资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
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抛体运动
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川眉山·校考模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为α和β。已知两支箭的质量相等，竖直方向下落高度也相等，忽略空气阻力、箭长以及壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙两人所射箭的速度变化量之比为
B．甲、乙两人所射箭落人壶口时的速度大小之比为
C．甲、乙两人所射箭的初速度大小之比为
D．甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比为
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图所示，在立方体的塑料盒内，其中AE边竖直，质量为m的带正电小球（可看作质点），第一次小球从A点以水平初速度沿AB方向抛出，小球在重力作用下运动恰好落在F点。M点为BC的中点，小球与塑料盒内壁的碰撞为弹性碰撞，落在底面不反弹。则下列说法正确的是（　　）

A．第二次将小球从A点沿AM方向，以的水平初速度抛出，撞上FG的中点
B．第二次将小球从A点沿AM方向，以水平初速度抛出，落在H点
C．若又在空间增加沿AD方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AB方向水平抛出，要使小球落在G点初速度为v0
D．若又在空间增加沿AD方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AB方向水平抛出，要使小球落在G点电场力大小为2mg
3．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，质量相等的小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。两小球可视为质点，忽略空气阻力，则（　　）

A．整个运动过程中A、B的位移相等
B．整个运动过程中A、B所受重力的冲量相等
C．A、B从抛出到落地的过程中重力的平均功率之比为2:1
D．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
4．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）某游乐场有一打金蛋游戏，游戏示意图如下。弹珠的发射速度方向与斜面垂直、大小可以通过按压的力度来调整，若弹珠弹出后直接击中B点的金蛋为三等奖；若与斜面碰撞一次再击中金蛋为二等奖；若与斜面碰撞两次再击中金蛋为一等奖，已知斜面与水平方向夹角为45°，斜面AB长，弹珠与斜面碰撞瞬间弹珠在垂直于斜面方向上的速度反向、大小不变，沿斜面方向上的速度不变，取重力加速度，忽略空气阻力影响，以下说法正确的是（　　）

A．若最终得到三等奖，则弹珠发射的初速度大小为5m/s
B．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为1：1：1
C．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为2：3：4
D．最终得到一、二、三等奖的弹珠的初速度之比为4：3：2
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图甲所示为某农场安装的一种自动浇水装置，装置可以简化为如图乙所示的模型。农田中央O点处装有高度为h的竖直细水管，其上端安装有长度为l的水平喷水嘴。水平喷水嘴可以绕轴转动，角速度为，出水速度可调节，其调节范围满足，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）

A．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最近距离为2l
B．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最远距离为
C．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为
D．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为
6．（2021·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考模拟预测）如图所示，小球B在A球的正下方两球相距h，将A球以速率v1沿水平向右抛出，同时将小球B以速率v2沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A与B之间的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·河北·模拟预测）在第24届冬季奥林匹克运动会上，某运动员在准备跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同的速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．运动员在空中运动的时间相等
B．运动员在空中运动时间与滑出的速度成正比
C．运动员落到斜面上的速度大小与滑出的速度大小成正比
D．运动员在空中运动过程中速度变化量与运动时间成正比
8．（2023·江苏·模拟预测）某人在河谷边以一定初速度水平抛出一小石块，抛出的小石块可以落在抛出点左侧的任何位置，其简化模型如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．初速度越大，小石块落地时间越长
B．初速度越大，小石块落地时间越短
C．以不同的初速度水平抛出，小石块落地速度与水平方向的夹角可能相同
D．初速度越大，小石块落地速度与水平方向的夹角越小
9．（2023·湖北·模拟预测）如图，小滑块以初速度从倾角的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑动，同时从以初速度斜向上抛出一个小球，经滑块滑到斜面顶端B，恰好被小球水平击中。滑块和小球均视为质点，空气阻力忽略不计，已知，，。则下列说法正确的是（　　）
A．小滑块的初速度
B．小球的初速度
C．小球从抛出到离斜面最远处所经历的时间为
D．斜面AB的长度为
10．（2023·广东·一模）如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原点，沿平台右侧竖直向下为y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度v0（大小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．当初速度的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上
B．初速度越大，小球在空中运动的时间越长
C．初速度时，小球落到圆弧轨道上的动量最小
D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为
11．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，竖直平面第一象限有一个接触面，接触面表面满足，质量为的钢球从图中其坐标为处，以的初速度水平抛出，经过时，落在接触面某处（不考虑反弹），下列说法正确的是（ ）
A．接触表面抛物线方程表达式为
B．落在接触面上时，钢球与水平面的夹角为
C．落在接触面上时，钢球的动量大小为
D．假设该钢球以的初速度从图中原坐标处平抛，则不能落在接触面上
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）小明是一名铅球运动员，他根据自己的身高计算出每次投出铅球的速度方向与水平面成θ可以使自己获得更好的成绩。在比赛中小华在O点进行两次投掷铅球的情况如图所示，已知两次投掷铅球的速度方向与水平面均成θ角。图中直线AB与直线CD垂直，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　）

