几何意义有：过点作的垂线，垂足落在的延长线上，且
,
以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
设，其中
则
解析式是关于的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值，
当时取得最小值
故选：
【点睛】
本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型.
12．A
【解析】
根据,,,由正弦定理可得为等腰直角三角形,进而求得点坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用,表示出.再由,将化为关于的二次表达式,由二次函数性质即可求得的最小值.
【详解】
在中,已知,,
由正弦定理可得
代入,解得
即
所以为等腰直角三角形
以为原点,所在直线为轴,以的垂线为轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点坐标为
所以,
因为
则
则
因为,则
代入上式可得
所以当时,
故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
13．C
【解析】
【分析】
求出与的坐标，再借助向量共线的坐标表示列式计算即得.
【详解】
因向量，，则，，
又与平行，于是得，解得，
所以.
故选：C
14．D
【解析】
【分析】
根据平行垂直关系可求出，即可求出，进而得出所求.
【详解】
且，
，解得，
，.
故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
根据向量垂直平行关系明确参数，从而可得所求向量的模.
【详解】
∵向量，，，且，，
∴ ，∴，
∴，，，
∴.
故选：B.
16．B
【解析】
【分析】
由条件可得，然后逐一判断即可.
【详解】
因为，，所以；
所以，，A、C正确；
与不可以作为一组基底，B错误；
，所以与方向相反，D正确；
故选：B
17．C
【解析】
【分析】
根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
解析　∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
18．D
【解析】
【分析】
根据向量的坐标表示及运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为向量，且，
由向量，所以，所以①正确；
由向量，，所以，所以②正确；
由向量，，所以，所以③正确；
由②知且，则，所以④正确.
故选：D.
19．C
【解析】
【分析】
根据向量对应线段的数量关系可得，再由向量加法的几何应用求的线性关系，结合已知求出即可.
【详解】
，即，
∴，
又，则，，故．
故选：C．
20．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案．
【详解】
根据题意，已知，，则，
若、、点共线，则，则有，解得：，
故选：D．
21．D
【解析】
【分析】
先根据已知条件确定三点的位置关系并得到，再设，根据坐标运算代入坐标求解即可.
【详解】
点在线段的延长线上，又，.
设,则,,
.选D.
22．D
【解析】
【分析】
由题意，，是任意的非零向量，且相互不共线，①中研究向量的数量积与数乘运算，由运算规则判断；
②中研究向量差的模与模的差的关系，由其几何意义判断；③中研究向量的垂直关系，可由数量积为0验证；④中是数量积的运算规则考查，由数量积运算规则判断．
【详解】
解：由题意①是一个错误命题，因为与共线，与共线，由题设条件，是任意的非零向量，且相互不共线知，不成立；
②是一个正确命题，由向量的减法法则知，两向量差的模一定小两向量模的差；
③是个错误命题，因为，故与垂直，所以此命题不正确；
④是一个正确命题因为是正确的；
综上知②④是正确命题
故选：．
23．B
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式以及重心的坐标公式即可解出．
【详解】
设，所以，解得，
，解得，所以B，C的坐标分别为，．
故选：B．
24．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出的值．
【详解】
向量，，
所以， ，
又，
所以，
解得．
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
以点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，表示出点的坐标，由点在上运动，则，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
解：由题可得，设，因为是长方形，所以以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则、，
则，，因为，所以，
所以，
因为点在上运动，所以有，所以，整理得，
故选：A.
26．B
【解析】
【分析】
结合平面向量模长的坐标计算公式即可求出结果.
【详解】
设，且，则,
所以，解得，
则，
故选：B.
27．C
【解析】
【分析】
由题意建立如图所示的直角坐标系，设，根据，得，解得，再根据得到解之即得解.
【详解】
由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，
解得，
由，得，
所以
解得，
所以.
故选：C.
