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亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
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第19讲 圆周运动的临界问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆·统考三模）如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（　　）

A． B． C． D．
2．（2022·山东青岛·统考三模）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（）的变化关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东·统考模拟预测）如图所示，、B、C三个物体放在水平旋转圆台上，用细线连接并固定在转轴上。已知物体与圆台间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；细线能承受的最大拉力为，的质量为，B、C的质量均为，、B离轴的距离为，C离轴的距离为，重力加速度取，当慢慢增加圆台转速，最先滑动的是（　　）
A． B．B C．C D．三个物体同时滑动
4．（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（　　）
A．该星球表面的重力加速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．该星球的密度为
D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
5．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，这被称为“魔力陀螺”。它可简化为一质量为m的质点在固定竖直圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点与分别为轨道的最高点最低点，C、D两点与圆心O等高，质点受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为7mg，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，若质点能始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，则（　　）
A．质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为6mg
B．质点经过A点的最大速度为
C．质点由A到B的过程中，轨道对质点的支持力逐渐增大
D．质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力可能为0
6．（2023·辽宁·模拟预测）如图，“单臂大回环”是体操运动中的高难度动作，运动员单臂抓杠，以单杠为轴完成圆周运动，不考虑手和单杠之间的摩擦和空气阻力，将人视为处于重心的质点，将“单臂大回环”看成竖直平面内的圆周运动，等效半径为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．单杠对手臂只能提供拉力，不能提供支持力
B．从最高点到最低点的过程中，单杠对人的作用力做正功
C．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最低点的向心加速度大小为
D．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最高点处时，手臂与单杠之间无支持力
7．（2021·青海西宁·统考三模）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（球直径小于管道内径，可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，则下列说法正确的是（已知重力加速度为）（　　）
A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动
B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于
C．当时，就能使轨道离开地面
D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小
8．（2023·山东·模拟预测）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最高、设施最完善的大型滑雪场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角，示意图如图所示。运动员从a点由静止自由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计一切阻力，若要求运动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差（　　）
A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
9．（2023·上海·统考一模）如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间t，多次实验，则t越短（　　）
A．FN越小，且大于小球重力
B．FN越大，且大于小球重力
C．FN越小，且小于小球重力
D．FN越大，且小于小球重力
10．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，沿直径方向放着用细线相连的质量均为m的物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，A和B与圆盘间的动摩擦因数分别为μ和，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现让圆盘从静止开始缓慢加速，则（　　）
A．当时， 细线中没有张力
B．当ω= 时，物体A受到的摩擦力指向圆心
C．当ω= 时，两物体刚好不滑动
D．当两物体刚好不滑动时烧断绳子，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动
11．（2023·甘肃甘南·校考三模）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、B和C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是（　　）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足
D．转台的角速度一定满足
12．（2019·重庆·重庆巴蜀中学校考模拟预测）如图，水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、3m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r。B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知B、C与圆盘间的动摩擦因数为μ，A、B间动摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现让圆盘从静止开始加速。则（　　）
A．当时，A、B即将开始滑动
B．当时，细线张力为
C．当时，C受到圆盘的摩擦力为0
D．当时剪断细线，C将做离心运动
13．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用和表示，两小球均可视为质点，下列说法中正确的是（　　）
A．若，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整和，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，的最小值为，B小球在的任何高度释放均可
14．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F，小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动，整个过程中，物块在夹子中没有滑动，小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
C．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
D．速度v不能超过