A．当投出铅球的速度大小一定时，θ=45°时成绩最好
B．小明同学两次投掷铅球的成绩相同
C．小明同学两次投掷铅球时铅球在最高点时速度方向相同
D．小明同学两次投掷铅球时铅球在某一高度时速度方向与水平面的夹角相同
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）

A． B．
C． D．
14．（2023·湖南·模拟预测）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为的山坡上玩抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上点朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点；小亮在山坡顶端的点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在点。已知山坡长度，重力加速度为，，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）

A．石块甲的抛出点Q一定比A点高 B．石块甲的初速度大小为
C．石块甲、乙的运动时间之比为 D．若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点
15．（2022春·陕西西安·高一长安一中期末）如图，某学校的排球场长为18m，球网高度为2m。一同学站在离网3m线上（虚线所示）正对网竖直跳起，并在离地高2.5m处将球向正前方水平击出。不计球飞行过程中受到的阻力，欲使球既不触网又不出界，则击球速度可能是（　　）。
A．10m/s B．9m/s C．16m/s D．18m/s
16．（2023·山东潍坊·统考一模）如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其矩形斜面abcd与水平面的夹角为θ，ab边长为L。将质量为m的小球从斜面上的点a以某一速度沿斜面斜向上抛出，速度方向与ab夹角为α，小球运动到斜面的c点并沿dc方向飞出，一段时间后落地，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　）
A．小球从a到c的运动时间为
B．小球从a到c重力势能增加
C．小球触地时速度大小为
D．小球触地时重力的瞬时功率为
17．（2023·浙江·统考高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
19．（2022·河北·统考高考真题）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
抛体运动
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川眉山·校考模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为α和β。已知两支箭的质量相等，竖直方向下落高度也相等，忽略空气阻力、箭长以及壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙两人所射箭的速度变化量之比为
B．甲、乙两人所射箭落人壶口时的速度大小之比为
C．甲、乙两人所射箭的初速度大小之比为
D．甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比为
【答案】C
【详解】A．箭做平抛运动，两支箭竖直方向下落高度相等，则两支箭在空中的运动时间相同，其速度变化量为所以甲、乙两人所射箭的速度变化量之比为1:1，故A错误；
B．箭尖插入壶中时，有；所以故B错误；
C．根据几何关系，有；所以故C正确；
D．因两支箭在空中的运动时间相同，甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比等于初速度大小之比，即
故D错误。故选C。
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图所示，在立方体的塑料盒内，其中AE边竖直，质量为m的带正电小球（可看作质点），第一次小球从A点以水平初速度沿AB方向抛出，小球在重力作用下运动恰好落在F点。M点为BC的中点，小球与塑料盒内壁的碰撞为弹性碰撞，落在底面不反弹。则下列说法正确的是（　　）

A．第二次将小球从A点沿AM方向，以的水平初速度抛出，撞上FG的中点
B．第二次将小球从A点沿AM方向，以水平初速度抛出，落在H点
C．若又在空间增加沿AD方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AB方向水平抛出，要使小球落在G点初速度为v0
D．若又在空间增加沿AD方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AB方向水平抛出，要使小球落在G点电场力大小为2mg
【答案】B
【详解】AB.设立方体边长为l，从A点沿AB方向平抛落在F点，竖直方向自由落体运动时间为水平方向匀速直线运动可知初速度为=从A点沿AM方向，以v0水平初速度抛出，经历时间将与面BCGF碰撞，碰撞前后竖直向下的速度不变，平行与面BCGF的速度也不变，垂直面BCGF的速度反向，再经历时间落到地面恰好打在H点，A错误，B正确；
C.加了沿AD方向的匀强电场，从A点沿AB方向水平抛出，不改变AB方向的匀速运动，也不改变竖直方向的自由落体运动，而平行AD方向上做匀加速直线运动，若要打到G点，则抛出的初速度不变，仍为，C错误；
D.AD方向上代入上述公式解得所以电场力为，D错误。故选B。
3．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，质量相等的小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。两小球可视为质点，忽略空气阻力，则（　　）

