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亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
0第六章平面向量及其应用（知识通关详解）
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
例1：1．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
.举一反三
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等
2．（多选）给出下列命题正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．对于任意向量，必有
3．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等
4．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．
5．下列各量中，向量有：______．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例2：1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
举一反三
1.化简：=______．
2．化简：___________.
3.在中，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
例3：1．（2021·山西临汾·一模（理））已知，，，则（　　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
2．如图，，不共线，且，用，表示．
举一反三
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________.
2.（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C．8 D．
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
例4：1．已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）在菱形中，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三
1．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
2．（多选）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
3．如图，向量、、的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则________．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
例5：1．在中，点在上中点，点是的中点，若，，则等（）
A． B． C． D．
2．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知向量，则_______________．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
例6：已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．已知两向量共线，则实数m =_________．
2.已知向量，，向量，，若，则实数______.
7．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
例7：1.（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2.（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
举一反三
1．若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，记，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）在中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，为的中点，则_____________．
8．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
例8：1．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
举一反三
（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________.
9．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
例9：1．（2022·江西·模拟预测（文））已知平面向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．（2021·北京房山·二模）已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.
举一反三
1．（2022·江西师大附中三模（理））已知均为单位向量，且，则__________．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知向量满足：，则__________.
3．（2021·重庆一中模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角为__.
10．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例10：1．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
举一反三
（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知向量，满足，，则________ .
11．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例11：（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
举一反三
1．已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；（2）若向量与垂直，求实数的值.
2．在平行四边形中，为一条对角线．若，.
（1）求的值；（2）求的值．
12．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
例12：1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值（）
A． B． C． D．
2．（多选）已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______.
举一反三
1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．13 D．26
2．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣1
3．（多选）点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
向量在物理中的应用
例13：1．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B． C． D．
2．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
举一反三
1．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
14．正弦定理及其变形
变式：
例14：1.（2015·北京·高考真题（文））在中，，，，则_________．
2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．
举一反三
1．已知：如图，在梯形中，，，，，求的长
2．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．
（1）求b；（2）求∠A．
15．余弦定理及其推论
例15：1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2019·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
2.（2014·江苏·高考真题）若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．
16．常用的三角形面积公式
（1）；
（2） （两边夹一角）；
例16：已知，，是中，，的对边，且，，成等差数列.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
举一反三
1．在中，a、b、c分别是角A．B．C的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积.
17．三角形中常用结论
（1）
（2）
（3）在中，，所以 ①；②；
③；④⑤
例17：1.（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
2．在中，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长..
举一反三
1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状
2．在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角;
（2）若，求外接圆的半径.
3．在中，已知.
（1）若外接圆的直径长为，求的值；
（2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围．
4．在中，，，的对边分别为，，．已知
（1）求的大小；
（2）已知，求的面积的最大值．
18．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
例18：1.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
2.（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
举一反三
1．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
2．如图，半圆的半径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边做等边三角形，设.
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求线段长度的最大值，并指出此时的值.
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第六章平面向量及其应用（知识通关详解）
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
例1：1．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，
【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A
2.如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.
(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.
(2)由相反向量定义知：的相反向量有.
(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.
举一反三
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等
【答案】B
【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．
【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
由于与方向相反，长度相等，故B正确；
因为零向量的模为0，故C错误；
与线段的长度相等，故D错误．
故选：B．
2．（多选）给出下列命题正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．对于任意向量，必有
【答案】BD
【分析】根据向量的基本概念即可求解.
【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：
长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；
对于B：根据相反向量的定义可知B正确；
对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；
对于D：根据三角形三边关系知正确；
故选：BD.
3．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】利用零向量的定义及性质判断选项A和选项C，利用共线向量的定义判断选项B，利用相等向量的定义判断选项D.
【详解】解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．
故选：ACD．
4．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．
【答案】,
【分析】根据相等向量的定义确定即可.
【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，,
因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，.
故答案为：，.
5．下列各量中，向量有：______．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【答案】③⑤⑥⑧⑩
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.
故答案为：③⑤⑥⑧⑩.
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例2：1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【分析】
将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.
【详解】
将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.
如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【点睛】
本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
答案．（1）；（2）；（3）.
