资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
0
0
0
第22讲 万有引力定律及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南开封·统考三模）2022年10月15日我国成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。如图所示为某卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，且与圆形轨道I和III分别相切于点，两圆形轨道的半径之比为，则下列说法正确的是（　　）

A．卫星在轨道Ⅰ、II上运行周期之比为
B．卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行周期之比为
C．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的速度大小之比为
D．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的加速度大小之比为
2．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为，则（　　）

A． B．
C． D．
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切与A点，下列说法正确的是（　　）

A．在轨道I通过A点的速度大于在轨道Ⅱ通过B点的速度
B．载人飞船在A点的加速度大于在B点的加速度
C．空间站在轨道I上的速度小于
D．载人飞船沿轨道I和轨道Ⅱ运行时，在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
4．（2023·重庆·校联考模拟预测）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）

A． B． C． D．
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）火星上是否存在液态水，一直是大众关注的焦点。2023年5月5日消息，基于“祝融号”火星车观测数据，我国科研人员首次发现“祝融号”着陆区的沙丘表面存在结壳、龟裂、团粒化、多边形脊、带状水痕等特征．假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，火星表面的重力加速度为，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则（　　）

A．
B．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍
C．火星表面正下方距表面的深度为火星半径处的M点的重力加速度为
D．火星表面正上方距表面的高度为火星半径处的N点的重力加速度为
6．（2023·湖南·模拟预测）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载“神舟十四号”载人飞船的“长征二号”F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577 s后，“神舟十四号”载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。北京时间2022年6月5日17时42分，“神舟十四号”成功对接“天和”核心舱径向端口，整个对接过程历时约7 h。对接后组合体在距地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，环绕的向心加速度为a，环绕的线速度为v，引力常量为G，则下列判断正确的是（　　）
A．组合体环绕的周期为 B．地球的平均密度为
C．地球的第一宇宙速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为
7．（2023·江西景德镇·统考三模）2023年春节，改编自刘慈欣科幻小说的《流浪地球2》电影在全国上映。电影中的太空电梯场景非常震撼。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转时，绳索会细紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止，卫星与同步空间站的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间之后，第一次相距最远。已知地球半径，自转周期，下列说法正确的是（　　）

A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．卫星的周期为
C．太空电梯停在距地球表面高度为的站点，该站点处的重力加速度
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
8．（2023·山东烟台·统考二模）2021年5月15日，天问一号在火星上着陆，首次留下中国印迹，人类探索火星已不再是幻想。已知火星的质量约为地球的，半径约为地球的，自转周期为（与地球自转周期几乎相同）。地球表面的重力加速度大小为，地球的半径为。若未来在火星上发射一颗火星的同步卫星，则该同步卫星离火星表面的高度为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023·河南开封·统考三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为，在月球表面测得重力加速度为，设为距离月球表面高度为时的重力加速度．当比小得多时，和的关系式近似为（　　）[当时，数学近似公式为]
A． B．
C． D．
10．（2023·河北·模拟预测）甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上，用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛出，小球落回手中的时间之比为k，不计空气阻力。若已知地球密度为ρ，引力常量为G，则乙同学随地球自转的角速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023·江苏徐州·高三联考模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设火星是半径为R的质量分布均匀的球体，在火星内挖一半径为r（）的球形内切空腔，如图所示。现将一小石块从切点处由静止释放，则小石块在空腔内将做（　　）
A．匀加速直线运动 B．加速度变大的直线运动
C．匀加速曲线运动 D．加速度变大的曲线运动
12．（2023·湖南·高三联考模拟预测）在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（　　）
A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
13．（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，周期为T。已知火星的半径为R，火星的第一宇宙速度为v1，引力常量为G，则（　　）

A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．火星表面的重力加速度为
D．停泊轨道的半长轴为
14．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）2021年2月24日，“天问一号”探测器成功进入火星停泊轨道，标志着中国正式开始了对火星表面的探测活动。若探测器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动，已知火星的半径为R0、自转周期为T0，且火星可视为质量均匀的球体，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．火星的质量为
B．火星的质量为
C．火星赤道处的重力加速度为
D．火星赤道处的重力加速度为
15．（2022·海南·高考真题）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（　　）
A． B． C． D．
16．（2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　）
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
17．（2021·广东·高考真题）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
18．（2020·海南·统考高考真题）2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（ ）
A．试验船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
第22讲 万有引力定律及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南开封·统考三模）2022年10月15日我国成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。如图所示为某卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，且与圆形轨道I和III分别相切于点，两圆形轨道的半径之比为，则下列说法正确的是（　　）

