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亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
0第七章 复数（知识通关详解）
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
2．复数集
例1：1．（2020·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则z的实部为（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
2．已知（），则a+b的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．的虚部是_____．
复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
(
复数
复平面
内的点
Z（a,b）
平面向量
)
例2：1．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A． B． C． D．
.2．（2019·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
举一反三
1．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，若向量对应的复数为，则复数为（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，若表示复数的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.
例3：1．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．若,其中是虚数单位,则的值分别等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（多选）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是方程的一个虚根，则实数的值为___________.
复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
例4：设，，，若为纯虚数，则实数的值为（ ）.
A． B．0 C．1 D．1或
举一反三
（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
例5：（2022·山东聊城·三模）若复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海交大附中模拟预测）已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．
举一反三
1．（多选）已知（ ）
A．虚部为1 B． C． D．
2．______．（其中i是虚数单位）
3．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．
（3）乘法： ， 特别；
例6：1．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则
A． B． C．3 D．5
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
例7：（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
举一反三
1．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
例7：1．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2020·全国·高考真题（文））若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
2．（2019·全国·高考真题（文））设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
3．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设复数z＝1+i，则2＝（ ）
A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i
7 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
例8：1．（2022·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
举一反三
1．复数，则（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虛部为（ ）
A． B． C． D．
4．设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
5．设，其中是虚数单位，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
8.复数的三角形式
1 、复数的三角形式
　　 (1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ ．
　　说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍．
　　 (2) 复数的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
　　说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
　 2 、复数的三角形式的运算：
　　设 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．则
　　
例9：1．复数与都是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．（多选）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
4．（多选）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于
C．为纯虚数 D．
5．把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______．
6．写出一个的复数______．
提升练习
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C．2 D．5
3．在复数范围内，复数的共轭复数的模是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2 C． D．
10．若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13 D．的虚部为
三、填空题
11．已知，复数，若的虚部为1，则_________.
12．已知i为虚数单位，则复数对应的点的坐标为______．
13．已知复数z满足，则z的虚部为______.
14．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得_________．
四、解答题
15．已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.
(1)判断复平面内对应的点在第几象限;
(2)计算.
16．已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
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第七章 复数（知识通关详解）
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
2．复数集
例1：1．（2020·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】
因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
2．已知复数z满足，则z的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简得到，从而得到z的实部.
【详解】，
故z的实部为.
故选：B.
举一反三
1．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】
∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，是基础题．
2．已知（），则a+b的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据得到，从而求出的值，得到答案.
【详解】，故，所以，.
故选：C
3．的虚部是_____．
【答案】
【分析】利用复数的概念求解.
【详解】解：因为复数为，
所以其虚部是，
故答案为：
复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
(
复数
复平面
内的点
Z（a,b）
平面向量
)
例2：1．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
2．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】
由题意得，.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2019·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出共轭复数再判断结果.
【详解】
由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】
本题考点为共轭复数，为基础题目．
举一反三
1．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案．A
【分析】
根据复数对应的点即可判断.
【详解】
复数在复平面上对应的点为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
2．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
由题化简可得：，即可可得.
【详解】
由题得，
在复平面内对应的点的坐标为，
故选：C.
【点睛】
本题考查了复数和复平面上的点对应关系，考查了复数的运算性质，属于基础题.
3．如图所示，若向量对应的复数为，则复数为（ ）
A． B． C． D．
答案．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得 ，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
4．在复平面内，若表示复数的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案．A
【分析】
根据复数对应的点所在象限列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为表示复数的点在第四象限，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查由复数对应的点所在象限求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型.
两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.
例3：1．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数相等的条件可求.
【详解】
，而为实数，故，
故选：B.
举一反三
1．若,其中是虚数单位,则的值分别等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将等式合并计算结果,求出即可.
【详解】解:由题知,
,
.
故选:C
2．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得，的值，从而求得结果.
【详解】∵，
∴，，
∴，
故选：B.
3．（多选）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据复数相等的定义得解.
【详解】，，
，，，
故选：AD.
4．已知是方程的一个虚根，则实数的值为___________.
【答案】26
【分析】根据方程虚根的定义，将代入方程，计算化简即可求解.
【详解】由是方程的一个虚根，
得，
整理，得，
则，解得.
故答案为：26.
复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
例4：设，，，若为纯虚数，则实数的值为（ ）.
A． B．0 C．1 D．1或
答案．A
【分析】
利用复数的加法运算以及复数的概念即可求解.
【详解】
由，，
则，
若为纯虚数，则，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的加法运算、复数的概念，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
举一反三
（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
例5：（2022·山东聊城·三模）若复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数相等可求得的方程，解出的值，即可得解.
【详解】
设，则，
因为，则，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
2．（2022·上海交大附中模拟预测）已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用复数的减法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
举一反三
1．（多选）已知（ ）
A．虚部为1 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据虚部的定义即可判断A；根据共轭复数及复数的乘法运算即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的加法运算即可判断D.
【详解】解：因为，
所以虚部为，故A错误；
，，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
2．______．（其中i是虚数单位）
【答案】
【分析】根据复数的减法运算，实部与实部相减，虚部与虚部相减.
【详解】
故答案为：
3．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．
【答案】5
【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解．
【详解】依题意得对应的复数为，
所以A，C两点间的距离为．
故答案为：5．
（3）乘法： ， 特别；
例6：1．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的乘法可求.
【详解】
，
故选：D.
