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27．(本小题lO分)在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.
27．（1）由已知条件得：
梯形周长为12，高4，面积为28。
过点F作FG⊥BC于G
过点A作AK⊥BC于K
则可得：FG=×4
∴S△BEF=BE·FG=－x2+x（7≤x≤10）
（2）存在 .
由（1）得 －x2+x=14
得x1=7，x2=5（不合舍去）
∴ 存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7.
（3）不存在.
假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2…1′
则有－x2+x=.
整理，得 3x2－24x+70=0,△=576－840<0.
∴不存在这样的实数x。
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积,同时分成1∶2的两部分.
28．中，，，cm．长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于两点，线段运动的时间为s．
（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；
（3）为何值时，以为顶点的三角形与相似？
28．解：（1）当点在上时，，．
．
当点在上时，．
．
（2），．．
．
由条件知，若四边形为矩形，需，即，
．
当s时，四边形为矩形．
（3）由（2）知，当s时，四边形为矩形，此时，
．
除此之外，当时，，此时．
，．．
，．
又，．
，．
当s或s时，以为顶点的三角形与相似．
25.如图，将等边△放在正方形上，边与完全重合. 则：
（1）图①中点与正方形中的任意两个顶点能构成多少个等腰三角形？直接写出这些三角形的名称（等边△除外） 。（3分）
（2）现在将正方形固定不动，等边△绕着点R旋转，使点与重合（如图②，这算第1步，点落在处），再绕着点P旋转，使点与点重合（如图③，这算第2步，点落在处），重复这样的步骤，可得到图④……，则请你探究：经过 步，△首次与原位置重合；又经过 步，点首次回到原处。（2分）
（3）若正方形的边长等于4，则按第（2）题的方法从图①开始，连续旋转了2006最后点落在处. 请画出此时图形的位置，并计算此时点到的距离。
27.抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点为.
（1）写出抛物线的对称轴及、两点的坐标（用含的代数式表示）；（3分）
（2）连接并以为直径作⊙，当时，请判断⊙是否经过点，并说明理由；（3分）
（3）在（2）题的条件下，点是抛物线上任意一点，过作直线垂直于对称轴，垂足为. 那么是否存在这样的点，使△与以、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （4分）
25.（1）△、△、△；………………… 3分（1分一个）
（2）4；8；………………………………………… 2分（每空1分）
（3）（略解）第2006步后如图所示,
连结AR、AC，作CE⊥AR于E，
，故，
因此
.……………4分
27.（1）对称轴，、`；……………………3分
（2）⊙M经过点C，理由：（略证：CD2+BC2=DB2）……………3分
（3）.………………………4分
21.（本题12分）
如图，在直角坐标系中，直线OA与双曲线交于点A（2,2），求：
（1）直线OA与双曲线的函数解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，求直线与双曲线的交点C，D的坐标；
（3）求△COD的面积。
24．（本题1２分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交坐标轴于点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）。
（1）求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标。
（2）若直线CM与x轴交于点D, E是C关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE的形状并说明理由。
（3）若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点，连接BP交y轴正半轴于点N，是否存在点P使△AOC与△BON相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由。

21．（本题12分）
解：（1）直线OA的函数解析式：y=x…………………………2分
双曲线的函数解析式：y=…………………………4分
（2）将直线OA向上平移3个单位后，直线CD解析式为y=x+3…………6分

y=x+3
y=
得交点C（1，4），D（-4，-1）…………………………………………8分
（3）设直线CD与y轴交点为E，则点E（0，3）
S△COD= S△COE+S△EOD=…………………………12分
24． （本题12分）
解：（1）把点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：
0=a-b+c a=1
0=9a+3b+c 解得： b=-2
-3=c c=-3
∴抛物线函数解析式为y=x2-2x-3……………………………………3分
顶点M的坐标为（1，-4）………………………………………………4分
（2）∵点C（0，－3），M（1，-4） ∴直线CM函数解析式为y=-x-3
∴直线CM与x轴交于点D（-3，0）,……………………………………6分
∵E是C关于此抛物线对称轴的对称点，∴点E（2，-3）
∴CE=AD=2 又∵CE//AD
∴四边形ADCE是平行四边形。…………………………………………8分
（3）存在点P使△AOC与△BON相似，P1（，） ，P2（-4，21）……12分
21.（本题满分8分） 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后，还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是相碰了。事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米，查有关资料知，甲车的刹车距离为（米）与车速x（千米/小时）的关系为=0.1x+0.01x2；乙车的刹车距离S（米）与车速x（千米/小时）的关系如图所示。请你就两车的速度方面分析是谁的责任。