15．（2022·山东威海·二模）如图所示，竖直平面内固定一半径光滑圆形轨道，圆心为O。一小球在轨道的最低点A，某时刻获得水平向右的瞬时速度。已知，重力加速度。在小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点的速度大小为
B．小球在最高点的速度大小为
C．重力做功的功率先增大后减小
D．小球做圆周运动时重力和弹力的合力提供向心力
16．（2021·辽宁·校联考一模）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时轻杆对小球的作用力大小为，（设竖直向上为正）与速度的平方的关系如图乙所示，图像中的a、b及重力加速度g均为已知量，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球的质量等于
B．轻杆的长度为
C．当时，小球的向心加速度小于g
D．当时，纵轴坐标值
17．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角=37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。
18．（2020·浙江·统考高考真题）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道和倾角的斜轨道平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道和间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，，）
第19讲 圆周运动的临界问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆·统考三模）如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两个物体都没滑动之前，都受静摩擦力的作用，与成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体先达到滑动摩擦力，摩擦力大小不变为角速度达到后绳子出现拉力，在角速度为时，设绳子拉力为T，对B有
对A有解得故选D。
2．（2022·山东青岛·统考三模）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（）的变化关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为，因为，故，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力时绳子开始出现拉力，此后b受到的摩擦力保持不变，故图像刚开始为一段过原点的倾斜直线（斜率为），后为水平直线（大小恒为f0）。故选A。
3．（2022·广东·统考模拟预测）如图所示，、B、C三个物体放在水平旋转圆台上，用细线连接并固定在转轴上。已知物体与圆台间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；细线能承受的最大拉力为，的质量为，B、C的质量均为，、B离轴的距离为，C离轴的距离为，重力加速度取，当慢慢增加圆台转速，最先滑动的是（　　）
A． B．B C．C D．三个物体同时滑动
【答案】C
【详解】当圆台转速较小时，三者都由静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律
A、C需要的向心力相等，当转速增大到 时，由于，C受静摩擦力先达到最大值；
再增大，B、C间细线开始有拉力，对C，由牛顿第二定律对B：
对A：当时，，；再增大，OB间拉力出现，对A：对B：对C：
当B、C间细线拉力达到最大值时，即时，
则再增大，B、C间细线将断裂，故C最先滑动。ABD错误，C正确。
故选C。
4．（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（　　）
A．该星球表面的重力加速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．该星球的密度为
D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A.在最低点有在最高点有由机械能守恒定律得
联立可得故A错误；
B.设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点的条件是只有重力提供向心力，有则最高点最小速度为故B正确；
C.由；可得故C错误；
D.由可得故D错误。故选B。
5．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，这被称为“魔力陀螺”。它可简化为一质量为m的质点在固定竖直圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点与分别为轨道的最高点最低点，C、D两点与圆心O等高，质点受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为7mg，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，若质点能始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，则（　　）
A．质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为6mg
B．质点经过A点的最大速度为
C．质点由A到B的过程中，轨道对质点的支持力逐渐增大
D．质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力可能为0
【答案】B
【详解】A．设质点经过C、B两点的速度为分别为与，轨道对其支持力分别为与
由牛顿第二定律知，对C点和B点分别有 ，
由机械能守恒定律知 联立解得由牛顿第三定律知，质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为3mg，故A错误；
B．要使质点始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，在最低点B，质点的向心力
由此可知，质点经过B点速度最大时，轨道对质点的支持力为0，由知质点经过B点的最大速度为由机械能守恒定律知 解得故B正确；
C．从A到B的过程中，设质点在轨道上的某点的速度为v，速度与水平向右方向的夹角为，则由牛顿第二定律知则由于从A到B的过程中，角逐渐增大，速度v逐渐增大，故轨道对质点的支持力逐渐减小，故C错误；
D．假设质点经过C、D点时轨道对质点的支持力为0，则由牛顿第二定律知：对C点
得 由能量守恒定律知，这是不可能的，故在质点绕轨道做完整圆周的情况下，质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力不可能为0，故D错误。故选B。
6．（2023·辽宁·模拟预测）如图，“单臂大回环”是体操运动中的高难度动作，运动员单臂抓杠，以单杠为轴完成圆周运动，不考虑手和单杠之间的摩擦和空气阻力，将人视为处于重心的质点，将“单臂大回环”看成竖直平面内的圆周运动，等效半径为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．单杠对手臂只能提供拉力，不能提供支持力
B．从最高点到最低点的过程中，单杠对人的作用力做正功
C．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最低点的向心加速度大小为
D．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最高点处时，手臂与单杠之间无支持力
【答案】C
【详解】A．运动员在做圆周运动的过程中，单杠对手臂可能为拉力，也可能为支持力，如在最高点，当运动员的重力恰好提供向心力时，有可得当运动员在最高点的速度大于时，杆对运动员的力为拉力，当运动员在最高点的速度小于时，杆对运动员的力为支持力，故A错误；
B．从最高点到最低点的过程中，单杠对人的作用力一直与速度方向垂直，不做功，故B错误；
C．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最高点的速度为零，此时手臂与单杠之间支持力大小等于运动员的重力大小，从最高点到最低点，根据动能定理有在最低点的向心加速度大小为
联立两式可得故C正确，D错误。故选C。
7．（2021·青海西宁·统考三模）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（球直径小于管道内径，可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，则下列说法正确的是（已知重力加速度为）（　　）
A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动