A．整个运动过程中A、B的位移相等
B．整个运动过程中A、B所受重力的冲量相等
C．A、B从抛出到落地的过程中重力的平均功率之比为2:1
D．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
【答案】D
【详解】A．由图可知，AB两小球整个过程中位移的大小相等，但方向不同，故A错误；
B．由平抛运动竖直方向的规律可知，A、B整个过程中运动时间之比为
由于两球质量相等，由冲量的表达式可知整个运动过程中A、B所受重力的冲量之比为∶1，故B错误；
C．从抛出到落地的过程中A、B两球重力的平均功率之比为故C错误；
D．A、B落地时重力的瞬时功率之比为故D正确。故选D。
4．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）某游乐场有一打金蛋游戏，游戏示意图如下。弹珠的发射速度方向与斜面垂直、大小可以通过按压的力度来调整，若弹珠弹出后直接击中B点的金蛋为三等奖；若与斜面碰撞一次再击中金蛋为二等奖；若与斜面碰撞两次再击中金蛋为一等奖，已知斜面与水平方向夹角为45°，斜面AB长，弹珠与斜面碰撞瞬间弹珠在垂直于斜面方向上的速度反向、大小不变，沿斜面方向上的速度不变，取重力加速度，忽略空气阻力影响，以下说法正确的是（　　）

A．若最终得到三等奖，则弹珠发射的初速度大小为5m/s
B．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为1：1：1
C．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为2：3：4
D．最终得到一、二、三等奖的弹珠的初速度之比为4：3：2
【答案】B
【详解】A．将重力加速度g沿斜面方向和垂直于斜面方向分解；；
弹珠沿斜面方向做初速度为0，加速度为的匀加速直线运动，在垂直于斜面方向上弹珠做类竖直上抛运动，若最終得到三等奖则有；解得，A错误；
BC．从发射出弹珠到击中金蛋，沿斜面方向弹珠一直在做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，三种情况的位移一样，所以三种情况运动的时间也相等，即，B正确，C错误；
D．因；；得，D错误。故选B。
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图甲所示为某农场安装的一种自动浇水装置，装置可以简化为如图乙所示的模型。农田中央O点处装有高度为h的竖直细水管，其上端安装有长度为l的水平喷水嘴。水平喷水嘴可以绕轴转动，角速度为，出水速度可调节，其调节范围满足，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）

