资源简介

准考证号 姓名
绝密★启用前 （在此卷上答题无效）
萍乡市 2023—2024学年度第一学期期末考试
高 二 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．满分 150 分，考
试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的
“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答
案标号．回答非选择题时，用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据右表数据，通过最小二乘法求得 y关于 x的线性回归方程为： y 0.3x a，则 a
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．1 x 1 2 3 4
y 0.6 0.8 1.1 1.5
2．已知 a，b， c是空间中两两垂直的单位向量，则|3a b 2c |
A． 14 B．14 C． 2 D．2
x2 y2 m
3．焦点在 x轴上的双曲线 1的离心率为 3，则 的值为
m n n
2 1 1A． B． 2 C． D．
2 2
4．某一地区患有癌症的人占 0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为
0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为
A 1 B 9． ． C 9 18． D．
2 200 19 37
5．有 7种不同的颜色给右图中的 4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使
用 3种颜色，则不同的涂色方法种数为
A． 462 B． 630 C． 672 D．882
6．加斯帕尔·蒙日是 18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都
在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆
x2 y2C : 1， P是直线 l : 4x 3y 20 0 上一点，过 P作C的两条切线，切点分别为
9 7
M、N，连接OP（O是坐标原点），当 MPN为直角时，直线OP的斜率 kOP
4 4 3 3
A． B． C． D．
3 3 4 4
7．以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD 折成 60 的二面角．若 AB 2 ，

DM xDA yDB 1 x y DC DM，其中 x, y R ，则 的最小值为
A 21 B 7． ． C 21． D 21．
21 7 14 7
试卷第 1页，共 8页
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8．抛物线C : x2 2py(p 0)的焦点为 F ，准线为 l，过 F 的直线与C相交于 P,Q两点，且满足 PF 2FQ， F 在
l上的射影为M ，若 PMQ的面积为 3 2 ，则 PQ的长为
9 9 27
A． B． C． D．9
4 2 4
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列命题中正确的是
1
A．已知随机变量 X ~ B(6, ) ,则D(3X 2) 12
3
B．若随机事件 A,B P(A) 1满足： ,P(B) 2 ,P(A B) 5 ，则事件 A与 B相互独立
2 3 6
C．若事件 A与 B相互独立,且 0 P(A)P(B) 1,则 P(A | B) P(A)
D．若残差平方和越大,则回归模型对一组数据 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn )的拟合效果越好
10．曲线C：y x2 4x ，直线 l1：x m
2 y 2 0与 l2：2mx 2y m 0，下列结论错．误．的是
A C 3 2．曲线 的图象一定关于 l l1 l21对称 B．当 时， l1与 l2 间的距离为 2

C 4 ．当 l1 l2时，m 1 D．若 l2 与曲线C 有 2个交点，则m的取值范围是 0,
3


11．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1边长为1， F 是线段 AD1的中点， E是线段 AC上的动点，下列结论正确的是
1
A．CF AB AD 1 AA
2 2 1
1
B．三棱锥C1 EA1D1的体积为定值 3
C．直线 A1B与平面 B1EC
6
所成角的正弦值为
3
1 3
D．直线DB1与直线 A1E 所成角的余弦值的取值范围为 ，
3 3


x2 y2
12．双曲线C : 1的左右焦点分别为 F1,F2 ，两条渐近线分别为 l1,l2，过坐标原点的直线与C的左右两支分4 12
别交于 A,B两点， P为C上异于 A,B的动点，下列结论正确的是
A．若以 AB为直径的圆经过 F2 ，则 S AF F 121 2
B．若 PF1 5，则 PF2 1或9
1
C．过点 F1作 l1的垂线，垂足为Q，若 F1A F1Q(0 1)，则 2
1 9
D．设 PA,PB的斜率分别为 k1,k2，则 2 2 的最小值为 2k1 k2
试卷第 2页，共 8页
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萍乡市 2023—2024学年度第一学期期末考试
高 二 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知过点 P(3,1)的直线 l在 x轴上的截距是其在 y轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线 l的方程为 .
14．将 6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答）
1
15．若随机变量 X ~ N (2, 4），且 P(X 0) P(X a)，则 (x a)2 (x )4展开式中 x2项的系数是 .
x
16．盒中装有 5个大小、质地相同的小球，其中 3个白球和 2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，
当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的
总次数为 X ，则 P(X 3) .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知圆M 是 ABC的外接圆，圆心为M ，顶点 B( 2,6)，C(4, 2)，且 .
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.