B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于
C．当时，就能使轨道离开地面
D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小
【答案】C
【详解】A．小球在竖直轨道内能做圆周运动的条件是通过最高点时，因为轨道光滑，小球在运动中机械能守恒，所以有；，A选项错误；
B．上述情况（时），小球在最低点和最高点时由向心力公式有；
即；，B选项错误；
C．当时，小球在最高点时由向心力公式得由机械能守恒
解得由牛顿第三定律有：小球对轨道有竖直向上大于的弹力作用，C选项正确；
D．在时，小球从轨道最低点到最高点的运动过程中轨道对球的弹力数值上先减小后增大，方向先向心后离心，中间有一点在90°~180°间球与轨道弹力为零，此时轨道对地面的压力大小为，其他位置大于，D选项错误。故选C。
8．（2023·山东·模拟预测）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最高、设施最完善的大型滑雪场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角，示意图如图所示。运动员从a点由静止自由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计一切阻力，若要求运动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差（　　）
A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
【答案】A
【详解】运动员从a点到b点，根据机械能守恒有在b点，由圆周运动规律有；
联立解得故选A。
9．（2023·上海·统考一模）如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间t，多次实验，则t越短（　　）
A．FN越小，且大于小球重力
B．FN越大，且大于小球重力
C．FN越小，且小于小球重力
D．FN越大，且小于小球重力
【答案】C
【详解】小球经过拱桥最高点时，根据牛顿第二定律，有则有则可知，当t越短，说明小球通过最高点的速度越大，则FN越小，且小于小球重力。故选C。
10．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，沿直径方向放着用细线相连的质量均为m的物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，A和B与圆盘间的动摩擦因数分别为μ和，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现让圆盘从静止开始缓慢加速，则（　　）
A．当时， 细线中没有张力
B．当ω= 时，物体A受到的摩擦力指向圆心
C．当ω= 时，两物体刚好不滑动
D．当两物体刚好不滑动时烧断绳子，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动
【答案】AC
【详解】A．当最大静摩擦力提供向心力时，对B则有解得对A则有
解得可知当时， 细线中没有张力，A正确；
B．当ω=时，对A所需向心力，则有 对B所需向心力，则有
由以上计算可知，B对A的拉力恰好提供A做圆周运动的向心力，因此A受到的摩擦力是零，B错误；
C．当两物体刚好不滑动时，对B则有对A则有联立两式解得
ω=，C正确；
D．当两物体刚好不滑动时，在烧断绳子的瞬间，A所需向心力为
B所需向心力为可知两物体的最大静摩擦力都不足以提供向心力，因此A和B都将做离心运动，D错误。故选AC。
11．（2023·甘肃甘南·校考三模）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、B和C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是（　　）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足
D．转台的角速度一定满足
【答案】BC
【详解】AB．对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有故A错误，B正确；
CD．对AB整体，有对物体C，有对物体A，有解得故C正确，D错误。故选BC。
12．（2019·重庆·重庆巴蜀中学校考模拟预测）如图，水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、3m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r。B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知B、C与圆盘间的动摩擦因数为μ，A、B间动摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现让圆盘从静止开始加速。则（　　）
A．当时，A、B即将开始滑动
B．当时，细线张力为
C．当时，C受到圆盘的摩擦力为0
D．当时剪断细线，C将做离心运动
【答案】BC
【详解】A．当A相对B开始滑动时有：解得：当时，AB未发生相对滑动，故A错误；
B．当时，以AB为整体，根据可知，B与转盘之间的最大静摩擦力为：所以有：此时细线有张力，设细线的拉力为T，
对AB有：对C有：解得；
故B正确；
C. 当时，AB需要的向心力为：解得此时细线的拉力
，C需要的向心力为：，C受到细线的拉力恰好等于需要的向心力，所以圆盘对C的摩擦力一定等于0，故C正确；
D. 当时，对C有：剪断细线，则所以C与转盘之间的最大静摩擦力大于需要的向心力，则C仍然做匀速圆周运动，故D错误。故选BC。
13．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用和表示，两小球均可视为质点，下列说法中正确的是（　　）
A．若，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整和，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，的最小值为，B小球在的任何高度释放均可
【答案】BD
【详解】AD．B轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若时，B球能沿轨道运动到最高点；若A小球恰好运动到最高点，则有；解得可知，若小球A能够到达最高点，需要选项A错误，D正确；
B．若，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平线，选项B正确；
C．B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有；对B球有
解得对A球，从最高点射出时最小速度为此时根据；解得则无论如何调节hA都不可能使A小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项C错误；
故选BD。
14．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F，小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动，整个过程中，物块在夹子中没有滑动，小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
C．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
D．速度v不能超过
【答案】CD
【详解】A．物块向右匀速运动时，物块所受合力为零，则物块受到的静摩擦力大小为，由于夹子质量不计，则绳中的张力等于，故A错误；
B．无论物块在向右匀速运动时，还是在小环碰到钉子P时，绳中的张力都不可能大于，故B错误；
C．小环碰到钉子P时，由于物块在夹子中没有滑动，则对物块和夹子整体分析，物块和夹子开始向上摆动，做圆周运动，根据牛顿第二定律可得由此可知，绳中的张力T大于，故C正确；
D．当绳中的张力恰好达到时，根据牛顿第二定律可得解得，此时的速度为
即为使物块在夹子中没有滑动，则速度v不能超过，故D正确。故选CD。
15．（2022·山东威海·二模）如图所示，竖直平面内固定一半径光滑圆形轨道，圆心为O。一小球在轨道的最低点A，某时刻获得水平向右的瞬时速度。已知，重力加速度。在小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点的速度大小为
B．小球在最高点的速度大小为
C．重力做功的功率先增大后减小
D．小球做圆周运动时重力和弹力的合力提供向心力
【答案】BC
【详解】
AB．假设小球能够达到圆轨道的最高点，根据动能定理可知解故小球在未到达最高点就已经脱离轨道做近心运动，设脱离轨道时小球与圆心连线与水平方向的夹角为，此时的速度为v，则根据动能定理有