A．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最近距离为2l
B．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最远距离为
C．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为
D．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为
【答案】B
【详解】AB．水中空中做平抛运动，竖直方向有解得水被喷出时，水平方向同时具有两个速度，沿径向向外的出水速度，垂直径向方向的水平速度；则水平方向的两个位移分别为
，其中的范围满足根据几何关系可知，自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最近距离为自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最远距离为故A错误，B正确；
CD．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为故CD错误。故选B。
6．（2021·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考模拟预测）如图所示，小球B在A球的正下方两球相距h，将A球以速率v1沿水平向右抛出，同时将小球B以速率v2沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A与B之间的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设经过时间t，A在竖直方向的距地面的高度为，A在水平方向的位移为x=v1t，B在水平方向的位移始终为0，在竖直方向做竖直上抛运动，距地面的高度为两球在竖直方向的距离为y=hA﹣hB＝h﹣v2t两球之间的距离为
根据数学知识可知当（二次函数求极值）时，s取得最小值。故选C。
7．（2023·河北·模拟预测）在第24届冬季奥林匹克运动会上，某运动员在准备跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同的速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．运动员在空中运动的时间相等
B．运动员在空中运动时间与滑出的速度成正比
C．运动员落到斜面上的速度大小与滑出的速度大小成正比
D．运动员在空中运动过程中速度变化量与运动时间成正比
【答案】D
【详解】AB．设运动员离开O点时速度为，在空中运动时间为t，跳台边缘距离斜面顶端的高度为h，落到斜面上时水平位移为x，竖直下落高度为y，斜坡的倾角为，由平抛运动规律可知运动员滑出速度越大，下落的高度越高，在空中运动时间越长，由推论可得可知运动时间与滑出速度不是正比关系，AB错误；
C．若高度，则落到斜面上竖直速度落到斜面上的速度
可以看出此时v与初速度成正比，若高度，则不满足上述关系，C错误；
D．速度的变化为由于加速度恒定，运动员在空中运动过程中速度变化量与运动时间成正比，D正确。故选D。
8．（2023·江苏·模拟预测）某人在河谷边以一定初速度水平抛出一小石块，抛出的小石块可以落在抛出点左侧的任何位置，其简化模型如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．初速度越大，小石块落地时间越长
B．初速度越大，小石块落地时间越短
C．以不同的初速度水平抛出，小石块落地速度与水平方向的夹角可能相同
D．初速度越大，小石块落地速度与水平方向的夹角越小
【答案】C
【详解】AB．落地时间长短与小石块竖直方向位移有关，由于落点不确定，落地时间长短无法确定，故AB错误；
CD．根据平抛运动速度方向夹角和位移方法规律可知当小球落在抛出点所在斜面时，落地速度与水平方向的夹角相同，与水平初速度无关，故C正确，D错误。故选C。
9．（2023·湖北·模拟预测）如图，小滑块以初速度从倾角的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑动，同时从以初速度斜向上抛出一个小球，经滑块滑到斜面顶端B，恰好被小球水平击中。滑块和小球均视为质点，空气阻力忽略不计，已知，，。则下列说法正确的是（　　）
A．小滑块的初速度
B．小球的初速度
C．小球从抛出到离斜面最远处所经历的时间为
D．斜面AB的长度为
【答案】C
【详解】B．将小球的运动逆向看作是从B到A的平抛运动，则；根据几何关系有
其中；小球的初速度为
故B错误；
C．当小球离斜面最远时，速度方向平行于斜面，有解得则小球从离斜面最远处到B点所用时间为所以小球从抛出到离斜面最远处所经历的时间为故C正确；
D．斜面AB的长度为故D错误；
A．小滑块的加速度大小为根据运动学公式有解得故A错误。
故选C。
10．（2023·广东·一模）如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原点，沿平台右侧竖直向下为y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度v0（大小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．当初速度的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上
B．初速度越大，小球在空中运动的时间越长
C．初速度时，小球落到圆弧轨道上的动量最小
D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为
【答案】D
【详解】A．若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知圆心和水平位移的中点不是同一位置，故A错误；
B．小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有解得可知h越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度v0越小，下落的高度越高，飞行时间越长，故B错误；
CD．设落地点与O点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动Rcosθ=v0t；
由动能定理得解得由数学知识得：当
即，Ek取最小值根据可知动能最小时动量最小，此时
联立以上可得故C错误，D正确。故选D。
11．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，竖直平面第一象限有一个接触面，接触面表面满足，质量为的钢球从图中其坐标为处，以的初速度水平抛出，经过时，落在接触面某处（不考虑反弹），下列说法正确的是（ ）
A．接触表面抛物线方程表达式为
B．落在接触面上时，钢球与水平面的夹角为
C．落在接触面上时，钢球的动量大小为
D．假设该钢球以的初速度从图中原坐标处平抛，则不能落在接触面上
【答案】D
【详解】A．根据平抛运动规律、根据题目数据可知，接触点的坐标为，因此抛物线方程为，A错误；
B．根据平抛运动的推论，平抛运动上某点的速度反向延长，交于该位置水平位移中点处，即
所以夹角不等于，B错误；
C．落在斜面上的速度大小为所以落在接触面上时的动量大小为
C错误；
D．设物体速度为v时，恰好平抛后落在坐标原点，则根据平抛运动规律，解得
速度比这个速度还要小的物体，不可能落在接触面上，D正确。故选D。
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）小明是一名铅球运动员，他根据自己的身高计算出每次投出铅球的速度方向与水平面成θ可以使自己获得更好的成绩。在比赛中小华在O点进行两次投掷铅球的情况如图所示，已知两次投掷铅球的速度方向与水平面均成θ角。图中直线AB与直线CD垂直，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　）

A．当投出铅球的速度大小一定时，θ=45°时成绩最好
B．小明同学两次投掷铅球的成绩相同
C．小明同学两次投掷铅球时铅球在最高点时速度方向相同
D．小明同学两次投掷铅球时铅球在某一高度时速度方向与水平面的夹角相同
【答案】D
【详解】A．当投出铅球的速度大小一定时，水平射程为竖直方向上有
h未确定时无法确定θ角多少时成绩最好，故A错误；
B．小明同学两次投掷铅球的成绩不相同，第2次落地点到圆心O的距离大一些，成绩好一些，故B错误；
C．铅球在最高点时速度方向均为水平方向速度，竖直速度均减为零，且速度方向为轨迹的切线方向，由图可知，两次投掷铅球时铅球在最高点时速度方向不相同，第1次沿OB方向，第2次沿OD方向，故C错误；
D．由斜抛运动的对称性可知，当两次投掷铅球时铅球到与投掷点相同高度时速度方向与水平面的夹角相同，故D正确。故选D。
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A．将小球的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球刚落到P点垂直斜面向下的分速度大小故A正确；
B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分别为，设小球落到斜面的时间为t，在垂直于斜面方向有沿斜面方向的速度为则速度方向与斜面的夹角的正切值为可知速度方向与斜面的夹角为定值，故B正确；
C．O、P两点间的距离为则x与是正比例函数关系，故C错误；
D．小球刚落到P点时的动能为则与是正比例函数关系，故D正确；故选ABD。
14．（2023·湖南·模拟预测）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为的山坡上玩抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上点朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点；小亮在山坡顶端的点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在点。已知山坡长度，重力加速度为，，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）