22.（本题满分8分） 在锐角?ABC中，∠A ,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.如图所示，过C作CD⊥AB,垂足为点D,则cosA=,即AD=bcosA,
∴BD=c－AD=c－bcosA.
在Rt?ADC和Rt?BDC中有CD2=AC2－AD2=BC2－BD2,
B2－b2cos2A=a2－(c－bcosA)2,
整理得a2=b2+c2－2bccosA. ①
同理可得b2=a2+c2－2accosB. ②
C2=a2+b2－2abcosC. ③
这个结论就是著名的余弦定理。在以上三个等式中有六个元素a,b,c,∠A,∠B,∠C,若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素。
(1).在锐角ΔABC中，已知∠A=60°,b=5,c=7,试利用①，②，③求出a, ∠B,∠C,的数值？
（2）已知在锐角ΔABC中，三边a,b,c分别是 7，8，9，求出∠A,∠B,∠C的度数.
（保留整数）
25.（本题满分 12分）如图所示，已知A,B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）
动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒。
(1)当t=1秒时，求梯形OPFE的面积？t为何值时，梯形OPFE的面积最大？最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1,t2时（t1≠t2）,所对应的三角形分别为ΔAF1P1和ΔAF2P2.试判断
这两个三角形是否相似，请证明你的判断？


21.因为0.1x+0.01x2,而12，所以0.1x+0.01x2=12，……………… 2分
解之，得， 舍去，故＜40，
所以甲车未超速行驶。 ……………………………………………… 4分
设=kx，把（60，15）代入，得 15=60k。解得，k=。
故=x. ……………………………………………… 6分
由题意知 10＜x＜12解之得：40＜x＜48.
所以乙车超速行驶。……………………………………………… 8分
22.（1）∵a2=b2+c2－2bccosA=25+49－2·5·7·cos60o= 39
∴a= …………… 2分
∵b2=a2+c2－2accosB.
∴cosB==
∠B≈36o …………… 3分
∴∠C=180o－60o－36o=84o …………… 4分
(2).由余弦定理得 72=82+92－2×8×9cosA
得 cosA=
∴∠A≈48o ………… 6分
再得 82=92+72－2×9×7cosB
得 cosB=
∠B≈58o ……………… 7分
∴∠C=180o－∠A－∠B=74o ……… 8分
25．（1）S梯形OPFE=(OP+EF)·OE=(25+27)
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y
则y=(28－3t+28－t)t=－2t2+28t=－2（t－7）2+98. ……………… 3分
所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98； ……………… 4分
（2）当S梯形OPFE=SΔAPF时，
－2t2+28t=,解得t1=8,t2=0(舍去)。 …………… 7分
当t=8秒时，FP=8 ……………… 8分
（3） 由， ……………… 10分
且∠OAB=∠OAB, ……… 11分
可证得ΔAF1P1∽ΔAF2P2 …… 12分
23.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，己知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形，
（1）填空：C点的坐标是_________，△ABC的面积是__________；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C，连结AB1，BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由；
（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍．若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．
24.如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
1，如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
A． cm B．4cm C． cm D． 3cm
2，如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（　　）
Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55