A．卫星在轨道Ⅰ、II上运行周期之比为
B．卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行周期之比为
C．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的速度大小之比为
D．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的加速度大小之比为
【答案】B
【详解】AB．由开普勒第三定律得解得；故A错误，B正确；
C．由开普勒第二定律得解得故C错误；
D．由牛顿第二定律得；联立解得故D错误。故选B。
2．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为，则（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】AB．由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有
可得故故A正确，B错误；
CD．对近日点，根据牛顿第二定律有对远日点，根据牛顿第二定律有联立解得故CD错误。故选A。
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切与A点，下列说法正确的是（　　）

A．在轨道I通过A点的速度大于在轨道Ⅱ通过B点的速度
B．载人飞船在A点的加速度大于在B点的加速度
C．空间站在轨道I上的速度小于
D．载人飞船沿轨道I和轨道Ⅱ运行时，在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
【答案】C
【详解】A．如图轨道Ⅱ与轨道Ⅲ内切，沿轨道Ⅲ的运行速度大于在轨道Ⅰ通过点的速度，轨道Ⅱ通过B点的速度大于轨道Ⅲ的运行速度，则轨道I通过A点的速度小于轨道Ⅱ通过点的速度，故A错误；

B.根据万有引力提供向心力，有解得由图可知，点到地心的距离大于点到地心的距离，所以在点的加速度小于在点的加速度，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力有万有引力等于重力有可知，是围绕地球做圆周运动的最大速度，则空间站在轨道工上的速度小于，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，在同一条轨道上运动的卫星，相同的时间内扫过相同的面积，而不同轨道间不满足该条件，故D错误。故选C。
4．（2023·重庆·校联考模拟预测）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】大球剩余部分和小球的质量之比为质量之和为
所以大球剩余部分和小球的质量分别为；所以二者之间的万有引力大小为
故选A。
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）火星上是否存在液态水，一直是大众关注的焦点。2023年5月5日消息，基于“祝融号”火星车观测数据，我国科研人员首次发现“祝融号”着陆区的沙丘表面存在结壳、龟裂、团粒化、多边形脊、带状水痕等特征．假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，火星表面的重力加速度为，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则（　　）

A．
B．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍
C．火星表面正下方距表面的深度为火星半径处的M点的重力加速度为
D．火星表面正上方距表面的高度为火星半径处的N点的重力加速度为
【答案】C
【详解】A．在地球表面根据万有引力等于重力有可得而由题意知火星的质量为，火星的半径为，则可知火星表面的重力加速度为故A错误；
B．地球的第一宇宙速度即为物体在地球表面环绕地球做圆周运动时的速度，有解得
由此可知火星的第一宇宙速度为故B错误；
C．设以火星半径的为半径的球体的质量为，火星的平均密度为，半径为，则有
，由此可得故C正确；
D．设火星表面正上方距表面的高度为火星半径处的N点的重力加速度为，则有
故D错误。故选C。
6．（2023·湖南·模拟预测）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载“神舟十四号”载人飞船的“长征二号”F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577 s后，“神舟十四号”载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。北京时间2022年6月5日17时42分，“神舟十四号”成功对接“天和”核心舱径向端口，整个对接过程历时约7 h。对接后组合体在距地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，环绕的向心加速度为a，环绕的线速度为v，引力常量为G，则下列判断正确的是（　　）
A．组合体环绕的周期为 B．地球的平均密度为
C．地球的第一宇宙速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为
【答案】C
【详解】A．组合体的向心加速度解得故A错误；
D．组合体的轨道半径由；；联立解得
故D错误；
B．地球的密度故B错误；
C．根据地球的第一宇宙速度故C正确。故选C。
7．（2023·江西景德镇·统考三模）2023年春节，改编自刘慈欣科幻小说的《流浪地球2》电影在全国上映。电影中的太空电梯场景非常震撼。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转时，绳索会细紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止，卫星与同步空间站的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间之后，第一次相距最远。已知地球半径，自转周期，下列说法正确的是（　　）