①顶点 A( 2, 2)；② AB AC；③ BM MC .
（1）求圆M 的标准方程；
（2）若点 P为直线 l :3x 5y 27 0上一动点，过点 P作圆M 的切线，切点为Q，求 PQ 的最小值.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是菱形， PA PD AD 2， DAB 60 ．
（1）证明： AD PB；
6
（2）若异面直线 PB与CD所成角的余弦值为 ，求平面 APD与平面CPD所成
4
角的正弦值．
19．（本小题满分 12 分）
甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成
绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
校 频数 3 14 8 10 3 x
乙 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
校 频数 2 10 y 2 2 1
试卷第 3页，共 8页
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（1）计算 x， y的值；
（2）若规定考试成绩在 130,150 内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取 4人，求恰有1人来自乙校的概率；
（3）若规定考试成绩在 120,150 内为优秀，根据以上统计数据完成 2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
甲校 乙校 总计
2 n(ad bc)2参考公式： ， n a b c d．
(a b)(c d )(a c)(b d ) 优秀
非优秀
临界值表： P( 2 0 ) 0.1 0.05 0.01
0 2.706 3.841 6.635 总计
20．（本小题满分 12 分）
在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜
方；当游戏分出胜负或两人各答错 3次时游戏均结束，两人各答错3 1次视为平局．已知甲每次答对题的概率均为 ，
4
1
乙每次答对题的概率均为 ，且每次答题互不影响．
3
（1）求两人共答题不超过 4次时，甲获胜的概率；
（2）求游戏结束时乙答题次数 X 的分布列与数学期望．
21．（本小题满分 12 分）
如图， ABCD是边长为 4的正方形，DE 平面 ABCD， AF DE，且DE 3AF 3．
（1）证明： BF 平面DEC；
（2）线段 AC 5 21上是否存在一点 P，使得点 P到平面 BEF的距离为 ？若存在，求
21
线段 AP的长；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分 12 分）
y2 x2
如图，椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的上顶点为 A ，右顶点为
B(1,0) ，离心率
a b
e 2 2 ，C、D是椭圆上的两个动点，且满足CD AB．
3
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）试判断直线 AD与 BC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请
说明理由．
试卷第 4页，共 8页
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萍乡市 2023—2024 学年度第一学期期末考试
高二数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（8×5=40 分）：BACDC；DDB．
二、多项选择题（4×5=20 分）：ABC；ABC；ACD；AD．
1 1
三、填空题（4×5=20 分）：13． y x（或 y x 2）； 14．50； 15． 48； 16 3． ．
3 3 10
四、解答题（共 70 分）
17．答案：(1)圆M 的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 25；(2) PQ 的最小值为3．
(1) 2 2 2若选①：【方法一】设圆M 的标准方程为 (x a) (y b) r ，圆心为M (a,b)，半径为 r，
∵圆M 过点 A( 2, 2)，C(4, 2)，∴圆心在直线 x 1上，即 a 1；∵圆M 过点 A( 2, 2)， B( 2,6)，∴圆心在
直线 y 2上，即b 2，∴圆M 的圆心为M (1, 2)，半径 r MA (1 2)2 (2 2)2 5， ……………………4分
∴圆M 的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 25； …………………………………………………………………………5分
【方法二】设圆M 2 2的一般方程为 x y Dx Ey F 0，
∵圆M 过点 A( 2, 2)， B( 2,6)，C(4, 2)，代入方程，解得D= 2,E 4,F 20，…………………………3分
2 2
∴圆M 的一般方程为 x y 2x 4y 20 0，………………………………………………………………………4分
2 2
∴圆M 的标准方程为 (x 1) (y 2) 25； …………………………………………………………………………5分
若选②：∵ AB AC，∴ ABC是直角三角形，∴ ABC的外接圆圆心M 为斜边 BC的中点，…………………1分
2
设圆M 的标准方程为 (x a) (y b)2 r2，圆心为M (a,b)，半径为 r，
由题知，圆心为M (1, 2)，半径 r MB ( 2 1)2 (6 2)2 5， …………………………………………………4分
∴圆M 的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 25； …………………………………………………………………………5分