　　
3，如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的侧面展工图是（　　）
4，如图，在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=___________
5，在中，点是上一点，，，则 度．
6，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是 ．
7，（07岳阳）已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°,如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，则有AD∥BC，
（1）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？
答 。（成立 或者AD//BC）
（2）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC,连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？
答： 。(AD//BC)
（3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。
8，（07武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。
9，李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长。
（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；
（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；
（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．
34.（08浙江义乌）23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
35.（08上海市卷）23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
如图11，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
36.(08安徽省卷20题)20.（本题8分） 如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
23．解:
(1)① ………………………………………………………………2分
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，
∴…………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵，，
∴ ………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………………1分
23．证明：（1）四边形是平行四边形，．……（2分）
又是等边三角形，，即． （2分）
平行四边形是菱形； （2分）
（2）是等边三角形，． （1分）
，． （1分）
，．． （1分）
四边形是菱形，． （2分）
四边形是正方形． （1分）
(08安徽省卷20题解析)：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR，
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ
又∵点R是DE中点，∴DR=RE。
，∴QR=2PQ。
又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ…………8分
∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2……10分
23，如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
25．已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）在线段上是否存在一点，使得？
若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
23．证明：（1）四边形是平行四边形，．……（2分）
又是等边三角形，，即． （2分）
平行四边形是菱形； （2分）
（2）是等边三角形，． （1分）
，． （1分）
，．． （1分）
四边形是菱形，． （2分）
四边形是正方形． （1分）
25．解：（1）连结交于，
当顶点与重合时，折痕垂直平分，
， 1分
在平行四边形中，，
，．
2分
四边形是菱形． 3分
（2）四边形是菱形，．
设，，，
4分
①
又，则． ② 5分
由①、②得： 6分
，（不合题意舍去）
的周长为． 7分
（3）过作交于，则就是所求的点． 9分
证明：由作法，，由（1）得：，又，
，
，则 10分
四边形是菱形，，． 11分
12分
39.(08福建龙岩25题)25．（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
40.(08福建厦门25题)25．（本题满分12分）
已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）在线段上是否存在一点，使得？
若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
44.（08湖北黄石26题）26．（本小题满分9分）
如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于．
（1）求证：；
（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由；
（3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由．
(08福建龙岩25题解析)（14分）
（1）解法一：如图25-1
过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中，AD=. ………5分
解法二：如图25-2
过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分
（2）解：如图25-1
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h ………………………………………6分
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分
由题意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分
[注] 本题仅回答存在，给1分.
证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分
[注] 本题仅回答存在，给1分.
25．解：（1）连结交于，
当顶点与重合时，折痕垂直平分，
， 1分
在平行四边形中，，
，
．
2分
四边形是菱形． 3分
（2）四边形是菱形，．
设，，，
4分
①
又，则． ② 5分
由①、②得： 6分
，（不合题意舍去）
的周长为． 7分
（3）过作交于，则就是所求的点． 9分
证明：由作法，，
由（1）得：，又，
，
，则 10分
四边形是菱形，，． 11分
12分
（08湖北黄石26题解答）（1）在中，，，
，．
，
，．
，，
．
．
． （3分）
（2）由（1），而，
，即．
若，则，．
，．
当或时，四边形为梯形． （6分）
（3）作，垂足为，则．
，．
又为中点，为的中点．
为的中垂线．
．
点在h上，．
，
．
．
．
又，
．
当时，上存在点，满足条件． （9分）
47.（08湖北武汉）24.（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF.（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A，O重合），PE⊥PB且PE交CD点E.???? ①求证：DF＝EF，???? ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论：（2）若点P在线段OC上（不与点O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）.
24.⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵结论①仍成立；
结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA－PC＝CE；
48.(08湖北咸宁19题)19．（本题满分8分）
如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
(08湖北咸宁19题解答)19．解（1）证明： ∵CE平分，　　
∴，
又∵MN∥BC，　∴，　　∴，　　　　　
∴．　　------------2分
同理，． -----3分
∴ ．------------------4分
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. -------------------------5分
∵，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形. --------------6分
又∵，． ∴，即． ----7分
∴四边形AECF是矩形． ----------------------------------------------8分
50.（08湖北孝感20题）20．（本题满分8分）
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：
第一步：作一个任意正方形；
第二步：分别取的中点，连接；
第三步：以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于；
第四步：过作交的延长线于，
请你根据以上作法，证明矩形为黄金矩形，（可取）
（08湖北孝感20题解答）
证明：在正方形中，取
为的中点，
2分
在中， 4分
又，
， 6分
． 7分
故矩形为黄金矩形． 8分
52.（08湖北宜昌23题）23．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．
（08湖北宜昌23题解答）解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.
在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR..(1分)
(2)线段TS的长度与PA相等.(2分)
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,
在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°,
∴∠PFA＝∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.(3分)
当点P运动到使得T与R重合时，
这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS.
(若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤，
以上的讨论可评1分)
由以上可知，线段ST的长度与PA相等.
(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝.(4分)
设PA的长为x，易知AF=PS，
则y＝PF＝PA＋PS,得y＝x＋(),
即y＝，(5分)
根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.(6分)
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大.
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA＝.
如图3，当P与A重合时，得x＝0.
∴x的取值范围是0≤x≤.(7分)
(此处为独立得分点，只要求出x≤即可得1分)
∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到(8分)
∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到.(8分)
(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)
∵≤≤，∴在点P的运动过程中，
正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是.(9分)
54.（08湖南常德23题）23．如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
解（1）
（08湖南常德23题解答）解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：
②　，①③，　①④，　②③，　②④，　③④……………２分
　　　其中有两组（①③，　②④）是相似的．
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=…………4分
（2）证明：选择①、③证明．
在△AOB与△COD中,　∵AB∥CD,
　　　　∴∠CDB＝∠DBA　,　∠DCA＝∠CAB,
　　　　∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB＝∠CAB,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB＝∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分
∴∠ADO＝∠BCO.
又∠DOA＝∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分
55.（08湖南常德26题）26． 如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形
△A1B1C，并求出AB1的长度；
（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形
△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？