A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．卫星的周期为
C．太空电梯停在距地球表面高度为的站点，该站点处的重力加速度
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
【答案】C
【详解】A．依题意，太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，只有位置达到同步卫星的高度的点才处于完全失重状态，故A错误；
B．同步卫星的周期与地球自转周期相等，为当两卫星a、b第一次相距最远时满足
解得故B错误；
C．太空电梯长度即为同步卫星离地面的高度，根据万有引力提供向心力太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点，太空电梯上货物质量为m,在距地面高2R站点受到的万有引力为F，根据万有引力公式则货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为FN，合力提供向心力则有在货梯内有解得故C正确；
D．太空电梯与地球同步转动，各点角速度相等，各点线速度，故各点线速度与该点离地球球心距离成正比，故D错误。故选C。
8．（2023·山东烟台·统考二模）2021年5月15日，天问一号在火星上着陆，首次留下中国印迹，人类探索火星已不再是幻想。已知火星的质量约为地球的，半径约为地球的，自转周期为（与地球自转周期几乎相同）。地球表面的重力加速度大小为，地球的半径为。若未来在火星上发射一颗火星的同步卫星，则该同步卫星离火星表面的高度为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，由万有引力等于重力有解得火星表面的重力加速度为
由万有引力提供向心力有解得故选A。
9．（2023·河南开封·统考三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为，在月球表面测得重力加速度为，设为距离月球表面高度为时的重力加速度．当比小得多时，和的关系式近似为（　　）[当时，数学近似公式为]
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】物体在月球表面时，有物体距离月球表面高度为时，有联立可得
可得故选D。
10．（2023·河北·模拟预测）甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上，用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛出，小球落回手中的时间之比为k，不计空气阻力。若已知地球密度为ρ，引力常量为G，则乙同学随地球自转的角速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设南极处的重力加速度为，小球落回手中的时间为t0，赤道处的重力加速度为g，小球落回手中的时间为t，由小球竖直上抛到达最高点得所以在南极，由万有引力提供重力有
在赤道，由万有引力提供小球的重力和小球随地球自转的向心力有
又联立以上各式可解得故选A。
11．（2023·江苏徐州·高三联考模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设火星是半径为R的质量分布均匀的球体，在火星内挖一半径为r（）的球形内切空腔，如图所示。现将一小石块从切点处由静止释放，则小石块在空腔内将做（　　）
A．匀加速直线运动 B．加速度变大的直线运动
C．匀加速曲线运动 D．加速度变大的曲线运动
【答案】A
【详解】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，那么在火星内挖一球形内切空腔后，小石块的受力等于火星对小石块的万有引力减去空腔球体的万有引力；设火星密度为，空腔半径为，两球心的距离为，那么小石块受到的合外力为
则小石块的加速度为所以小石块向球心运动，加速度不变，即小石块在空腔内将做匀加速直线运动。故选A。
12．（2023·湖南·高三联考模拟预测）在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（　　）
A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
【答案】B
【详解】设地球的密度为，则在地球表面地球的质量为联立可得，地表重力加速度表达式为由题意可知，地面以下深0.5R处的重力加速度相当于半球为0.5R的球体表面的重力加速度，即对比可得，B正确。故选B。
13．（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，周期为T。已知火星的半径为R，火星的第一宇宙速度为v1，引力常量为G，则（　　）

A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．火星表面的重力加速度为
D．停泊轨道的半长轴为
【答案】BD
【详解】A．设火星的质量为M，天问一号的质量为m，当天问一号绕火星表面运行时，有
可得，A错误；
B．又因为；解得火星的密度，B正确；
C．根据牛顿第二定律得火星表面的重力加速度，C错误；
D．设停泊轨道的半长轴为a，由开普勒第三定律有 又因为解得
D正确。故选BD。
14．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）2021年2月24日，“天问一号”探测器成功进入火星停泊轨道，标志着中国正式开始了对火星表面的探测活动。若探测器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动，已知火星的半径为R0、自转周期为T0，且火星可视为质量均匀的球体，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．火星的质量为
B．火星的质量为
C．火星赤道处的重力加速度为
D．火星赤道处的重力加速度为
【答案】BD
【详解】AB.设火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，则由题意根据牛顿第二定律有
解得故A错误，B正确；
CD.火星赤道处质量为m0的物体所受重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供此物体随火星自转的向心力。设赤道处的重力加速度为g，则根据牛顿第二定律可得解得故C错误，D正确。故选BD。
15．（2022·海南·高考真题）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由可得知由结合可得
知故BC正确，AD错误。故选BC。
16．（2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　）
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
【答案】D
【详解】A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误；
B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；
C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；
D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。故选D。
17．（2021·广东·高考真题）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】D
【详解】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
18．（2020·海南·统考高考真题）2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（ ）
A．试验船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
【答案】B
【详解】A．试验船的运行速度为，故A错误；
B．近地轨道卫星的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有根据试验船受到的万有引力提供向心力有联立两式解得第一宇宙速度故B正确；
C．根据试验船受到的万有引力提供向心力有解得故C错误；
D．地球重力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力有根据试验船受到的万有引力提供向心力有联立两式解得重力加速度
故D错误。故选B。亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
0
0
0
第22讲 万有引力定律及其应用
目录
/
复习目标
网络构建
考点一 开普勒行星运动定律
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 开普勒行星运动定律
【提升·必考题型归纳】
考向 开普勒行星运动定律应用
考点二 万有引力定律的理解和应用
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 万有引力与重力的关系
知识点2 星体表面上的重力加速度
知识点3 万有引力的“两个推论”
【提升·必考题型归纳】
考向1 万有引力与重力的关系
考向2 天体不同位置重力加速度
考点三 天体质量密度估算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 “自力更生”法(g－R)
知识点2 “借助外援”法(T－r)
【提升·必考题型归纳】
考向 天体质量密度估算
真题感悟
掌握开普勒定律和万有引力定律。
能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）开普勒定律 （2）万有引力定律 2023年湖南卷第4题 2023年山东卷第3题 2023年湖北卷第2题 高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。
考点一 开普勒行星运动定律
知识点 开普勒行星运动定律
定　律 内　　容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个 上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都 =k,k是一个与行星无关的常量
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对 而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与 有关,不同的中心天体值不同。
考向 开普勒行星运动定律应用
1．2023年4月14日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确的是（　　）