【分析】
根据向量的加减运算和数乘运算法则运算即可.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数乘运算，属于基础题.
举一反三
1.化简：=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的加减法法则计算．
【详解】
．
故答案为：．
2．化简：___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
解：，
，
，
故答案为：
3.在中，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得，即得.
【详解】
∵，
∴，
∴.
故选：B.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
例3：1．（2021·山西临汾·一模（理））已知，，，则（　　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算得到，从而可以获得答案.
【详解】
，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
故选：B.
2．如图，，不共线，且，用，表示．
答案．
【分析】
根据向量的三角形法则可得，再根据得,把用表示出来即可。
【详解】
解：因为，
所以
．
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。
举一反三
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据共线向量定理可得，解方程即可得到答案；
【详解】
由题意知，．
，又不共线，
∴.
故答案为：
2.（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C．8 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量平行的条件及向量的摸的坐表示即可求解.
【详解】
由，，，得，解得.
所以，所以.
故选：A.
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
例4：1．已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，结合三角形中位线性质可确定为上靠近的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.
【详解】取中点，连接，交于点，
，，四边形为平行四边形，
，又为中点，，同理可得：，
，
.
故选：D.
3．（多选）在菱形中，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量等线性运算法则求出，再判断得解.
【详解】解：对于选项A，，所以该选项错误；
对于选项B，，所以该选项正确；
对于选项C，，所以该选项错误；
对于选项D，，所以该选项正确.
故选：BD
举一反三
1．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【详解】由题知，，
所以，
又因为为线段上任一点，
所以，
所以
当且仅当时等号成立，此时，.
故选：D.
2．（多选）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的分解定理中基底选择的标准可得.
【详解】根据平面向量的分解定理，两个向量可作为一组基底必须它们不平行，
与不平行，有解之.
故选：ABD.
3．如图，向量、、的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则________．
【答案】4
【分析】运用平面向量基本定理，向量加法解决即可.
【详解】如图，
，
所以，
因为，
所以，即，
故答案为：4
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
例5：1．在中，点在上中点，点是的中点，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为点在上中点，点是的中点，
所以，
又，，
所以.
故选：A
2．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点的坐标为，
由于平行四边形的四个顶点为，
所以可能有以下三种情形：
当时，即，解得，即的坐标为；
当时，即，解得，即的坐标为；
当，即，解得，即的坐标为；
故选：ABC.
举一反三
1．已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过线段的点和点坐标，由中点坐标公式即可求出线段中点的坐标.
【详解】在线段中，
，
∴线段中点的坐标为.
故选：D.
2．已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出，求模即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：C.
3．已知向量，则_______________．
【答案】
【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.
【详解】因为，所以，
故答案为：
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
例6：已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行公式求解即可
【详解】
由题意知，解得，
故选：．
举一反三
1．已知两向量共线，则实数m =_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由共线向量的坐标公式代入即可得出答案.
【详解】
两向量共线，所以.
故答案为：.
2.已知向量，，向量，，若，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算．
【详解】
根据题意可知，不共线
若，则，使得，即
则可得，解得
故答案为：．
7．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
例7：1.（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
2.（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
举一反三
1．若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，根据可得,代入化简求解夹角余弦值即可.
【详解】设与的夹角为，
因为，所以，
.
.
故选：D.
2．在中，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.
【详解】.
故选：D.
3．（多选）在中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为，所以，
所以，
故选项A正确，
因为，所以
所以
，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故选项D正确，
由，
所以在中，因为，
所以，故B正确，
故选：ABD.
4．如图，在中，，，为的中点，则_____________．
【答案】
【分析】，据此可得答案.
【详解】.
则.
故答案为：
8．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
例8：1．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用在上的投影为1求出，然后可求在上的投影.
【详解】
因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
故选：C.
举一反三
（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根向量的投影即可求解.
【详解】
解：由题意得投影为：，
故答案为：
9．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
例9：1．（2022·江西·模拟预测（文））已知平面向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的模的坐标运算，以及向量的数量积公式，即可求出结果.
【详解】
因为平面向量的夹角为，且，
所以，
所以.
故选：C.