（08湖南常德26题解答）
解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，
∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.……………………………………2分
(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：
∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE
又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分
（3）由题意可知：
S△ABC=，
当或时，ｙ＝0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分
②当时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝,
当ｙ= S△ABC= 时，即 ，
解得（舍）或.
∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即……………7分
④当时,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-
则ｙ＝,
当ｙ= S△ABC= 时，即 ，
解得,或(舍去).
∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分
由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分
57.（08湖南怀化24题）24．（本题满分7分）
如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）；
（2）
（08湖南怀化24题解答） 证明：（1）四边形和四边形都是正方形
3分
4分
（2）由（1）得
7分
∴AMN∽CDN 6分
58.（08湖南怀化25题）25．(本题满分7分)
如图11，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AC的长．
（08湖南怀化25题解答）解：（1）由平移的性质得
． 3分
（2）．证明如下：由（1）知四边形为平行四边形
5分
59.（08湖南湘潭20题）20.（本题满分6分）
如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
（08湖南湘潭20题解答）解：（1）． 2分
（2）四边形是矩形，
3分
又 4分
5分
6分
60.（08湖南益阳22题）22. △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.
（08湖南益阳22题解答）Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 2分
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° 3分
∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得 7分
　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得： 9分
解之得：(或) 10分
　　　　　　　
解法二：设正方形的边长为x，则 7分
　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，
∴ 9分
解之得：(或) 10分
解法三：设正方形的边长为x，
则 7分
由勾股定理得： 9分
解之得： 10分
Ⅱb.解： 正确 6分
由已知可知，四边形GDEF为矩形 7分
∵FE∥F’E’ ，
∴，
同理，
∴
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形 10分
61.（08湖南益阳23题）23. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.
(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
(3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.
（08湖南益阳23题解答）解：(1)过C点作CG⊥AB于G，
在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴ 1分
∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分
(2)菱形 4分
∵CD∥BF， FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形 5分
∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF 6分
∴四边形CDBF是菱形 7分
(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)
(3)解法一：过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE= 8分
又S△ADE=， 9分
∴在Rt△DHE’中，sinα= 10分
解法二：∵△ADH∽△ABE 8分
∴
即：
∴ 9分
∴sinα= 10分
69.（08广东深圳18题）18．如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
（08广东深圳18题解答）（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形 …………………………3分
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10 …………………………7分
86.（08四川资阳）18．（本小题满分7分）
如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．

（08四川资阳）18．(1) 内. 2分
(2) 证法一：连接CD， 3分
∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形， 4分
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 5分
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD， 6分
∴ □DECF为菱形． 7分
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I． 3分
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI． 4分
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形， 5分
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF． 6分
∴□DECF为菱形． 7分
33．如图1，在等腰梯形中，∥ 点从开始沿边向以3㎝╱s的速度移动，点从 开始沿CD边向D以1㎝ ╱s的速度移动，如果点 、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为。
为何值时，四边形是平等四边形？
如图2，如果⊙和⊙的半径都是2㎝，那么，为何值时，⊙和⊙外切？
33.解：（1）∵DQ//AP，∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形。此时，3t=8-t。解得t=2（s）。即当t为2s时，四边形APQD是平行四边形。
（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切。而当PQ=4cm时，如果PQ//AD，那么四边形APQD是平行四边形。
①当 四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）。
② 当 四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ。∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，∴∠APQ=∠B。∴PQ//BC。∴四边形PBCQ平行四边形 。此时，CQ=PB。∴t=12-3t。解得t3（s）。
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切。

31．先阅读读短文，再解答短文后面的问题：
在几何学中，通常用点表示位置，用线段的长度表示两点间的距离，用一条射线表示一个方向。
在线段的两个端点中（如图），如果我们规定一个顺序：为始点，为终点，我们就说线段具有射线的方向，线段叫做有向线段，记作，线段的长度叫做有向线段的长度（或模），记作。
有向线段包含三个要素、始点、方向和长度，知道了有向线段的始点，它的终点就被方向和长度惟一确定。
解答下列问题：
（1）在平面直角坐标系中画出有向线段（有向线段与轴的长度单位相同），，与轴的正半轴的夹角是，且与轴的正半轴的夹角是；
（2）若的终点的坐标为（3，），求它的模及它与轴的正半轴的夹角 的度数。

31.（1）作图略 （2）
89.(08甘肃兰州25题)25．（本题满分9分）如图15，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
(08甘肃兰州25题解答)（本题满分9分）
（1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形． 3分
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
．
5分
（3）四边形可以是菱形． 6分
理由：如图，连接，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形． 7分
在中，，
，又，， 8分
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 9分
92.（08宁夏区卷）26． (10分)
如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．
（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；
（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；
（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．
26．（1）证明：在正方形中，
无论点运动到上何处时，都有
= ∠=∠ =
∴△≌△ 2分
(2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作⊥于,⊥于，则 =
==
∴= 4分
由△ ∽△得 解得
∴时，△的面积是正方形面积的 6分
解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴于点，⊥轴于点．
== ∴=
∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为
∴ 过点（0，4），(两点的函数关系式为：
当时， ∴点的坐标为（2，0）
∴时，△的面积是正方形面积的． 6分
（3）若△是等腰三角形，则有 =或=或=
①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 =
此时△是等腰三角形
②当点与点重合时，点与点也重合，
此时=, △是等腰三角形 8分
③解法一：如图，设点在边上运动到时，有=
∵ ∥ ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠
∴ ==
∵= = =4
∴
即当时，△是等腰三角形 10分
解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有=．
过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则
在△中，，∠=45°
∴=°=
∴点的坐标为（，）
∴过、两点的函数关系式：+4
当=4时， ∴点的坐标为（4，8-4）．
∴当点在上运动到时，△是等腰三角形． 10分
38、（2008鸡西）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
38、解：（1）成立．
如图，把绕点顺时针，得到，
则可证得三点共线（图形画正确）
证明过程中，
证得：
证得：
（2）
45、（2008遵义）（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终保持平行)，当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B2C与B1D1交于点F，
(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E的面积的最大值；
(3)连结B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△ B1B2F与△ B1CF相似？