若选③：∵ BM MC，∴圆心M 为边 BC的中点， BC 为圆的直径，………………………………………………1分
设圆M 的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r2，圆心为M (a,b)，半径为 r，
由题知，圆心为M (1, 2)，半径 r MB ( 2 1)2 (6 2)2 5， …………………………………………………4分
2 2
∴圆M 的标准方程为 (x 1) (y 2) 25； …………………………………………………………………………5分
2 2 2 3 1 5 2 27
(2) 2依题意： PQ = PM r PM 25， dM l 34 ， ……………………………………7分
32 52
又∵ PM dM l 34 PQ
2
，∴ 34 25 9，即 PQ 3，∴ PQ 的最小值为3． ……………………………10分
试卷第 5页，共 8页
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18 2 5．答案：(1)见详解；(2)平面 APD与平面CPD所成角的正弦值为 ．
5
（1）证明：设O为 AD的中点，连接OP，OB， BD，∵底面 ABCD是菱形， DAB 60 ，∴ AD BO， …1分
又∵ PA PD，∴ AD PO，………………………………………………………………………………………………2分
PO BO O， PO、BO 平面 PBO，∴ AD 平面 PBO， …………………………………………………………4分
∵ PB 平面 PBO，∴ AD PB；…………………………………………………………………………………………5分
6
（2）∵ AB ||CD，∴ PBA为异面直线 PB和CD所成角或其补角，则 cos PBA ， …………………………6分
4
又 AB AP 2，由余弦定理， PB 6，在 POB中， PO2 BO2 PB2 ，∴ PO BO， ………………………7分
由（1）可知， PO AD,BO AD，故 PO,OB,AD两两垂直，以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系， ……8分

A(1,0,0)， B(0, 3,0)，C(-2, 3,0)，D(-1,0,0)， P(0,0, 3)，DC ( 1, 3,0)， DP (1,0, 3)，设平面CPD的法

n DC 0 x 3y 0
向量 n= (x, y,z)，则 ，即 ，令 x 3，得 n = ( 3,1,-1)，
n DP 0 x 3z 0

因为 BO 平面 APD，故平面 APD的法向量OB (0, 3,0)， ………………10分
OB n
设平面 APD和平面CPD所成角为 ，则 cos 5 ， ………………11分
OB n 5
sin 2 5则 ，故平面 APD和平面CPD 2 5所成角的正弦值为 ． …………………………………………………12分
5 5
x 2, y 15 319．答案：（1） ；（2） ；（3）列联表见后；不能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为两所学校的
7
数学成绩有差异．
72 1000 40 72 800（1）甲校抽取 人，乙校抽取 =32人， 故 x 2, y 15； ……………………………………3分
1800 1800
C1 C3
（2）由表知甲校尖子生5 3人，乙校尖子生3人，共 8人，抽取 4人，恰有1人来自乙校的概率 P 3 54 ；…6分C8 7
（3） 2 2列联表如下： ……………………………………………………………………………………………………9分
甲校 乙校 总计
优秀 15 5 20
非优秀 25 27 52
总计 40 32 72
2 72 15 27 5 25
2
4.240 6.635
40 32 20 52 ，
故不能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．………………………………………12分
20 3 21．答案：（1） ；（2） ．
8 16
（1）计 Ai ,Bi分别表示甲、乙在第 i次答题答对，则 P(A )
1
i ， P B =
1
i ， i 1, 2,3，……………………………2分4 3
记“甲获胜”为事件C，则 P(C) P(A1 ) P(A1B1A )
1 3 2 1 3
2 ； ……………………………………………5分4 4 3 4 8
试卷第 6页，共 8页
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(2) X 的所有可能为： 0，1，2，3 ， P(X 0) 1 ， P(X 1) 3 1 3 2 1 3 ， ………………………………7分
4 4 3 4 3 4 8
P(X 2) 3 2 3 1 3 2 3 2 1 = 3 P X 3 3 2 3 2 3 3 ， ， ……………………………9分
4 3 4 3 4 3 4 3 4 16 4 3 4 3 4 16
综上所述， X 的分布列为： ………………………………………………………………………………………………10分
X 0 1 2 3
1 3 3 3
P
4 8 16 16
数学期望 E(X ) 0 1 +1 3 +2 3 +3 3 21 = （次）． ………………………………………………………………12分
4 8 16 16 16
5 21
21．答案：(1)见详解；(2)存在这样的点 P，当 AP 2 时，点 P到平面 BEF的距离为 ．
21
（1）证明：设点G是线段DE上靠近D的三等分点，连接GF，GC．∵DE 3AF 3，∴ AF DG，
又∵ AF ||DE，∴四边形 AFGD是平行四边形，∴ FG AD， FG AD， …………………………………………2分
在正方形中 BC AD， BC AD，所以 FG BC ， FG BC，∴四边形 FGCB是平行四边形，
则 BF GC ， BF 平面DEC，GC 平面DEC，∴ BF 平面DEC ； ……………………………………………5分
（2）∵DE 平面 ABCD，DA DC，∴以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ………………………6分