A．石块甲的抛出点Q一定比A点高 B．石块甲的初速度大小为
C．石块甲、乙的运动时间之比为 D．若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点
【答案】BC
【详解】AB．设小球甲抛出的初速度为，Q点相对于P点的竖直高度为H，则
小球甲落在P点时速度的竖直分量小球甲的水平位移，，
联立各式可得，又A点高度为则Q点的高度为
则A点比Q点高，故A错误，B正确；
C．对于小球乙，有结合前面式子可得故C正确；
D．因为两小球抛出时的高度不同，故不可能相遇，故D错误。故选BC。
15．（2022春·陕西西安·高一长安一中期末）如图，某学校的排球场长为18m，球网高度为2m。一同学站在离网3m线上（虚线所示）正对网竖直跳起，并在离地高2.5m处将球向正前方水平击出。不计球飞行过程中受到的阻力，欲使球既不触网又不出界，则击球速度可能是（　　）。
A．10m/s B．9m/s C．16m/s D．18m/s
【答案】AC
【详解】设排球水平击出时高度为H，球网高度为h，若排球恰好过网，则有
解得 则此时击球速度为若排球恰好不出界，则有解得则此时击球速度为则有击球速度在范围内，可使排球既不触网又不出界，所以击球速度可能是10m/s或16m/s，AC正确，BD错误。故选AC。
16．（2023·山东潍坊·统考一模）如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其矩形斜面abcd与水平面的夹角为θ，ab边长为L。将质量为m的小球从斜面上的点a以某一速度沿斜面斜向上抛出，速度方向与ab夹角为α，小球运动到斜面的c点并沿dc方向飞出，一段时间后落地，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　）
A．小球从a到c的运动时间为
B．小球从a到c重力势能增加
C．小球触地时速度大小为
D．小球触地时重力的瞬时功率为
【答案】AC
【详解】A．设小球从c点沿dc方向飞出的速度为，bc的变成为；小球从a到c的过程，根据逆向思维，可认为小球从从c到a做类平抛运动，沿cd方向有沿cb方向有，，
在a点时，有联立解得，，，
故A正确；
B．小球从a到c重力势能增加故B错误；
C．根据机械能守恒可知，小球触地时速度大小等于小球在a点时的速度大小，则有
故C正确；
D．小球触地时的竖直分速度为小球触地时重力的瞬时功率为故D错误。故选AC。
17．（2023·浙江·统考高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；
C．铅球抛出后的动能可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D正确。故选D。
18．（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
【答案】B
【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有故选B。
19．（2022·河北·统考高考真题）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【答案】BD
【详解】AB．根据平抛运动的规律； 解得可知若h1=h2，则 v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则选项A错误，B正确；
C．若，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项C错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落地的时间相等，则相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D正确。故选BD。亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
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第17讲 抛体运动
目录
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复习目标
网络构建
考点一 平抛运动的规律
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平抛运动的基本规律
知识点2 平抛运动的两个重要推论
【提升·必考题型归纳】
考向1 平抛运动基本规律的应用
考向2 平抛运动的两个重要推论的应用
考点二 落点有约束条件的平抛运动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律
知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律
知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 平抛运动与斜面相结合
考向2 平抛运动与圆面相结合
考向3 平抛运动与竖直面相结合
考点三 平抛运动的临界问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 平抛运动临界问题的基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向 平抛运动在球类问题中的临界问题
考点四 类平抛运动和斜抛运动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 类平抛运动的基本规律
知识点2 斜抛运动的基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 类平抛运动
考向2 斜抛运动
真题感悟
掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。
掌握斜抛运动的规律并会应用。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）平抛运动的规律 （2）斜抛运动的规律 2023年全国甲卷第1题 2023年6月浙江卷第3题 2023年湖南卷第2题 高考对抛体运动的考查较为频繁，而且大多联系实际生活，题目的形式较为多样，有选择题也有计算题，并且近几年出现了三维空间的抛体运动考题，对学生的空间建构能力要求很高。
考点一 平抛运动的规律
知识点1 平抛运动的基本规律
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，其运动轨迹是 。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿 ；(2)只受 作用。
4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。
5．基本规律(如图所示)
(1)速度关系
(2)位移关系
(3)轨迹方程：y＝x2。
6．四个基本规律
飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
知识点2 平抛运动的两个重要推论
1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则 。
2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的 。
考向1 平抛运动基本规律的应用
1．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（，，，）（　　）
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小
2．如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　）
A． B． C． D．
考向2 平抛运动的两个重要推论的应用
3．如图所示，为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在面上的Q点，且速度与水平方向夹角为，则小球抛出后的水平距离为（　　）
A． B． C． D．
4．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同 B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角 D．运动员的质量越大，落点离A越远
考点二 落点有约束条件的平抛运动
知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的 和竖直方向的 ,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足 。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律
三种常见情景：
1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。
知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律
1.从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度平抛均落在同一点。
2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。
考向1 平抛运动与斜面相结合
1．如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
2．如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），初速度分别为和，并且，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
A．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角不相同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．两个小球的运动时间一定不同
考向2 平抛运动与圆面相结合
3．如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出。若初速度为va，将落在圆弧上的a点；若初速度为vb，将落在圆弧上的b点。已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力,则(　　)
A．= B．= C．= D．=
考向3 平抛运动与竖直面相结
5．如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上。假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是（ ）
A．3把飞刀在击中木板时速度相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为
C．3把飞刀从抛出至分别到达M、N、P三点的过程中，重力的平均功率之比为
D．设到达M、N、P三点的飞刀，初速度与水平方向夹角分别为、、，则有
6．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（　　）
A．2∶1 B． C． D．
考点三 平抛运动的临界问题
知识点 平抛运动临界问题的基本规律
1．平抛运动中临界问题的两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
3.典型规律
擦网 压线 既擦网又压线
由得： 由得： 由和得：
考向 平抛运动在球类问题中的临界问题
1．如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（　　）