举一反三
1．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】
∵ 故选D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
例7：（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
举一反三
1．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】
由题设有，故，故，
故选：D
2．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解.
【详解】
，
故选：C
3．已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案．D
【分析】
先化简，求出的值即得解.
【详解】
，
所以.
故选：D
6 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
例7：1．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
举一反三
1．（2020·全国·高考真题（文））若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】
因为，所以.
故选：D
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
2．（2019·全国·高考真题（文））设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
3．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案．D
【分析】
先对复数化简，从而可得其共轭复数，进而可得答案
【详解】
解：因为，
所以，
所以对应的点位于第四象限，
故选：D
4．设复数z＝1+i，则2＝（ ）
A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i
答案．A
【分析】
由z求得，再利用复数的乘方运算求解即可.
【详解】
∵z＝1+i，
∴＝（1﹣i）2
＝﹣2i.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.
7 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
例8：1．（2022·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】
由题意有，故．
故选：B．
举一反三
1．复数，则（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
答案．D
【分析】
先根据复数的除法运算计算复数z,再根据复数模的公式计算即可得答案.
【详解】
解：，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，模的计算，是基础题.
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
先求出，即可求出.
【详解】
，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.
3．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虛部为（ ）
A． B． C． D．
答案．A
【分析】
由复数的除法运算及模的运算可得，再结合复数虚部的概念即可得解.
【详解】
解：复数满足，
则，
即复数的虛部为，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属于容易题.
4．设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
答案．D
【分析】
先化简，即得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．设，其中是虚数单位，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
答案．C
【分析】
先根据完全平方公式和复数的运算计算出，再根据复数的模的求法解出即可.
【详解】
解：因为，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题.
8.复数的三角形式
1 、复数的三角形式
　　 (1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ ．
　　说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍．
　　 (2) 复数的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
　　说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
　 2 、复数的三角形式的运算：
　　设 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．则
　　
例9：1．复数与都是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，先设（且），代入，再根据其为纯虚数求解.
【详解】
设纯虚数（且），
则，
又是纯虚数，
所以，
解得，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了算数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先将2化为三角形式，再用除法法则计算即可.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将实数转化为三角形式的细节.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.
【详解】
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.
举一反三
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形式的除法法则，属基础题.
2．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.
3．（多选）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.
【详解】A.若，则，所以该选项正确；
B.若，则，所以该选项错误；
C.若，，则
，所以该选项错误；
D.，，则
.所以该选项错误.
故选：BCD.
4．（多选）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于
C．为纯虚数 D．
【答案】BD
【分析】根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.
【详解】A：，而，则、，故位于第二象限，错误；
B：，则其模长为，正确；
C：，则为实数，错误；
D：，正确；
故选：BD
5．把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______．
【答案】
【分析】根据复数三角表示的定义求解即可.
【详解】由题可得，且在第三象限，
所以辐角的主值为，
所以，
故答案为：.
6．写出一个的复数______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据复数三角形式写出一个满足的复数即可.
【详解】由题设，且，而，
所以满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
提升练习
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案.
【详解】由题意可知，所以.
故选：C.
2．设，则（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】将复数化简后再求共轭复数的模长,
【详解】解：，，∴．
故选：B．
3．在复数范围内，复数的共轭复数的模是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算可得，再结合共轭复数和模的概念求解.
【详解】因为复数，
所以，其模为．
故选：B．
4．已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得复数，再进行除法运算即可.
【详解】依题意，．
故选：A.
5．已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入方程，利用复数相等得到方程组解出，再利用模长公式求解即可.
【详解】由题意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：C
6．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】解：因为，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.
故选：C
7．设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法化简，再求出z的共轭复数，得到所求虚部.
【详解】由题可得，则，所以z的共轭复数的虚部为.
故选：A．
8．已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先由模等于1得，则点为圆上的点,
再结合的几何意义即可求出最值.
【详解】若,即,点为圆上的点,
，
则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,
则的最大值为
故选：C.
二、多选题
9．已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2
C． D．
【答案】CD
【分析】利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解.
【详解】，所以，
z对应的点位于第一象限，A错误；
的虚部为,B错误；
，C正确；
，D正确，
故选:CD.
10．若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13
D．的虚部为
【答案】ABC
【分析】由复数模长的定义可判断A；由复数的几何意义可判断B；求出可判断C，D.
【详解】由题意得，，故A正确；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；
∵，
∴的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．
故选:ABC．
三、填空题
11．已知，复数，若的虚部为1，则_________.
【答案】
【分析】根据复数的除法法则计算出，从而列出方程，求出的值.
【详解】，
.
故答案为：-2
12．已知i为虚数单位，则复数对应的点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算，结合复数的几何意义，可直接得出结果.
【详解】，所以复数在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：.
13．已知复数z满足，则z的虚部为______.
【答案】
【分析】设复数，利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.
【详解】设复数，则，
又复数z满足，即，
所以，解得：，则，所以的虚部为，
故答案为：.
14．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得_________．
【答案】
【分析】根据欧拉公式与复数的相关运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.
(1)判断复平面内对应的点在第几象限;
(2)计算.
【答案】(1)在第一象限
(2)3+4i
【分析】（1）根据共轭复数的定义求得，得复数，再得其对应点的坐标，从而得其所在象限；
（2）由复数的乘方法则计算．
【详解】（1）因为复数与=2+bi互为共轭复数，
则a=2，b=1，=2+i，其对应的点为，
故在第一象限;
（2）．
16．已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
/
将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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