2．（2021·北京房山·二模）已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求得的值．
【详解】
单位向量的夹角为，
，
与垂直，
则实数，
故答案为：
举一反三
1．（2022·江西师大附中三模（理））已知均为单位向量，且，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题得，平方即可求解.
【详解】
由可得，
所以，即，所以.
故答案为：1.
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知向量满足：，则__________.
【答案】##-2.5
【解析】
【分析】
根据平面向量垂直的向量表示以及平面向量数量积的运算律可求出结果.
【详解】
由得，即.
故答案为：.
3．（2021·重庆一中模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，，且进行平方可得，利用数量积公式即可得解.
【详解】
对两边平方可得：，
所以，
由，
可得，
所以夹角为，
故答案为：.
10．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例10：1．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.
【详解】
由题意，
又与的夹角为且为单位向量，
所以，可得.
故选：A
举一反三
（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知向量，满足，，则________ .
【答案】4
【解析】
【分析】
由垂直关系得到，利用向量数量积运算法则进行计算.
【详解】
因为，所以，所以
故答案为：4
11．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例11：（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
举一反三
1．已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；（2）若向量与垂直，求实数的值.
答案．（1）（2）
【分析】
（1）先利用向量数量积的坐标运算及模的运算，再求向量夹角即可；
（2）由向量与垂直等价于，再求解即可.
【详解】
解：（1），
（2），
又与垂直，
即，
故.
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算及模的运算，重点考查了向量垂直的充要条件
2．在平行四边形中，为一条对角线．若，.
（1）求的值；（2）求的值．
答案．（1）（2）
【分析】
（1）先计算，再利用夹角公式计算得到答案.
（2）先计算，再计算得到答案.
【详解】
（1）∵四边形为平行四边形，∴
∴.
（2）
.
【点睛】
本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.
12．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
例12：1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要利用向量的线性运算和即可求解.
【详解】解：由题意得：
设，则
又由，不共线
，解得：
故选：D
2．（多选）已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】BCD
【分析】根据题意，求出向量、的坐标，由此可得且，由向量平行的意义分析可得答案.
【详解】根据题意，A，B，C，D四点坐标分别是（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），
则，，故且，
又A，B，C，D四点不共线，故此四边形为梯形，即不可能为菱形、矩形、正方形，
故选：BCD．
3．在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______.
【答案】1
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
因为，，，
则，
又则，
因为，所以，
所以直线的斜率为，
其方程为，
直线的斜率为，
其方程为,
由得，，
所以,
由，，
所以，
故答案为：1.
举一反三
1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．13 D．26
【答案】C
【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解.
【详解】∵，∴AC⊥BD，
所以四边形ABCD面积为：.
故选：C.
2．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】以B为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出、、点坐标，然后分类讨论在线段DA，AB，BC时，并结合数量积的坐标公式求的最大值即可求解.
【详解】以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图:
可得，，，，
①当E在DA上，设，其中，
此时，，
故；
②当E在AB上，设，，
此时，
此时最大值为0；
③当E在BC上，设，其中，
，，
此时，
综上所述，的最大值是0.
故选：A．
3．（多选）点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】AD
【解析】由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】∵P是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
向量在物理中的应用
例13：1．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法及其几何意义求解
【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，
所以的大小为，
故选：B
2．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.
【详解】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
举一反三
1．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的加法运算求解.
【详解】解：由题得v1和 v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为.
故选：C.
2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
3．（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
【答案】AC
【分析】根据物体在匀速运动时力的平衡原理作力的分解即可求解.
【详解】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为，
则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，
故 不断增大.因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小；
故选：AC.
14．正弦定理及其变形
变式：
例14：1.（2015·北京·高考真题（文））在中，，，，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】
由正弦定理，得，即，所以，所以.
考点：正弦定理.
2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．
1．
【分析】
先通过正弦定理求出，再根据三角形的内角和为求出.
【详解】
解：由正弦定理得，
即，解得，
因为，则必为锐角，
，
.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，是基础题.
举一反三
1．已知：如图，在梯形中，，，，，求的长
答案．
【分析】
先在求得,即得,再利用余弦定理求的长.