28．ACD
【解析】
【分析】
对于A：由已知得，根据向量夹角的计算公式计算可判断；
对于B：由已知得，由此可判断；
对于C：由已知得向量在向量上的投影，从而可判断；
对于D：由，可判断.
【详解】
解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，故B不正确；
对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：因为，所以，所以，故D正确，
故选：ACD.
29．AD
【解析】
【分析】
根据平行向量的坐标表示求出x的值，进而求出的坐标，得出的坐标，结合向量的求模公式即可得出结果.
【详解】
因为平面向量和互相平行，
所以或，
即，或，，
所以或，
所以或，
故选：AD
30．CD
【解析】
【分析】
A.结合等边三角形的性质，判断A；结合图形，利用向量加，减法，表示向量，判断B；利用坐标，结合三点三点共线，求得点的坐标，再结合向量加法的坐标表示，即可判断C；利用投影向量的模的公式，结合向量的坐标，即可判断D.
【详解】
由点为的中点，则，，所以选项A错误；
由平面向量线性运算得，所以选项B错误；
以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图所示，
，，，，，
设，，，，
，所以，解得，，所以选项C正确；
因为，，在方向上的投影向量的模为，所以选项D正确.
故选：CD
31．AD
【解析】
【分析】
根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
A选项，由于，所以，A错误.
B选项，，B正确.
C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.
D选项，时就不行，D错误.
故选：AD
32．AD
【解析】
【分析】
由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系.
【详解】
由题设，可得，又三点共线，
∴，即，B错误；
由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D正确；
，又，
∴，故A正确.
故选：AD.
33．
【解析】
【分析】
先计算，再由向量的平行关系建立方程即可求解.
【详解】
因为，所以，解得．
故答案为：.
34．
【解析】
【分析】
由已知可得，设，再由上面的式子列方程组可求得答案
【详解】
设，则
因为点P在延长线上，且，
所以，
所以，
所以，得，
所以点P的坐标为，
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
由三点共线得，再应用向量线性运算的坐标表示求坐标，即可得的坐标.
【详解】
∵，，三点共线，且，
∴，又，，即，
∴，则的坐标为.
故答案为：
36．.
【解析】
【分析】
求得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，由定义求得，进而可求得点的坐标.
【详解】
由题意得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，
则，又，设，
则，解得，，即点的坐标为.
故答案为：.
37．
【解析】
【分析】
构建直角坐标系，令求的坐标，进而可得，，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.
【详解】
以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y建系，则，，
又，，令，，
故，则，，
，
所以时，取最小值.
故答案为：.
38．(1)
(2)
(3)0
(4)49
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标公式进行计算；（2）利用向量的坐标线性运算法则及向量数量积的坐标公式进行计算；（3）利用向量的坐标线性运算法则及向量数量积的坐标公式进行计算；（4）先求出，进而求出.
(1)
(2)
(3)
(4)
，所以
39．(1)当时，P在x轴上；当时，P在y轴上；当时， P在第四象限；
(2).
【解析】
【分析】
用坐标表示出向量
（1）由点P的位置，分别列式子，求出m的值或范围；
（2）先假设存在m符合题意，利用向量相等的条件列方程组，求出m的值
(1)
因为点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及
所以.
若P在x轴上，则，解得：；
若P在y轴上，则，解得：；
若P在第四象限，则，解得：.
综上所述：当时，P在x轴上；当时，P在y轴上；当时， P在第四象限；
(2)
假设四边形OABP能构成为平行四边形，则.
因为，所以，解得：m=0.
所以m=0时，四边形OABP能构成为平行四边形.
40．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出，的坐标，再利用向量的模公式求出和；
（2）求出与的坐标，利用向量垂直的坐标运算列出关于的方程组，求出的值；
(1)
解：，．
，
；；
(2)
解：，
与垂直时，
时，与垂直．
41．(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
当，，三点共线时，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴当时，取得最小值，此时，
∴，，，，
∴．
将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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