由重力的分力提供向心力，弹力为0，则有解得，脱离轨道后做斜抛运动，故轨迹最高点的速度为，A错误，B正确；
C．在小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，初始时，重力方向与速度方向垂直，功率为0，过程中重力与速度方向不垂直，末状态最高点时重力方向与速度方向又垂直，功率又变为0，故重力做功的功率先增大后减小，C正确；
D．小球做圆周运动时速度的大小和方向都在变，故重力和弹力沿半径方向的分量的合力提供向心力，D错误。故选BC。
16．（2021·辽宁·校联考一模）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时轻杆对小球的作用力大小为，（设竖直向上为正）与速度的平方的关系如图乙所示，图像中的a、b及重力加速度g均为已知量，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球的质量等于
B．轻杆的长度为
C．当时，小球的向心加速度小于g
D．当时，纵轴坐标值
【答案】AB
【详解】AB．由图可知，当小球在最高点的速度为零时，有当杆对小球无作用力时，有联立两式可解得，，AB正确；
C．当时，，小球只受重力，故小球在最高点的向心加速度等于重力加速度g，C错误；
D．当时，解得负号表示杆对小球的作用力为拉力，且小球受到杆的弹力与重力大小相等，所以纵轴坐标值，D错误。故选AB。
17．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角=37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。
【答案】（1）7N；（2） （）；（3），，
【详解】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理
经过C点时解得
（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时解得
而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定理可解得则要保证小球能到F点，，带入可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……解得 n=1,3,5, ……
又因为，当时，，当时，，当时，，满足要求。即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度的值可能为，， 。
18．（2020·浙江·统考高考真题）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道和倾角的斜轨道平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道和间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，，）
【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不会冲出；(3) （）；（）
【详解】(1)机械能守恒定律牛顿第二定律牛顿第三定律
方向水平向左
(2)能在斜轨道上到达的最高点为点，功能关系得故不会冲出
(3)滑块运动到距A点x处的速度为v，动能定理碰撞后的速度为，动量守恒定律
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h，动能定理
得；亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
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第19讲 圆周运动的临界问题
目录
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复习目标
网络构建
考点一 水平面内的圆盘临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 绳类模型
考向2 杆类模型
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
真题感悟
掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的分析。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）水平面内圆周运动临界 （2）竖直面内圆周运动临界 2022年全国甲卷第1题 2022年1月浙江卷第21题 2021年湖北卷第15题 高考对圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。
考点一 水平面内的圆盘临界模型
知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ；
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB临界条件： ①，； ②，
临界条件： ① ②
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
1．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．a可能比b先开始滑动
B．a、b所受的静摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
2．如图，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O点的距离可能值（　　）
A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m
3．如图所示、放在水平转台上可视为质点的长方体A、B、C随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与C之间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C以及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．物体A受到的摩擦力大小为6μmg
B．转盘对物体C的摩擦力大小为9
C．维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足
D．随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（LA．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
5．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转的最大静摩擦力均为各自重力的倍，A放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当时，绳子一定有弹力
C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直不变
6．如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是。转台可绕过圆心的竖直轴以角速度逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为和。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则（　　）

A．当时，连接细线不会产生张力
B．当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小
C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B一定会和转台保持相对静止
D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
拱形桥模型 凹形桥模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上
受力示意图
力学方程
临界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝
模型关键 ①最高点:，失重； ②，汽车脱离，做平抛运动。 ①最低点：，超重； ②，v越大，FN越大。
考向1 绳类模型
1．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（　　）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