A． B． C． D．
2．如图所示为一乒乓球台的纵截面，是台面的两个端点位置，是球网位置，D、E两点满足，且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出，轨迹最高点恰好过球网最高点P，同时落到A点；第二次在N点将同一乒乓球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D点。乒乓球可看做质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度为（　　）

A． B． C． D．
考点四 类平抛运动和斜抛运动
知识点1 类平抛运动的基本规律
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。
知识点2 斜抛运动的基本规律
处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点：
考向1 类平抛运动
1．如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h。现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下面说法中正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球到达B点的时的速度为
D．小球到达B点时小球的水平位移为
2．如图所示，在光滑的水平面内建立坐标，质量为m的小球以某一速度从O点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿 x轴正方向，且连线与轴的夹角为30°。则（　　）
A．恒力的方向一定沿y轴负方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O点出发时的动能为
考向2 斜抛运动
1．在某次运动会上篮球项目比赛中某运动员大秀三分球，使运动场上的观众激情高涨。设篮球以与水平面成夹角斜向上抛出，篮球落入篮筐时速度方向与水平方向夹角为，且与互余（已知，）。若抛出时篮球离篮筐中心的水平距离为，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮筐中心的高度差h为（　　）

A． B． C． D．
2．如图所示，某场比赛中篮球运动员在三分线外离地面高度h＝2.3m，与篮筐中心的水平距离L＝6.8m的位置将篮球抛出。篮球离手时的速度与水平方向夹角为45°，并恰好无擦碰地进入篮筐。已知篮筐离地面高H＝3.05m，重力加速度，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　）
A．从离手到刚进入篮筐，篮球做的是匀变速曲线运动
B．离手1.1s后篮球进入篮筐
C．离手时，篮球的速度大小约为6.2m/s
D．从离手到刚进入篮筐，篮球速度的改变量的大小为10m/s
1．（2023年全国甲卷高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
2．（2023年湖南卷高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）