A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的万有引力大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇 D．两颗卫星的运动周期不相等
2．如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（　　）

A．探测器在M点的速度大于在Q点的速度
B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度相同
C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1
D．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为3：1
考点二 万有引力定律的理解和应用
知识点1 万有引力与重力的关系
1．万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 、与它们之间距离r的二次方成 。
（2）表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）适用条件：
①公式适用于 间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是 间的距离。
2．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
知识点2 星体表面上的重力加速度
1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得
所以。
知识点3 万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=G。
考向1 万有引力与重力的关系
1．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（　　）
A． B．
C． D．
2．假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在该行星纬度为30°处随行星自转的向心力为（　　）
A．G B．G C．G D．G
考向2 天体不同位置重力加速度
3．某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l的单摆，完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是（　　）
A．此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度
B．此海底处的重力加速度为无穷大
C．此海底处的深度为
D．此海底处的重力加速度大小为
4．地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已知地球质量，地球半径R，引力常量G，以下说法正确的是（ ）
A．若地球自转角速度为，地球赤道处重力加速度的大小为
B．若地球自转角速度为，地球两极处重力加速度的大小为
C．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心，为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
D．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心、为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
考点三 天体质量密度估算
知识点1 “自力更生”法(g－R)
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　　
知识点2 “借助外援”法(T－r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G＝mr得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
考向 天体质量密度估算
1．科幻电影中提到的“洛希极限”是指当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离，已知行星与卫星的洛希极限计算式为，其中k为常数，R为行星半径，ρ1、ρ2分别为行星和卫星的密度，若行星半径R，卫星半径为，且表面重力加速度之比为8:1，则其“洛希极限”为（　　）
A． B． C．6kR D．
2．某同学利用直径为d的不透光圆形纸板估测太阳的密度，如图所示，调整圆纸板到人眼的距离L，使其刚好挡住太阳光，并测出L，已知万有引力常量为G，地球公转周期为T，则太阳密度约为（　　）

A． B．
C． D．
1．（2023年6月浙江高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（ ）
A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为
C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为
2．（2023年辽宁高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T ，地球绕太阳运动的周期为T ，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）

A． B． C． D．
第22讲 万有引力定律及其应用
目录
复习目标
网络构建
考点一 开普勒行星运动定律
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 开普勒行星运动定律
【提升·必考题型归纳】
考向 开普勒行星运动定律应用
考点二 万有引力定律的理解和应用
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 万有引力与重力的关系
知识点2 星体表面上的重力加速度
知识点3 万有引力的“两个推论”
【提升·必考题型归纳】
考向1 万有引力与重力的关系
考向2 天体不同位置重力加速度
考点三 天体质量密度估算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 “自力更生”法(g－R)
知识点2 “借助外援”法(T－r)
【提升·必考题型归纳】
考向 天体质量密度估算
真题感悟
掌握开普勒定律和万有引力定律。
能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）开普勒定律 （2）万有引力定律 2023年湖南卷第4题 2023年山东卷第3题 2023年湖北卷第2题 高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。
考点一 开普勒行星运动定律
知识点 开普勒行星运动定律
定　律 内　　容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 =k,k是一个与行星无关的常量
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
考向 开普勒行星运动定律应用
1．2023年4月14日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确的是（　　）