2．如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
考向2 杆类模型
3．如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点时，小球的速度大小为
B．小球在最低点时，小球的速度大小为
C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为
D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为
4．一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　）

A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
5．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
6．汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为，C处的曲率半径为，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（　　）
A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态
B．汽车经过B处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为
（2023湖南卷高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
第19讲 圆周运动的临界问题
目录
复习目标
网络构建
考点一 水平面内的圆盘临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 绳类模型
考向2 杆类模型
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
真题感悟
掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的分析。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）水平面内圆周运动临界 （2）竖直面内圆周运动临界 2022年全国甲卷第1题 2022年1月浙江卷第21题 2021年湖北卷第15题 高考对圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。
考点一 水平面内的圆盘临界模型
知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ；
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB临界条件： ①，； ②，
临界条件： ① ②
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
1．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．a可能比b先开始滑动
B．a、b所受的静摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
【答案】CD
【详解】AB．两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，木块所受静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力满足由于两个木块的m、ω相等，a的运动半径小于b，所以b所受的静摩擦力大于a的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时，b的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故A、B错误；
C．当b刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有解得b开始滑动的临界角速度为
故C正确；
D．当a刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有解得a开始滑动的临界角速度为
因为所以a相对圆盘静止，此时a物块所受摩擦力是静摩擦，则有
解得a所受摩擦力的大小为故D正确。故选CD。
2．如图，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O点的距离可能值（　　）
A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m
【答案】BC
【详解】由于木块所受静摩擦力的方向不确定，故我们需要求出两种临界情况。情况一，当方向指向圆心的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O点的距离最大，对木块根据牛顿第二定律有
Fmax＋mg = Mω2rmax代入数据解得rmax = 0.32m
情况二，当方向背离圆心的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O点的距离最小，根据牛顿第二定律有mg－Fmax = Mω2rmin代入数据解得rmin = 0.08m所以木块到O点的距离应该在0.08m ~ 0.32m之间。
故选BC。
3．如图所示、放在水平转台上可视为质点的长方体A、B、C随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与C之间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C以及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．物体A受到的摩擦力大小为6μmg
B．转盘对物体C的摩擦力大小为9
C．维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足
D．随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B
【答案】C
【详解】A．若物体AC随转盘一起转动恰不相对转盘滑动，则解得
则此时AC之间的静摩擦力物体AC之间的最大静摩擦力为
则此时AC之间不会产生滑动，则物体A受到的摩擦力大小为3μmg，选项A错误；
B．当转盘以角速度ω匀速转动时，转盘对物体C的摩擦力大小为选项B错误；
CD．若转盘角速度增加，若B恰能产生滑动，则根据可得可知随着转盘角速度增大，最先被甩出去的是物体AC；若要维持物体A、B、C能随转台一起转动，这只需AC相对转盘不产生滑动，则即转盘的角速度应满足选项C正确，D错误。故选C。
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（LA．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
【答案】D
【详解】AB．当圆盘角速度较小时，m的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律
m受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到时，静摩擦力达到最大静摩擦力，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律随着角速度增大，m受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力。则随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力时，M开始受到摩擦力作用，故AB错误；
CD．当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m和M，分别有；
联立可得故C错误，D正确。故选D。
5．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转的最大静摩擦力均为各自重力的倍，A放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当时，绳子一定有弹力
C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直不变
【答案】B
【详解】A．开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，B先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，A的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，A、B相对于转盘会滑动，对A有对B有解得故A错误；
