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亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
01.2集合间的基本关系导学案
【学习目标】
1、理解集合之间包含与相等的含义；
2、理解子集、真子集的概念；
3、能利用韦恩图表达集合间的关系；
4、了解空集的含义．
【自主学习】
一. 子集的相关概念
1．Venn图
(
A
)表示：在数学中，经常用平面上 ___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
优点：形象直观。
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素_________ ，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
思考1：任何两个集合之间是否有包含关系？
思考2：符号“∈”与“ ”有何不同？
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则 ；
②若AB，BC，则 .
(3)若A B，A≠B，则 .
(4)若A B，且B A，则 .
二. 空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的________
思考3：{0}与 相同吗？
【当堂达标基础练】
一、单选题
1．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
5.集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．已知集合，则集合A的真子集个数为______．
9．已知集合，，且，则实数a的值为___________.
10.满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知集合，，，则（ ）
A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9
4.已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
5.同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
二、多选题
6.已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7.若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
8.已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
9.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________ .
四、解答题
10．写出集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．
11．已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a+1}，若，求实数a的取值范围.
12.若集合A={x|x2-2kx+7k=0}，根据下列条件，求k的取值范围。
（1）有且仅有一个子集
（2）有且仅有两个子集
（3）有且仅有三个子集
13.设A={-1，3}，B={x|x2-ax+3b=0}，B不为空集，B A，求3a+4b的值。
14.已知集合A={x|x2-7x+12=0}，集合B={x|3kx+4=0}，B A，求k的取值集合。
15．已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.
【当堂达标素养练】
1．已知集合A={x|-2≤x≤5}，
（1）若A B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；
（2）若B A，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1}？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
2．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
3．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
4．已知集合，.
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
5．已知集合，，且，求实数a的值.
6．已知集合，．若且 ，试求实数的值．
7．已知集合,,若,求实数满足的条件
8．已知|，|，且B A，求实数组成的集合C
1.2集合间的基本关系导学案
【学习目标】
1、理解集合之间包含与相等的含义；
2、理解子集、真子集的概念；
3、能利用韦恩图表达集合间的关系；
4、了解空集的含义．
【自主学习】
一. 子集的相关概念
1．Venn图
(
A
)表示：在数学中，经常用平面上 ___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
优点：形象直观。
封闭曲线 内部
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素_________ ，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
任意一个 x∈B，且x A 任何一个 任何一个 ＝
思考1：任何两个集合之间是否有包含关系？
不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
思考2：符号“∈”与“ ”有何不同？
符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“ ”表示集合与集合之间的关系．
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则 ；
②若AB，BC，则 .
(3)若A B，A≠B，则 .
(4)若A B，且B A，则 .
A A A C AC AB A＝B
二. 空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的________
不含任何元素 子集 真子集
思考3：{0}与 相同吗？
不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
【当堂达标基础练】
一、单选题
1．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
【分析】利用集合相等求解.
【详解】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.
【详解】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
3．设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接由求解即可.
【详解】由可得.
故选：D.
4．已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
【答案】A
【分析】A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
5.集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解
【详解】当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是
故选：D
6．下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
二、多选题
7．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.
【详解】由空集的定义知：，A正确.
,B正确.
，C错误.
,D正确.
故选：ABD.
三、填空题
8．已知集合，则集合A的真子集个数为______．
【答案】3
【分析】根据集合A，写出其真子集，即可得答案.
【详解】因为集合，
所以集合A的真子集为、、，
所以集合A在真子集个数为3.
故答案为：3
9．已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【答案】或或0
【分析】先求得集合A，分情况讨论，满足题意；当时，，因为，故得到或，解出即可.
【详解】解：已知集合，，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或，解得或；
故答案为：或或0.
10.满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A
【详解】因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【详解】①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
2．规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案.
【详解】对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②错误；
对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确；
对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．
故选：C．
3．已知集合，，，则（ ）
A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9
【答案】C
【分析】根据可得或，根据集合元素的互异性求得答案.
【详解】由可得：或，
当时， ，符合题意；
当时，或，但 时，不合题意，
故m的值为0或9,
故选：C
4.已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
5.同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
【答案】B
【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；，，
∴非空集合M为，，，，，，，共7个．
故选：B
二、多选题
6.已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
三、填空题
7.若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
【答案】±1
【分析】分析出集合A有1个元素，对a讨论方程解的情况即可.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，
所以集合A有1个元素.
