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第24讲 卫星变轨问题 双星模型
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）2022年，我国航天经历了不平凡的一年。在探月与深空探测方面，我国科学家在“嫦娥五号”取回的月壤中发现了一种月球的新矿物，并命名为“嫦娥石”；我国首次火星探测“天问一号”任务团队获得国际宇航联合会2022年度“世界航天奖”；载人航天方面，“神舟十五号”飞船成功发射，中国空间站建造阶段发射“满堂红”。关于航天的知识，下列说法正确的是（　　）
A．“嫦娥五号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星捕获
C．“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到圆轨道时应加速，变轨后的速度大于第一宇宙速度
D．空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，不受力的作用
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（　　）

A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3
B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度
C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度
D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量
3．（2023·江苏南京·模拟预测）中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾经两次遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变轨积极规避。首先变轨到更高的轨道（A到B过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C到D过程）。已知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法正确的是（　　）

A．空间站距地面的高度大约400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16次
4．（2023·广东·统考三模）“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021年10月16日成功对接，航天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，下列说法正确的是（　　）
A．在轨道Ⅲ上，载人飞船在Q点的加速度比在P点的加速度大
B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小
C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P点的速度
D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能比在Q点的机械能大
5．（2023·湖北·模拟预测）地球同步轨道上的卫星失效后，及时将其清理，能为新的卫星释放空间。2021年12月底，我国自主研发的实践21号卫星“捕捉”到同步轨道上已失效的北斗2号卫星，并与之完成对接。2022年1月22日，实践21号完成大幅度变轨机动，将北斗2号拖入一条高于同步轨道的“墓地轨道”。1月26日，实践21号与北斗2号脱离，于1月28日返回地球同步轨道。已失效的北斗2号将在高于同步轨道带的太空区域漂流。这一举措展示了我国作为太空大国的责任和担当，也让世界见证了中国的科技实力。将上述过程作如图所示的简化：组合体在同步轨道上的P点变轨，经过转移轨道，运动到比同步轨道高3000km的墓地轨道上的Q点，在Q点组合体完成分离，其中实践21号再经转移轨道独自返回同步轨道。已知地球同步轨道高度约为35786km，地球半径约为6371km，则（　　）

A．由题干材料可知，实践21号在转移轨道上的运行周期约为4天
B．已失效的北斗2号卫星在转移轨道上的Q点速度小于同步轨道速度
C．对于实践21号卫星，仅考虑地球对它的万有引力作用，其沿同步轨道运行经过P点时的加速度大小为a1，沿转移轨道运行经过P点时的加速度大小为a2，那么a1D．若要使已失效的卫星由Q点脱离地球引力的束缚，需要在Q点至少给它一个大于11.2km/s的初速度
6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”（　　）

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
7．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）西汉时期，《史记·天官书》作者司马迁在实际观测中发现岁星呈青色，与“五行”学说联系在一起，正式把它命名为木星。如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，卫星Ⅲ绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星Ⅰ、Ⅱ间距离随时间变化的关系图象如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是（　　）
A．卫星Ⅲ在M点的速度小于卫星Ⅰ的速度
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为
C．卫星Ⅰ的运动周期为T
D．绕行方向相同时，卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近的时间间隔为
8．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为G，很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（　　）

A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式
9．（2023·北京丰台·统考二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　）
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）2022年1月28日，国务院新闻办公室发布我国第五部航天白皮书《2021中国的航天》，白皮书中提到将继续实施月球探测工程，发射“嫦娥六号”探测器、完成月球极区采样返回。若将地球和月球看做一个双星系统，二者间距离为L，它们绕着二者连线上的某点做匀速圆周运动，运行周期为T；从漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大。若引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．当前月球和地球的动能相等
B．当前该双星系统的总质量为
C．在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小
D．在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大
11．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，神舟十五号飞船A、空间站B分别沿逆时针方向绕地球的中心O做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2。在某时刻飞船和空间站相距最近，空间站B离地面高度约为400km。下列说法正确的是（　　）
A．飞船A和空间站B下一次相距最近需经过时间
B．飞船A要与空间站B对接，可以向其运动相反方向喷气
C．飞船A与空间站B对接后的周期大于地球同步卫星的周期
D．飞船A与空间站B绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
12．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，人造卫星围绕地球做圆周运动，和与地球相切，，称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为和，且，甲、乙公转角速度分别为和，万有引力常量为。则以下说法正确的是（　　）