B．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力解得则当时，绳子一定有弹力，故B正确；
C．时B已经达到最大静摩擦力，则ω在内，B受到的摩擦力不变，故C错误；
D．绳子没有拉力时，对A有则随转盘角速度增大，静摩擦力增大，绳子出现拉力后，对A有
对B有联立有则当ω增大时，静摩擦力也增大，故D错误。
故选B。
6．如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是。转台可绕过圆心的竖直轴以角速度逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为和。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则（　　）

A．当时，连接细线不会产生张力
B．当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小
C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B一定会和转台保持相对静止
D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动
【答案】BD
【详解】A．在B的静摩擦力达到最大时，连接细线刚要产生张力，对B有解得
可知当时，细线产生张力，故A错误；
B．当从继续增大时，B所需向心力是A的两倍，由受力分析可知，A所受指向圆心的静摩擦力将减小，当A所受静摩擦力为0时，对B有对A有联立可得可知当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小，故B正确；
CD．当两物块即将相对滑动时，对系统用牛顿第二定律，有解得若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，除摩擦力外，A、B所受的洛伦兹力的合力是从A指向B的，即有可知在的情况下，所解得的比小，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动，故C错误，D正确。故选BD。
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
拱形桥模型 凹形桥模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上
受力示意图
力学方程
临界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝
模型关键 ①最高点:，失重； ②，汽车脱离，做平抛运动。 ①最低点：，超重； ②，v越大，FN越大。
考向1 绳类模型
1．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（　　）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】D
【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有可得
可知图线斜率为可得轻质绳长为故A错误；
B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为则有故B错误；
C．由图像可知故当时，有故C错误；
D．从最高点到最低点，由机械能守恒有在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有
联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为故D正确。故选D。
2．如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【答案】ABD
【详解】AB．从A到B，根据动能定理可得在B点，根据牛顿第二定律得
联立解得结合题图乙可知，故AB错误，AB满足题意要求；
D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得从最低点到最高点，根据动能定理可得解得故D错误，满足题意要求；
C．从最高点做平抛运动，则有，；且联立解得当解得，取最大值，可得
故C正确，不满足题意要求。故选ABD。
考向2 杆类模型
3．如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点时，小球的速度大小为
B．小球在最低点时，小球的速度大小为
C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为
D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为
【答案】CD
【详解】A．小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度恰好为零，A错误；
B．从最高点到最低点对小球应用动能定理可得解得，B错误；
C．最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律解得，C正确；
D．从最高点到水平位置对小球应用动能定理可得由牛顿第二定律解得，D正确。故选CD。
4．一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　）

A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【答案】AB
【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为，在最高点，由牛顿第二定律，当时当时，由重力提供向心力有
解得当时，由牛顿第二定律有解得
当时，由牛顿第二定律有解得故故小球的质量为或，故A正确；
B．当时；解得圆形管内侧壁半径故B正确；
C．当时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有解得
故C错误；
D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即
；故D错误。故选AB。
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
5．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律有解得故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有解得故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为，即小球经过B点时速度变化率大小为，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。故选C。
6．汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为，C处的曲率半径为，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（　　）
A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态
B．汽车经过B处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为
【答案】AC
【详解】A．小车经过A处时具有向下指向圆心的向心加速度，处于失重状态，经过C处时具有向上指向圆心的向心加速度，处于超重状态，A正确；
B．在B、C处受向下的重力mg、向上的弹力 ，由圆周运动有得车对轨道的压力
故在B、C处处于超重，以同样的速度行驶时，R越小，压力越大，越容易爆胎，故在半径较小的C处更容易爆胎，B错误；
D．在C处所受的滑动摩擦力，D错误；
C．要使车安全行驶，则不得离开地面，故经过A处时恰不离开地面有即安全行驶的速度不得超过，C正确。故选AC。
（2023湖南卷高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC = 0
则小球从C到B的过程中，有；联立有FN= 3mgcosα－2mg
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；
B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有解得C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有则则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
故选AD。

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