【详解】
因为，，所以为正三角形，
所以
因为，，所以
因此
【点睛】
本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．
（1）求b；
（2）求∠A．
．（1）；（2）∠A＝120°.
【分析】
由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，进而求出∠A的值．
【详解】
（1）由正弦定理得＝可得，
＝＝，所以b＝＝5．
（2）由余弦定理得
cosA＝＝＝，又因为，
所以∠A＝120°．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b的值，是解题的关键．
15．余弦定理及其推论
例15：1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
举一反三
1．（2019·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
2.（2014·江苏·高考真题）若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.
【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把化为，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来.
16．常用的三角形面积公式
（1）；
（2） （两边夹一角）；
例16：已知，，是中，，的对边，且，，成等差数列.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，成等差数列，得，再结合三角形内角和定理可求得结果；
（2）直接利用三角形的面积公式求解即可
【详解】
（1）因为角，，成等差数列
所以
又∵，所以.
（2）∴
【点睛】
此题考查等差数列的性质的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题
举一反三
1．在中，a、b、c分别是角A．B．C的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积.
8．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；
（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出，再根据，即可求出结果.
【详解】
解：（1）
∴
∵，∴，
∴，
又∵，∴
（2）∵，
∴，
∴，∴.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题.
17．三角形中常用结论
（1）
（2）
（3）在中，，所以 ①；②；
③；④⑤
例17：1.（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
【答案】##
【解析】
【分析】
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
2．在中，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可得，结合运算即可；
（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.
【详解】
解：（1）由正弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
则；
（2）由余弦定理可得，
得，
化简得，
又，则，
解得，或，，
所以三角形周长为.
【点睛】
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.
举一反三
1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状
答案．（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.
【分析】
（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；
（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状．
【详解】
（Ⅰ）∵，整理得，
∴，
∴．
（Ⅱ）由正弦定理，得，而，
∴，即，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】
本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.
2．在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角;
（2）若，求外接圆的半径.
13．（1）；（2）.
【分析】
(1)利用正弦定理边化角公式可得,再将
整理可得
(2)根据余弦定理可得再根据正弦定理求出,即可得
【详解】
解:(1)由正弦定理知
有，且
所以
(2)
所以
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.
3．在中，已知.
（1）若外接圆的直径长为，求的值；
（2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围．
答案．（1）6；（2）．
【分析】
由三角形内角求得，
（1）由正弦定理可得；
（2）由三角形面积得，利用正弦定理可把用表示为，这样只要求得的范围即可．，展开后应用二倍角公式，辅助角公式化为形式，然后结合正弦函数性质可得范围，其中可求得．
【详解】
（1）由已知，又，∴，，
由解得，，
由正弦定理得，∴．
（2）由（1），，则，∴．
由正弦定理得，，，，
，其中且为锐角，
，
∴时，，，
时，，，
∴的范围是．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换．关键是由正弦定理用角表示出边，再利用三角函数性质得出边的范围．
4．在中，，，的对边分别为，，．已知
（1）求的大小；
（2）已知，求的面积的最大值．
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得即可求解；
（2）利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
（1）由，化简可知，，
得，
由，故．
（2）由，得，
故，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．
【点睛】
关键点点睛：由正弦定理进行边角转化是化简三角恒等式的关键，求面积的最值转化为求的最值，合理使用均值不等式求最值，是解决问题的关键.
18．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
例18：1.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为，所以．
故答案为：.
2.（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
举一反三
1．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
【答案】A
【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.
【详解】设教学楼的高度为，
在直角三角形中，因为，所以，
在直角三角形中，因为，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得解得或（舍），
故选:A.
2．如图，半圆的半径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边做等边三角形，设.
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求线段长度的最大值，并指出此时的值.
【答案】(1)
(2)线段的最大值为，此时
【分析】（1）根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求出两个三角形面积相加可得解；
（2）根据余弦定理求出，根据正弦定理和两角和的余弦公式求出，再根据余弦定理求出关于的关系式，根据正弦函数的最值可求出结果.
【详解】（1）在中，
，
因为为等边三角形，所以，
又，
所以四边形的面积为.
（2）在中，，
所以，
因为为等边三角形，所以，
在中，，，
，
所以
，
在中，
，
因为，所以当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时.
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