A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
13．（2023·河北·模拟预测）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季时间是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为在同一平面上的匀速圆周运动，且绕行方向相同。下列说法正确的是（　　）
A．火星与地球距离最近时火星相对于地球的速度最小
B．火星的运行轨道半径约为地球的倍
C．火星与地球相邻两次距离最近的时间间隔约为年
D．地球公转的线速度为火星公转线速度的倍
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）某国际研究小组观测到一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，科学家在地球上用望远镜观测到一个亮度周期性变化的光点，这是因为其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星，撞击后，科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化，且撞击后该双星系统仍能稳定运行，则被航天器撞击后（　　）
A．该双星系统的运动周期变大
B．两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变
C．两颗小行星中心连线的距离增大
D．两颗小行星的向心加速度均变大
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）宇宙中存在一个由四颗星组成的系统，三颗质量均为m的星球a、b、c恰好构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量也为m的星球，如图所示。已知引力常量为G，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，则下列说法正确的是（　　）

A．中心O处的星球受到a、b、c三颗星球总的万有引力为零
B．a、b、c三颗星球的线速度大小均为
C．a、b、c三颗星球的加速度大小均为
D．若某时刻中心O处星球消失，则a、b、c三颗星球仍将按原轨道运动且运动周期不变
16．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
17．（2021·北京·高考真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （　　）
A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
第24讲 卫星变轨问题 双星模型
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）2022年，我国航天经历了不平凡的一年。在探月与深空探测方面，我国科学家在“嫦娥五号”取回的月壤中发现了一种月球的新矿物，并命名为“嫦娥石”；我国首次火星探测“天问一号”任务团队获得国际宇航联合会2022年度“世界航天奖”；载人航天方面，“神舟十五号”飞船成功发射，中国空间站建造阶段发射“满堂红”。关于航天的知识，下列说法正确的是（　　）
A．“嫦娥五号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星捕获
C．“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到圆轨道时应加速，变轨后的速度大于第一宇宙速度
D．空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，不受力的作用
【答案】B
【详解】A．“嫦娥五号”是探月飞行，发射速度应在第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，A错误；
B．“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星引力所捕获，B正确；
C．“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到大的圆轨道时应加速，由于第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故变轨后的速度一定小于第一宇宙速度，C错误；
D．空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，但是仍然受引力作用，D错误。故选B。
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（　　）

A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3
B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度
C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度
D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量
【答案】C
【详解】A．天问一号在点需要点火减速才能从轨道2进入轨道3，故A错误；
B．在轨道2和轨道3经过点时，加速度相同，故B错误；
CD．假设火星的半径为，轨道3轨道半径为，因轨道3是近火轨道，所以，假设火星质量为，天问一号质量为，由万有引力提供向心力解得火星的密度题干仅提供了引力常量，火星半径未知，故C正确，D错误。故选C。
3．（2023·江苏南京·模拟预测）中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾经两次遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变轨积极规避。首先变轨到更高的轨道（A到B过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C到D过程）。已知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法正确的是（　　）