45、解：(1) 四边形B2FD1E是矩形。
因为△AB1D1平移到图(3)的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角。所以四边形B2FD1E是矩形。
(2)因为三角形B1B2F与三角形AB1D1相似，则有B2F==0.6X,B1F==0.8x
所以sB2FD1E=B2F×D1F=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48(x-5)
当x=5时，y=12是最大的值。
(3)要使△ B1B2F与△ B1CF相似，则有 即
解之得：x=3.6
46、（2008义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
46、解: (1)①
②仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，
∴
∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2）成立，不成立
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵，，
∴ ∴
24．如图9，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．
28. （本题满分13分）
把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ　　　　　　．
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中
0°﹤α﹤90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
24．延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．
∵ F是AC的中点，∴ DF的延长线必过O点，且．
∵ AB∥CD，∴ ．∵ AD∥CE，
∴ ．∴ ＝．
又 ，∴ OQ＝3DN．
∴ CQ＝OQ －OC＝3DN －OC＝3DN －AD，AN＝AD －DN，
于是，AN＋CQ＝2DN，
∴ ＝2，即 MN＋PQ＝2PN．
28. （1）8
　　（2）的值不会改变．
　　理由如下：在与中，
　　
　　 即
，
（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
　　
　　由（2）知：得
　　于是
　　　　
　　情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，
　　由于，，易证：，
　　即解得
　　
　　于是
综上所述，当时，
当时，　
法二：连结，并过作于点，在与中，
　　 即
　　
法三：过作于点，在中，
　　
　　　　
　　　　
　于是在与中
　
　　　　　
　　　　　
即
28.（已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

23.（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。
（1）求证：△AHD∽△CBD；
（2）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。
24．（10分）已知：如图11，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB＝.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△ABC = S梯形ABCD ?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
25、(12分)如图，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结 BD，设 CD＝x．
（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
(3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2　
28．解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而．
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =，
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴．
由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得
解得．
∴直线CM的解析式是．
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．
同理，
∴．
23、（1）（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADH＝90°，
∴∠C＋∠CHE＝90°，∠A＋∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，∴∠A＝∠C，
∵∠ADH＝∠CDB＝90°，
∴△AHD∽△CBD
（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x
证Rt△AHD∽Rt△CBD
则HD : BD=AD : CD
即HD : (1-x)=(1+x) : 2
即HD=
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==
所以HD+HO=+=1
24. （1）在RtΔABC中， ，
又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）
（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为 ，
将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得
解得 所以
（3）在抛物线上存在点P1(0,6)或P2(4,6),使SΔPBC=S梯形ABCD
25、 解：（1）在Rt△CDF中，sinC＝，CD＝x，
　　　　∴DF＝CD? sinC＝x，CF＝
∴BF＝18－。
（2）∵ED∥BC，∴，
∴ED＝
∴S＝×DF×（ED＋BF）
＝
　（3）由S1＝2S2，得S1＝S
　　　　　　∴（18－）?＝
　　　　　解这个方程，得：x1＝10，x2＝0（不合题意，舍去）
　　　　　所以，当x＝10时，S1＝2S2。
15. 若是的一个因式，我们不难得到，易知= 2.现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得= 2.若是的一个因式，用上述方法可求得= .
16. 读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为，这里“”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
②计算：＝ （填写最后的计算结果）.
22．（8分）阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．
（1）如图①，当时，
设切于点，连结，
，
，
，．
在中，
，，
，,
,
．
（2）如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；
（3）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；
（4）如图④，根据以上探索过程，请直接写出 ．
22．解：（2）． 2分
（3）如图③，当时，设切于点，连结，
，，
，， 3分
，， 4分
， 5分
． 6分
（4）． 8分
23．（8分）如图8，已知⊙的弦垂直于直径,垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）在上有一点，延长到点，连接，若，，求证： 是⊙的切线．




24．（10分）如图9，A、B是直线上的两点，AB=4厘米，过外一点C作CD∥，射线BC与所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．
(1) 求△APQ的面积S与t的函数关系式．
(2)QE恰好平分△APQ的面积时，试求QE的长是多少厘米？

25．（12分）如图，已知平行四边形的顶点的坐标是，平行于轴，三点在抛物线上，交轴于点，一条直线与交于点，与交于点，如果点的横坐标为，四边形的面积为．
（1）求出两点的坐标；
（2）求的值；
（3）作的内切圆⊙P，切点分别为，求的值．
23．证明：（1）,
（2分）
（3分）
（2）连结（1分） (4分)