当a=1时，，符合题意；
当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需，解得：；
综上所述： 实数a的值是1或-1.
故答案为：±1.
8.已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
9.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________ .
【答案】196个
【分析】先找出集合U的子集个数，再减去集合A或集合B的子集个数，即可得出结果.
【详解】集合U的子集个数为28，其中是集合A或集合B的子集个数为，所以满足条件的集合个数为.
【点睛】本题主要考查子集的概念，解题的关键是会判断子集个数.
四、解答题
10．写出集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．
【解析】依题意A＝{0，1，2}，
其真子集为：，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
11．已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a+1}，若，求实数a的取值范围.
【解析】因为，所以集合.
因此，时，应满足，解得.
12.若集合A={x|x2-2kx+7k=0}，根据下列条件，求k的取值范围。
（1）有且仅有一个子集
（2）有且仅有两个子集
（3）有且仅有三个子集
【解析】
（1）∵集合A有且仅有一个子集
∴集合A为空集
∴x2-2kx+7k=0无根
Δ=（2k）2-4×7k＜0
∴0＜k＜7
（2）∵集合A有且仅有两个子集
∴x2-2kx+7k=0只有一个根
Δ=（2k）2-4×7k=0
∴k=0或k=7
（3）∵集合A有且仅有三个子集
∴x2-2kx+7k=0有两个不同的根
Δ=（2k）2-4×7k＞0
∴k＜0或k＞7
13.设A={-1，3}，B={x|x2-ax+3b=0}，B不为空集，B A，求3a+4b的值。
【解析】
∵B A，B≠
∴
∴
所以3a+4b=2
14.已知集合A={x|x2-7x+12=0}，集合B={x|3kx+4=0}，B A，求k的取值集合。
【解析】
∵集合A={x|x2-7x+12=0}
∴A={3,4}
集合A的真子集有 ，{3}，{4}
①当B= 时，k=0
②当B={3}时，3k×3+4=0，k=
③当B={4}时，3k×4+4=0，k=
设k的取值集合为C
∴C={，，0}
15．已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.
【详解】存在实数m满足条件，理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程只有一个根，
∴，解得.
∴所有的m的值组成的集合.
【当堂达标素养练】
1．已知集合A={x|-2≤x≤5}，
（1）若A B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；
（2）若B A，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1}？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），，解得；
（2）当时，，解得；
当时，满足，此时无解，
综上，；
（3）要使，则满足，方程组无解，故不存在.
2．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)，(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
3．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【分析】（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
4．已知集合，.
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据 ，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
【详解】（1）由题意，集合，，
又由 ，可得，
所以实数的取值范围是；
(2) 由集合，，
又由，
当时，，满足题意；
当时，，
所以，
综上可知：，
即实数的取值范围是.
5．已知集合，，且，求实数a的值.
【答案】0或或1.
【分析】解一元二次方程求出集合，根据可分为和两种情况来讨论，构造方程求得结果.
【详解】集合
依题意，则可分和两种情况.
当时，，符合题意；
当时，，，或，解得或.
所以实数a的值为0或或1.
6．已知集合，．若且 ，试求实数的值．
【解析】，且 ，或，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，或
7．已知集合,,若,求实数满足的条件
【解析】∵,且,可得：
（1）当时,,
由此可知:是方程的两根,
由根与系数的关系,有,此方程无解.
（2）当时,
①,即,或,
,解得或,此时,,
∴,符合题意,即符合题意;
②,则,解得.
综上所述:实数的取值范围为:
8．已知|，|，且B A，求实数组成的集合C
【答案】（1） ； （2）.
【分析】首先通过解一元二次方程，得带集合A，根据空集的概念，以及包含关系的本质所在，需要对B进行分类讨论，按两种情况进行讨论，从而求得结果
【详解】由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．∵B A，∴对B分类讨论如下：
(1)若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
(2)若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1 ,2}
【点睛】该题考查的是有关集合具备包含关系时有关参数的取值问题，在解题的过程中，需要注意的是先确定集合A，之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况.
/ 将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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