A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于
C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等
第17讲 抛体运动
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考点一 平抛运动的规律
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平抛运动的基本规律
知识点2 平抛运动的两个重要推论
【提升·必考题型归纳】
考向1 平抛运动基本规律的应用
考向2 平抛运动的两个重要推论的应用
考点二 落点有约束条件的平抛运动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律
知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律
知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律
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考向1 平抛运动与斜面相结合
考向2 平抛运动与圆面相结合
考向3 平抛运动与竖直面相结合
考点三 平抛运动的临界问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 平抛运动临界问题的基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向 平抛运动在球类问题中的临界问题
考点四 类平抛运动和斜抛运动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 类平抛运动的基本规律
知识点2 斜抛运动的基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 类平抛运动
考向2 斜抛运动
真题感悟
掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。
掌握斜抛运动的规律并会应用。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）平抛运动的规律 （2）斜抛运动的规律 2023年全国甲卷第1题 2023年6月浙江卷第3题 2023年湖南卷第2题 高考对抛体运动的考查较为频繁，而且大多联系实际生活，题目的形式较为多样，有选择题也有计算题，并且近几年出现了三维空间的抛体运动考题，对学生的空间建构能力要求很高。
考点一 平抛运动的规律
知识点1 平抛运动的基本规律
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5．基本规律(如图所示)
(1)速度关系
(2)位移关系
(3)轨迹方程：y＝x2。
6．四个基本规律
飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
知识点2 平抛运动的两个重要推论
1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。
考向1 平抛运动基本规律的应用
1．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（，，，）（　　）
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小
【答案】D
【详解】根据题意，设位移与水平方向的夹角为，速度与水平方向的夹角为，由平抛运动规律有
AB．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有由可得可知，甲所投的箭在空中运动时间长，由可知，甲所投箭的初速度较小，故AB错误；
CD．若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有则甲所投箭的初速度较小，由可知，甲、乙所射箭落入壶口时竖直速度相等，则由可得，甲所射箭落入壶口时速度比乙小，故C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有解得而根据题意，水平方向有
（）解得因此的可能值为、、、、、故选B。
考向2 平抛运动的两个重要推论的应用
3．如图所示，为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在面上的Q点，且速度与水平方向夹角为，则小球抛出后的水平距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图所示，小球恰好垂直落在面上的Q点，作速度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速度反向延长线交水平位移的中点，故满足结合圆的几何关系可得联立可解得，D正确。故选D。
4．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同 B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角 D．运动员的质量越大，落点离A越远
【答案】A
【详解】A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确；
B．落点到A的距离利用平抛规律；；；得；
所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；
C．速度与水平方向夹角的正切值是，C错误；
D．落点与质量无关，D错误。故选A。
考点二 落点有约束条件的平抛运动
知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律
三种常见情景：
1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。
知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律
1.从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度平抛均落在同一点。
2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。
考向1 平抛运动与斜面相结合
1．如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
【答案】A
【详解】A．依题意，初速度不同的小球均落在斜面上，则具有共同的位移偏向角，根据平抛运动规律有
得物体在空中运动的时间与初速度成正比，A正确；
B．落到斜面上时，速度与水平方向夹角满足则落到斜面上时速度方向与斜面夹角与初速度无关，B错误；
C．抛出点与落点间距离，抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比，C错误；
D．当小球在运动过程中速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离最大，把小球初速度及重力加速度分解在平行斜面与垂直斜面方向上，可得小球离斜面的最大距离为则物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度的平方成正比，D错误。故选A。
2．如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），初速度分别为和，并且，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
A．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角不相同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．两个小球的运动时间一定不同
【答案】D
【详解】A．两小球垂直落入斜面，速度的偏转角相同，由平抛运动的规律可知，速度偏转角的正切值是位移偏转角的正切值的两倍，所以AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同，A错误；
BD．当小球落到斜面上时，将小球的速度进行分解，由几何关系可得由平抛运动的规律
解得由题目可知所以；小球的末动能所以故B错误，D正确；
C．设AO连线与水平方向的夹角为，由平抛运动的规律联立求解可得故C错误。故选D。
考向2 平抛运动与圆面相结合
3．如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球虽说是做斜抛运动，由于到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，所以逆向看是小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，这样就可以用平抛运动规律求解。因小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则速度与水平方向的夹角为，设位移与水平方向的夹角为，则因为则竖直位移