（5分）
（6分）
（7分）
（8分）
24．解：（1）依题可得BP＝t，CQ＝2t，PC＝t－2． ……………1分
　　∵EC∥AB，∴△PCE∽△PAB，＝，
　∴EC＝． ……………3分
　QE＝QC－EC＝2t－＝． ……………4分
　作PF⊥，垂足为F. 则PF＝PB·sin60°＝t ……………5分
　∴S＝QE·PF＝··t＝（t2－2t＋4）(t＞2)． ……6分
（2）此时，C为PB中点，则t－2＝2，∴＝4． ……………8分
　∴QE＝＝＝6（厘米）．　　 ……………10分
25.（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴
∴B点纵坐标为16，且B点在抛物线上
∴点B的坐标为（10，16）...............................1分
又∵点D、C在抛物线上，且CD∥x轴
∴D、C两点关于y轴对称
∴DN＝CN＝5...............................2分
∴D点的坐标为（－5,4）...............................3分
（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：..........................4分
∴F点的坐标为（）..............................5分
由AE＝a，DF＝且，得
..............................7分
解得a＝5..............................8分
（3）连结PH，PM，PK
∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点
∴PH⊥AD　　PM⊥DN　　PK⊥AN..............................9分
在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13
设⊙P的半径为r，则　
所以　r＝2.............................11分
在正方形PMNK中，PM＝MN＝2
∴
在Rt△PMF中，tan∠PFM＝.............................12分
23．（8分）如图，点在上，，与相交于点，，延长到点，使，连结．
（1）证明；
（2）试判断直线与的位置关系，并给出证明．
22．（本题12分）如图，在中，以AC为直径作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E。
（1）试判断ED与圆O位置关系，并给出证明；
（2）如果圆 O的半径为，求AB的长.
21、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的长；
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。
24.如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE.
(1)如图所示，观察猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
(2)连结OE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并说明理由.
23．解：（1）在和中，
，，． 2分
又，
． 4分
（2）直线与相切．
证明：连结．
，
． 5分
．
所以是等腰三角形顶角的平分线．
． 6分
由，得．． 7分
由知，．直线与相切． 8分
22.（1）解：ED与圆O相切，证明如下：
连结OD
∵OE∥AB ∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA ………2分
∵∠OAD=∠ODA ∴∠COE=∠DOE
又∵OC=OD、DE=OE ∴⊿COE≌⊿DOE（SAS） ………4分
∴∠ODE=∠OCE=RT∠
∴ED是圆O的切线 ………6分
（2）解：在RT⊿ODE中
∵OD=，DE=2 ∴OE===………9分
∵DE∥AB ∴⊿COE～⊿CAB
∴= 即=
∴AB=5 ………12分
20．（8分）
等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E.若AD=2，BC=8.
求（1）BE的长；
（2）∠CDE的正切值.
20．解:(1)由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE,∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°,即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，易得CE=(BC-AD)=3，∴BE=5.
（2）由（1）得DE=BE=5.
在△DEC中，∠DEC=90°,DE=5,EC=3, ∴tan∠CDE==.
24.（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连接CD，并延长交⊙O于点E.
(1)求证：∠ABE=∠BCE；
(2)当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明．
24．证明：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD.
∵PC切⊙O于点C，∴∠PCD=∠E.
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，∴∠ABE=∠BCE.
（2）猜想：sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化.
证明：如图，连接AE.
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.
∴∠BCE=∠A=45°.
∴sin∠BCE=sin45°=.
∴sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化.
第24题图
点评：本题第（2）问的基本思路是：猜想sin∠BCE的值不变←∠BCE不变←∠ABE不变←证明∠ABE=45°,是考查圆的有关性质的一道探索性试题.
9、如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE。
（1）求证：;
（2）若圆的半径为 ，BP=1。求证：是等边三角形。（题中横线上的数字被墨迹污染了，请你填上半径的值，并证明这个题目）
9、答案：（1）连接OC，AE∥OC
（2）半径为1
25．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2 .
⑴求∠CDB的度数；
⑵我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比.
①求弦CE的长；
②在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.（稍难题）
26．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
⑴求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
⑵如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
⑶在图2中，点G是x轴正半轴上一点，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．（稍难题）
25．解：(1)∵AB是⊙O的直径,DE=AB,
∴OA=OC=OE=DE.
则∠EOD=∠CDB, ∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x,则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.
又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°.
∴x+2x=108,x=36°. ∴∠CDB=36°.
（2）①∵∠COB=108°，∴∠COD=72°.
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.
∴△COD是黄金三角形.
∴.
∵OD=2,∴OC=-1，
∵CD=OD=2,DE=OC=-1,
∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-.
②存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）.
ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2 .
ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合.
26．解：⑴∵，CD＝3，CQ＝x，
∴．
图象如图所示．
⑵方法一：
，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴．解得．
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法二：
观察图象知，当x＝4时，△PCQ面积为12．
此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．
∴由，得 ．解得．
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法三：
设y2的图象所在抛物线的解析式是．
∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴ 解得
∴． ①
∵，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴． ②
比较①②得.
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
⑶①观察图象，知
线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②由⑵得 .（方法二，）
∵EF＝y2－y1，
∴EF＝，
∵二次项系数小于0，
∴在范围，当时，最大．
22．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，
DE⊥AC于E。
（1）求证：DE是⊙O的切线。
（2）若OB=5，BC=6，求CE的长。

