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2023-2024学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知点在抛物线上，且点与点的距离和点到直线的距离相等，则( )
A. B. C. D.
5.若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
6.东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥如图的跨度约为米，拱高约为米，该拱桥每隔约米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与相距米的吊杆的高度约为( )
参考数据：
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知双曲线的左，右焦点分别为，，且该双曲线与圆在第二象限的交点为点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列现对数列，进行构造，第次得到数列，，；第次得到数列，，，，；依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 是等差数列
C. 是递减数列 D.
10.已知圆：和圆：，则下列说法正确的是( )
A. 若，则圆和圆相离
B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C. 若圆和圆外切，则
D. 若圆和圆内切，则
11.已知曲线：，则( )
A. 曲线在第一象限为椭圆的一部分
B. 曲线在第二象限为双曲线的一部分
C. 直线与曲线有两个交点
D. 直线与曲线有三个交点
12.在如图所示的试验装置中，和均为边长为正方形框架，且它们所在的平面互相垂直活动弹子，分别在对角线，上移动，且，则下列结论正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，平面
D. ，平面平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间两点，，则与方向相同的单位向量的坐标是______．
14.数列满足，则数列的前项和为______．
15.一条光线从点射出，经直线反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的方程可以为______写出满足条件的一条直线方程即可
16.在平面直角坐标系中有，，三点，则同时满足条件：的周长为；的面积为的点的个数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，平行六面体的底面是正方形，，，若，，．
用，，表示；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
求椭圆的方程；
经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．
19.本小题分
已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项．
求数列和数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点，．
证明平面；
求点到平面的距离．
21.本小题分
已知为数列的前项和，且
证明数列为等比数列；
求满足不等式的的最小值．
22.本小题分
已知圆心为的动圆经过点且与直线相切，设圆心的轨迹为．
求轨迹的方程；
已知为定点，，为上的两动点，且，求点到直线距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在等比数列中，，
，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由直线的方向向量可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，，
即，所以．
故选：．
由直线的方向向量可知直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系，可得直线的倾斜角的大小．
本题考查由直线的方向向量求直线的斜率的方法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，
故，解得．
故选：．
直接利用向量坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，
又在抛物线上，且点与点的距离和点到直线的距离相等，
，，
．
故选：．
根据抛物线的几何性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：是空间的一个基底，故不共面，
选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
选项，设，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
选项，设，则，得，
故共面，
故不可构成空间的一个基底．
故选：．
推导出共面，故不能构成空间的一个基底，D正确，选项向量均不共面，可构成空间的一个基底．
本题考查了空间向量基本定理，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设圆心坐标，，，
则圆拱所在圆的方程为，
所以，解得，，
所以圆的方程为．
将代入圆方程，得：，
因为，所以，
所以，
即的高度是米．
故选：．
以为原点，方向为轴正方向建立坐标系，求出圆的方程，再计算时的值即可．
本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，在圆上，所以，设，因为，所以，
由勾股定理可得，所以，所以，
而，
所以双曲线的离心率．
故选：．
由题意可得，设，因为，所以，由勾股定理可得的值，再由双曲线的定义可得的值，进而求出离心率的值．
本题考查双曲线的性质及圆的性质，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设第次构造后得的数列为，，，，，，
则，
则第次构造后得到的数列为，，，，，，，，，
于是，，
显然，而，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
所以．
故选：．
根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可．
本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的前项和，
当时，，
当时，，
也符合，，故数列是公差为的等差数列，
由此分析选项：
对于，由于，则有，故的最大值为，A错误；
对于，，，是等差数列，B正确；
对于，数列是公差为的等差数列，C正确；
对于，数列是等差数列且，则，D错误．
故选：．
根据题意，由数列前项和求出数列的通项公式，即可得数列是公差为的等差数列，进而分析可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：当时，圆：，整理得，圆：，整理得，
故两圆的圆心距为，半径差为，半径和为，故，故两圆相交，故A错误；
对于：当时，圆：，圆：，两圆相减得：；故B正确；
对于：圆：，整理得：，圆：，整理得，
故两圆圆心距，解得，故C错误；
对于：当两圆相内切时，，解得，故D正确．
故选：．