A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的万有引力大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇 D．两颗卫星的运动周期不相等
【答案】A
【详解】A.为椭圆轨道的远地点，速度比较小，表示匀速圆周运动的速度，故故A正确；
B.由于两卫星的质量未知，所以两卫星在A处的万有引力无法比较，故B错误；
CD.椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律可知，两卫星的运动周期相等，则不会相遇，故CD错误。
故选A。
2．如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（　　）

A．探测器在M点的速度大于在Q点的速度
B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度相同
C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1
D．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为3：1
【答案】D
【详解】A．假设探测器以半径为椭圆轨道的半长轴做匀速圆周运动，在经M点时的速度要大于在椭圆轨道上经M点时的速度，由；可知探测器在近火圆轨道Q点的速度要大于在圆轨道上M点的速度，因此探测器在椭圆轨道M点的速度小于在Q点的速度，故A错误；
B．由万有引力和牛顿第二定律知解得可知探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小相等，方向不同，故B错误；
C．由题意可知椭圆的半长轴为，根据开普勒第三定律可得则有故C错误；
D．设探测器在椭圆轨道上P点速度为vP，在M点的速度为vM，设火星的半径为R，根据开普勒第二定律可得解得故D正确。故选D。
考点二 万有引力定律的理解和应用
知识点1 万有引力与重力的关系
1．万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）适用条件：
①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
知识点2 星体表面上的重力加速度
1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得
所以。
知识点3 万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=G。
考向1 万有引力与重力的关系
1．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧秤的示数，有
在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有，联立解得
故选C。
2．假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在该行星纬度为30°处随行星自转的向心力为（　　）
A．G B．G C．G D．G
【答案】C
【详解】由万有引力和重力的定义可知，在两极处在赤道上由向心力的公式可知纬度为30°处随行星自转的向心力为联立解得故C正确，ABD错误。
故选C。
考向2 天体不同位置重力加速度
3．某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l的单摆，完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是（　　）
A．此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度
B．此海底处的重力加速度为无穷大
C．此海底处的深度为
D．此海底处的重力加速度大小为
【答案】D
【详解】AB．根据万有引力提供重力，则在星球表面化解得
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以此海底处的减小，重力加速度减小，故AB错误；
CD．根据单摆周期公式则此海底处的重力加速度大小为
所以解得此海底处的深度为故C错误，D正确。
故选D。
4．地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已知地球质量，地球半径R，引力常量G，以下说法正确的是（ ）
A．若地球自转角速度为，地球赤道处重力加速度的大小为
B．若地球自转角速度为，地球两极处重力加速度的大小为
C．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心，为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
D．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心、为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
【答案】ABC
【详解】AB．在赤道处得出在两极处得出选项AB正确；
CD．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心为半径挖一个球形的防空洞，该球形防空洞挖掉的质量，A处重力加速度变化是由该球形防空洞引起；
选项C正确，D错误。故选ABC。
考点三 天体质量密度估算
知识点1 “自力更生”法(g－R)
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　　
知识点2 “借助外援”法(T－r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G＝mr得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
考向 天体质量密度估算
1．科幻电影中提到的“洛希极限”是指当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离，已知行星与卫星的洛希极限计算式为，其中k为常数，R为行星半径，ρ1、ρ2分别为行星和卫星的密度，若行星半径R，卫星半径为，且表面重力加速度之比为8:1，则其“洛希极限”为（　　）
A． B． C．6kR D．
【答案】A
【详解】利用星球表面处物体的重力等于万有引力得星球的密度为
则则其“洛希极限”为故选A。
2．某同学利用直径为d的不透光圆形纸板估测太阳的密度，如图所示，调整圆纸板到人眼的距离L，使其刚好挡住太阳光，并测出L，已知万有引力常量为G，地球公转周期为T，则太阳密度约为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令地球到太阳的间距为r，太阳的半径为R，根据几何关系近似有对地球绕太阳公转有太阳的密度为解得故选A。
1．（2023年6月浙江高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（ ）
A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为
C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为
【答案】D
【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为
AB．根据万有引力提供向心力可得木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为木卫二轨道半径为故AB错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有；联立可得
故D正确。故选D。
2．（2023年辽宁高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T ，地球绕太阳运动的周期为T ，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r ，地球绕太阳运动的轨道半径为r ，根据
可得；其中；联立可得
故选D。

展开更多......

收起↑