24．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，∠B＝90°，OA＝6，AB＝4，BC＝3。以O为原点，以OA所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系。动点P从原点O出发，沿O→C→B→A的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q也从原点出发，在线段OA上以每秒1个单位长的速度向点A运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）求点C的坐标和线段OC的长；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P在线段CB上运动时，是否存在以C、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
22．（本题10分）
（1）证明：连结OD交BC于F
∵D为弧BC的中点 ∴OD⊥BC
∵AB为直径 ∴∠ACB=Rt∠
又∵DE⊥AC
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=Rt∠
∴∠FDE=Rt∠ 即OD⊥DE
又∵OD为⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线 …………………（5分）
（2）解：∵OD⊥BC，BC=6
∴BF=CF=3
在Rt△OBF中，OB=5 BF=3
∴OF=4 ∴DF=OD―OF=1
又∵四边形DECF是矩形
∴CE=DF=1 …………………（5分）
答：CF的长是1
24．（本题14分）　
解：（1）过C作CD⊥OA交OA于D
∵CD=AB=4，AD=BC=3
∴OD=OA―AD=3 ………………（2分）
∴点C的坐标为(3，4) …………（1分）
在Rt△OCD中，由勾股定理得 OC=5 ……（1分）
（2）①当点P在OC上，即0≤t≤时
过P作PH⊥OA于点H，则PH∥CD
∴△OPH∽△OCD
∴，即
∴PH= ∴S= ……………………（2分）
②当点P在CB上，即≤t≤4时
∴S= ……………………………（2分）
③当点P在BA上，即4≤t≤6时
∴S= ……………………………（2分）
（3）不存在 ……………………………（1分）
当点P运动在CB上时， CQ≥4，PQ≥4，CP≤3
假设CB上存在点P使△CPQ为等腰三角形， 则CQ=PQ
过Q作QG⊥BC交BC于G， 则CG=PG=DQ
∴2t―5=2(t―3) ∴―5=―6，不成立
∴假设不成立
∴当P点运动在线段CB上时，不存在以C，P，Q
三点为顶点的三角形是等腰三角形 ……………………………（3分）
17. 已知是正整数，(，)是反比例函数图象上的一列点，其中，，…，；记，，…，；若，则的值是______________.
18. 如图, DE是的中位线，M是DE的中点, CM的延长线交AB于N，那么=_________________.
23. （本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.
（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）
24. （本题满分10分）宏达纺织品有限公司准备投资开发A、B两种新产品,通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足正比例函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足二次函数关系：.根据公司信息部的报告，，（万元）与投资金额（万元）的部分对应值（如下表）
1
5
0.6
3
2.8
10
（1）填空：（4分）
_______________________；
_______________________；
（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为（万元），试写出与某种产品的投资金额x之间的函数关系式.（3分）
（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？（3分）
26.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线经过点C且与直线AC只有一个公共点。
（1）求直线AC的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P为（2）中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
25.（本题满分12分）已知：在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△ABO沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.
（1）求点C的坐标；（3分）
（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（4分）
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为很等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. （5分）
17. 18. 1：5
23. （1）证明：连接DO，
∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线，
又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED. （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即点E是边BC的中点. （4分）
（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA，即BA·=36，∴BA=， （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===. （8分）
（3）△ABC是等腰直角三角形. （9分）
理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形. （12分）
24. （1）， （4分）
（2）设投资万元生产B产品,则投资万元生产A产品 ,则
（7分）
（3）∵
∴投资6万元生产B产品,14万元生产A产品可获得最大利润19.2万元.（10分）
25.（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C点坐标为（，3） （3分）
（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴ 解得：
∴此抛物线的解析式为： （7分）
（3）存在. 因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝ ， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，） （12分）
说明：解答题的解答过程中使用其他方法的只
20．如图，等腰梯形的底角为α，以腰长为直径作圆，与另一腰切于M，交较长底边AB于E，则的值为_______．
20．2sinα·cosα
23．如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（1）求∠P的度数；（2）求DE的长．
23．（1）30° （2）
25．如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于B，C两点．
（1）BT是否平分∠OBA？证明你的结论；
（2）若已知AT=4，试求AB的长．
25．（1）BT平分∠OBA，证明略
（2）作TD⊥OB于D，则DT=AT=4，OD=3得AB=BD=2
27．（1）如图①，已知A点坐标为（0，3），⊙A半径为1，点B在x轴上．
①若B点坐标为（4，0），⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B的位置关系；
②若⊙B过点M（2，0），且与⊙A相切，求B点坐标；
（2）如图②，若点A在y轴上，⊙A在x轴的上方，问能否在x轴的正半轴上，确定一点B，使⊙B与y轴相切，并且与⊙A相切，为什么？
27．（1）①外离 ②（0，0），（-4，0）
（2）作AD⊥y轴，交⊙A于D，DO交⊙A于C，AC延长线交x轴于点B，这样的点B满足条件，理由略.
1．已知：，点在射线上，．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．
（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；
（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离．
解（1）证明：如图4，连结，
是等边三角形的外心，，
圆心角．
当不垂直于时，作，，垂足分别为．
由，且，
，．
．
．
．点在的平分线上．
当时，．
即，点在的平分线上．
综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上．