而所以解得故选A。
4．如图，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出。若初速度为va，将落在圆弧上的a点；若初速度为vb，将落在圆弧上的b点。已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力,则(　　)
A．= B．= C．= D．=
【答案】D
【详解】小球水平抛出，其做平抛运动,由平抛运动规律求解。若落到a点，则有；；
；得若落到b点，则有；；；
得则故选D。
考向3 平抛运动与竖直面相结
5．如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上。假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是（ ）
A．3把飞刀在击中木板时速度相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为
C．3把飞刀从抛出至分别到达M、N、P三点的过程中，重力的平均功率之比为
D．设到达M、N、P三点的飞刀，初速度与水平方向夹角分别为、、，则有
【答案】C
【详解】A．将飞刀的运动逆过来看成是一种平抛运动，三把刀在击中板时的速度大小即为平抛运动的初速度大小，运动时间为初速度为由图看出，三把刀飞行的高度不同，运动时间不同，水平位移大小相等，所以平抛运动的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故A错误；
B．竖直方向上逆过来看做自由落体运动，运动时间为则得三次飞行时间之比为
故B错误；
C．根据，3把飞刀从抛出至分别到达M、N、P三点的过程中，重力之比为，根据结合B选项可知重力的平均功率之比为，故C错误；
D．设任一飞刀抛出的初速度与水平方向夹角分别为θ，则则得但故D错误。故选C。
6．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（　　）
A．2∶1 B． C． D．
【答案】B
【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律，联立得
所以又因为所以故选B。
考点三 平抛运动的临界问题
知识点 平抛运动临界问题的基本规律
1．平抛运动中临界问题的两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
3.典型规律
擦网 压线 既擦网又压线
由得： 由得： 由和得：
考向 平抛运动在球类问题中的临界问题
1．如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，设网的高度为，到网的距离为，点与点间的水平距离为，由于球与地面的碰撞是弹性碰撞，则由对称性可知由平抛运动规律有；解得
设第一次的初速度为，小球从有从点弹起后，由网顶到最高点可得设第二次的初速度为，从可得从点到网顶有联立解得，故选B。
2．如图所示为一乒乓球台的纵截面，是台面的两个端点位置，是球网位置，D、E两点满足，且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出，轨迹最高点恰好过球网最高点P，同时落到A点；第二次在N点将同一乒乓球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D点。乒乓球可看做质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设高为H，M点距离台面的高度为，N点距离台面的高度为，取M关于的对称点Q，由几何关系可知，Q的高度与M的高度相等，且Q点位于D点上方．只看第一次从P点到A的平抛过程，可知P到Q的水平距离为P到A的水平距离的，则有P到Q的时间为P到A时间的，根据
可知，P到Q的竖直运动的距离为P到A的，所以有解得
同理，对第二次平抛运动有解得可得故选C。
考点四 类平抛运动和斜抛运动
知识点1 类平抛运动的基本规律
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。
知识点2 斜抛运动的基本规律
处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点：
考向1 类平抛运动
1．如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h。现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下面说法中正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球到达B点的时的速度为
D．小球到达B点时小球的水平位移为
【答案】ABD
【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度垂直，做类平抛运动，轨迹为抛物线。故A正确；
B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度故B正确；
C．根据机械能守恒定律，则有解得故C错误；
D．小球在沿斜面方向上的位移为，根据解得在水平方向上做匀速直线运动
故D正确。故选ABD。
2．如图所示，在光滑的水平面内建立坐标，质量为m的小球以某一速度从O点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿 x轴正方向，且连线与轴的夹角为30°。则（　　）
A．恒力的方向一定沿y轴负方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O点出发时的动能为
【答案】AD
【详解】A．小球受到恒力作用做匀变速曲线运动，利用逆向转换方法，小球做类平抛运动。由此可判断恒力方向一定沿y轴负方向，选项A正确；
BD．由几何关系可得所以小球经过坐标原点时，沿y轴方向的分速度
沿x轴方向的速度仍为。小球从O点出发时的动能恒力在这一过程中所做的功为选项B错误，D正确；
C．恒力在这一过程中的冲量大小选项C错误。故选AD。
考向2 斜抛运动
1．在某次运动会上篮球项目比赛中某运动员大秀三分球，使运动场上的观众激情高涨。设篮球以与水平面成夹角斜向上抛出，篮球落入篮筐时速度方向与水平方向夹角为，且与互余（已知，）。若抛出时篮球离篮筐中心的水平距离为，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮筐中心的高度差h为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设初始速度为，落入篮筐时速度为，篮球做斜抛运动，水平方向速度不变，有
解得 篮球运动总时间为t，在竖直方向设竖直向上为正方向，篮球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，有 解得 故选C。
2．如图所示，某场比赛中篮球运动员在三分线外离地面高度h＝2.3m，与篮筐中心的水平距离L＝6.8m的位置将篮球抛出。篮球离手时的速度与水平方向夹角为45°，并恰好无擦碰地进入篮筐。已知篮筐离地面高H＝3.05m，重力加速度，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　）
A．从离手到刚进入篮筐，篮球做的是匀变速曲线运动
B．离手1.1s后篮球进入篮筐
C．离手时，篮球的速度大小约为6.2m/s
D．从离手到刚进入篮筐，篮球速度的改变量的大小为10m/s
【答案】AB
【详解】A．从离手到刚进入篮筐，忽略空气阻力的影响只受重力，又速度方向与重力方向不共线，所以篮球做匀变速曲线运动，故A正确；
BC．篮球做斜抛运动，轨迹如图
设从离手到刚进入篮筐运动时间为，竖直方向先做竖直上抛运动，有水平方向做匀速直线运动，有联立解得；故B正确，C错误；
D．从离手到刚进入篮筐，根据公式可知篮球速度的改变量的大小为
故D错误。故选AB。
1．（2023年全国甲卷高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，CD错误。
故选B。
2．（2023年湖南卷高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）

A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于
C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；
C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误；
B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于，B正确；
D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
故选B。

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