A(4,0,0) ， B(4,4,0) ， C(0,4,0) ， F (4,0,1) ， E(0,0,3) ， AC ( 4,4,0) ， EF (4,0, 2) ， EB (4,4, 3) ，设

P(x, y,z)， AP AC , 0 1，故 P(4 4 ,4 ,0)， BP ( 4 ,4 4,0) ， …………8分
设平面 BEF的法向量为 n= (x, y,z)，则

n EF 0 4x 2z 0 1
，即 ，令 x 1，则 n= (1, ,2)， ……………………………9分
n EB 0 4x 4y 3z 0 2

P BEF 5 21 |n BP| | 4 2 2| 5 21 1 9∵点 到平面 的距离为 ，∴ ，解得 或 （舍去）， …………11分
21 |n | 1 21 4 41 4
4
5 21
∵ AC 4 2 ，∴ AP 1 AC 2，∴当 AP 2时，点 P到平面 BEF的距离为 ．………………………12分
4 21
y2
22 2．答案：(1)椭圆 E 的标准方程为 x 1；(2)直线 AD与 BC的斜率之积是定值9．
9
b 1
a 3
e c 2 2
2
(1)依题意：
y 2
，解得 b 1 ，故椭圆 E 的标准方程为 x 1；…………………………………4分
a 3 9
a2 b2 c2 c 2 2
(2)直线 AD与 BC的斜率之积是定值，理由如下：
试卷第 7页，共 8页
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依题意： A(0,3),B(1,0) k 3 0，∴ AB 3，又∵CD AB，∴ kCD kAB 3，…………………………………6分0 1
设直线CD的方程为 y 3x t，C、D两点的坐标分别为 (x1 , y1), (x2 , y2 )，
y 3x t x t x
1 2
联立 2 ，得18x2 y 6tx t
2 9 0 3，则 ， =36t2 72(t2 9) 0 3 2 t 3 2 ， …8分
x2
2
1 x x t 9 9 1 2 18
y2 3 y1 y1 (y2 3) y1y2 3y1 ( 3x1 t)( 3x2 t) 3( 3xk 1
t)
AD kBC x2 x1 1 x2 (x1 1) x1x2 x2 x1x2 x2
t2 9 2 2 t2 9 t
9x1x2 3t(x1 x ) t
2
2 9x 3t
t t 9x1 3t 9( x2 ) 3t
= 1 = 2 2
2 3
x1x2 x2 t 9 x t
2 9
2 x18 18 2
t2 9 2
9x t 9
2 2
9( x )
18
2
2 9，t 9 t2x 9
18 2
x
18 2
∴直线 AD与 BC的斜率之积是定值，定值为9． ………………………………………………………………………12分
命题：曾 星（芦溪中学） 张理飞（上栗中学） 张 斐（芦溪中学）
审核：胡 斌（市教研室）
试卷第 8页，共 8页
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