（2）解：如图5，
平分，且，
．
由（1）知，，，
，．
，．
．
．．．
定义域为：．
（3）解：①如图6，当与圆相切时，；
②如图7，当与圆相切时，；
③如图8，当与圆相切时，．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴、轴分别相交于两点．
（1）请求出直线的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点，顶点在上，开口向下，且经过点，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于两点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线的函数表达式为，
直线经过，
由此可得解得
直线的函数表达式为．
（2）在中，由勾股定理，得，
经过三点，且，
为的直径，半径，
设抛物线的对称轴交轴于点，
，由垂径定理，得．
在中，，
，
顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为，它经过，
把，代入上式，得，解得，
抛物线的表达式为．
（3）如图，连结，，
．
在抛物线中，设，
则，
解得，．
的坐标分别是，，
；
设在抛物线上存在点，使得，
则，
，
当时，，解得，；
当时，，解得，，
，．
综上所述，这样的点存在，且有三个，
，，．
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得


　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自变量m的取值范围是0＜m＜8　　
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．　　
4．（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．
解：（1）如图（共有2种不同的分割法）

（2）设，，过点的直线交边于．在中，
①若是顶角，如图1，则，
，．
此时只能有，即，
，即．
②若是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当时，则，
中，，．
1．由，得，此时有，即．
2．由，得，此时，即．
3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾．
当是底角时，不成立．

5． 已知与是反比例函数图象上的两个点．（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得，因此．
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．
由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
故不符题意．
当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
过点分别作轴，轴的平行线，交于点．
由于，设，则，，
由点，得点．
因此，
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不等，故四边形是梯形．
如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．
由于，因此，从而．作轴，为垂足，
则，设，则，
由点，得点，
因此．
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．
如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，
同理可得，点，四边形是梯形．
综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．
23、有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5.把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N.
（1）若BE＝，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长.
（2）点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由.
24.阅读下面材料，再回答问题。
一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x，都有f(-x)=f(x)。那么y=f(x)就叫偶函数。如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x，都有f(-x)= - f(x)。那么y=f(x)就叫奇函数。
例如：
当x取任意实数时，是偶函数。
又如:.
当x取任意实数时，
是奇函数。
问题1：下列函数中：
①　②　③　④　⑤
是奇函数的有 ；是偶函数的有 （填序号）
问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数(选择其中之一)
23. 小兵将一长方形纸片沿对角线对折，使C点落在F处，BC边与AD边交于点E，如图所示，
猜想BE与ED的关系，并证明你的结论.
若∶＝1∶2，求∠DBC的度数.
23、（1）画出正确的图形（折痕MN必须与AB、AD相交）…………………………1分，
设AM＝t，则ME＝t，MB＝2－t，由BM2＋BE2＝ME2，得t＝，即AM＝. 5分．
　　　　　　　图（a）　　　　　　　　　　　　　　　　图（b）
（2）如上图（a），仿（1）得，AM＝，……………………7分，
由△AMN∽△BEA，得＝，推出，…………9分，
　　定义域为：．…………………………………10分；
（3）如上图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE＝∠AME，………11分，
又因为AM＝ME，所以DN＝NE＝NA＝，所以，…………………13分，
解得：x＝1或x＝4，又∵，故x＝1．…………………14分．
或者由∠DEN＝∠AEM，得∠AED＝90°，………………………11分，
推出△ABE∽△ECD，……………13分，从而得BE＝1．……………14分．
解：（1）猜想：BE＝ED ………………………………………………1分
证明：长方形ABCD中∠ADB＝∠CBD
又 ∠CBD＝∠EBD
∴∠ADB＝∠EBD
∴BE＝ED ……………………………3分
（2）∶＝1∶2
∴＝ ………………………………………4分
∴＝
∴∠ABE＝30°………………………………………5分
∴∠EBC＝60°
∴∠DBC＝30°………………………………………6分

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