直接利用圆与圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当，时，由，是椭圆的一部分，故A对；
当，时，由，是双曲线的一部分，故B对；
当，时，由，不表示任何图形，
当，时，由，是双曲线的一部分，
所以函数的图象为：
所以与曲线有两个交点，故C对；
直线与曲线：方程联立，消去得：，
所以直线与曲线：相切，
故直线与曲线共有个交点，故D错误．
故选：．
逐个象限分析函数的解析式，明确函数在各个象限的图象，数形结合讨论各选项的正确与否．
本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
所以，
，
则，，
对于，，，
因为，
解得，
所以，，故正确；
对于，因为，，
所以，故错误；
对于，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
所以，
所以，平面，故正确；
对于，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
所以，
所以，
所以当时，，
即平面平面，故正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用向量法依次判断即可．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了建模思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
可求出向量的坐标，根据单位向量的定义即可得出答案．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，单位向量的定义，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由已知，，
所以数列的前项和为．
故答案为：．
由已知，，由裂项相消法求和．
本题主要考查数列的求和，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：因为关于对称的点，
则反射光线经过点，
当反射光线的斜率不存在时，直线与圆相切，符合题意；
当反射光线的斜率存在时，可设直线方程为，即，
由直线与圆相切可得，，
解得，，此时直线方程为．
故答案为：或．
先求出关于的对称点，然后结合反射的性质及直线与圆相切的性质即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，还考查了点关于直线的对称点的求解，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为的周长为，
所以，所以点在椭圆上，左右顶点除外，
因为，的面积为，
所以边上的高，
又直线的方程为：，即，
设，则，
可得或，
与轴的交点为和，
因为，
所以和都在椭圆内．
故同时满足条件的点有个．
故答案为：．
分析点满足的条件，根据点和椭圆的位置关系即可求解结论．
本题主要考查椭圆的定义和三角形面积的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，可得，
结合，，，得．
，，，
因为，
所以，
，
，
因此，可求出，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
【解析】根据向量加法法则，结合平行六面体的性质，算出用，，表示的表达式；
利用向量的数量积的定义与性质，算出与的模长与数量积，进而算出，，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的数量积与夹角公式、异面直线所成角的求法等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为椭圆的短轴长为，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率，
即，
又，
联立，
解得，
则椭圆的方程为；
由知椭圆的右焦点，
因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，
则
．
故线段的长为．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而即可求解；
得到直线的方程，设出，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
由题意得，即，则，
故数列的通项公式为．
由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得，
由，，，得，则，
由，得，
故数列的通项公式为．
由题意得，，，构成了首项为，公差为的等差数列，
，，，构成了首项为，公比为的等比数列，
．
【解析】由已知结合等差数列与等比数列的性质及通项公式即可求解；
利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质及通项公式，求和公式的应用，属于中档题．
20.【答案】证明：侧棱底面，，平面，，，
又底面是矩形，，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
是的中点，则，
由，得，
，，，
设为平面的法向量，则，
令，则平面的法向量为，
，
，平面．
解：，
，，
点到平面的距离为．
【解析】以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的方向向量，由向量的数量积为即可得证；
利用点到平面距离的向量公式求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】证明：当时，，得，
由，
得，
，得，
得，即，
所以，
因为，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，故，
当，，显然也适合上式，
故，
设，
则，
，
得，
所以，
由，即，
所以，
整理得，，
设，
则，
所以，即数列为递增数列，
因为，，
所以，满足原不等式的的最小值为．
【解析】由已知递推关系，结合等比数列的定义即可证明；
结合先求出，然后结合和与项的递推关系可求，然后结合错位相减求和求出和，解不等式可求的范围，进而可求的最小值．
本题主要考查了等比数列的定义的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，数列单调性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题可知，圆心到定点的距离与到直线的距离相等，
则点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
所以其轨迹方程为．
由题可知直线的斜率不为，设的方程为，
设，，
联立方程组，消去得，
，所以，，
又因为，则，
即，
化简得，
消元得，
即，
所以，
因式分解得，
当时，，直线：，
此时点到直线距离，
当且仅当时取等号，此时满足要求；
当时，直线经过点，不合题意，舍去．
所以点到直线距离的最大值．
【解析】由题意得圆心到定点的距离与到直线的距离相等，即可求出圆心的轨迹为的方程；
设的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及基本不等式即可求解．
本题考查了动点的轨迹方程，考查了联立直线与圆锥曲线求解综合问题，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．
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