A．空间站距地面的高度大约400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16次
【答案】A
【详解】A．对于近地卫星有对中国空间站在轨运行过程有
解得，A正确；
B．A到B过程是由低轨道变轨到高轨道，需要在切点A处加速，则有在切点B处加速后由椭圆低轨道变轨到圆高轨道，在两个圆轨道上，根据解得由于B处圆轨道的轨道半径大于A处圆轨道轨道半径，则有则有即第一次加速后的速度比第二次加速后的速度大，B错误；
C．根据变轨规律，进入高轨道需要加速，进入低轨道，需要减速，即变轨避险的过程，空间站先经过两次加速进入更高轨道，再经过两次减速回到原轨道，C错误；
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多n次，则有解得可知空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多15次，D错误。故选A。
4．（2023·广东·统考三模）“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021年10月16日成功对接，航天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，下列说法正确的是（　　）
A．在轨道Ⅲ上，载人飞船在Q点的加速度比在P点的加速度大
B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小
C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P点的速度
D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能比在Q点的机械能大
【答案】A
【详解】A．根据牛顿第二定律有可得可知，离中心天体越近加速度越大，Q点近地点，P点为远地点，因此在轨道Ⅲ上Q点的加速度大于P点的加速度，故A正确；
B．根据开普勒第三定律轨道III为椭圆轨道，其半长轴大于轨道I的半径，则可知在轨道III上的运行周期大于在轨道I上额运行周期，故B错误；
C．载人飞船要实现在轨道III向轨道IV变轨，则必须在两轨相切处P点点火加速才能顺利实现由低轨向高轨的变轨运行，因此载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度小于在轨道Ⅳ上经过P点的速度，故C错误；
D．同一物体在环绕中心天体运动的过程中，轨道越高其机械能越大，而在同一轨道上运行时，其机械能守恒，因此在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能等于在Q点的机械能，故D错误。故选A。
5．（2023·湖北·模拟预测）地球同步轨道上的卫星失效后，及时将其清理，能为新的卫星释放空间。2021年12月底，我国自主研发的实践21号卫星“捕捉”到同步轨道上已失效的北斗2号卫星，并与之完成对接。2022年1月22日，实践21号完成大幅度变轨机动，将北斗2号拖入一条高于同步轨道的“墓地轨道”。1月26日，实践21号与北斗2号脱离，于1月28日返回地球同步轨道。已失效的北斗2号将在高于同步轨道带的太空区域漂流。这一举措展示了我国作为太空大国的责任和担当，也让世界见证了中国的科技实力。将上述过程作如图所示的简化：组合体在同步轨道上的P点变轨，经过转移轨道，运动到比同步轨道高3000km的墓地轨道上的Q点，在Q点组合体完成分离，其中实践21号再经转移轨道独自返回同步轨道。已知地球同步轨道高度约为35786km，地球半径约为6371km，则（　　）

A．由题干材料可知，实践21号在转移轨道上的运行周期约为4天
B．已失效的北斗2号卫星在转移轨道上的Q点速度小于同步轨道速度
C．对于实践21号卫星，仅考虑地球对它的万有引力作用，其沿同步轨道运行经过P点时的加速度大小为a1，沿转移轨道运行经过P点时的加速度大小为a2，那么a1D．若要使已失效的卫星由Q点脱离地球引力的束缚，需要在Q点至少给它一个大于11.2km/s的初速度
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，已知地球同步轨道高度约为35786km，地球半径约为6371km，墓地轨道比同步轨道高3000km，则转移轨道的半长轴为由于同步卫星绕地球运动的周期为24h，由开普勒第三定律可得即实践21号在转移轨道上的运行周期略大于同步卫星周期但是比较接近，小于4天，故A错误；
B．在Q点变轨需要点火加速，即北斗2号卫星在转移轨道上的Q点速度小于墓地轨道上运行速度，根据万有引力提供向心力，有解得轨道半径越大，线速度越小，即北斗2号卫星在墓地轨道运行的速度小于同步轨道速度，所以北斗2号卫星在转移轨道上的Q点速度小于同步轨道速度，故B正确；
C．对于实践21号卫星，在P点，根据牛顿第二定律有可得故C错误；
D．11.2km/s是从地球表面发射卫星，使之脱离地球的束缚的最小速度，而已失效的卫星由Q点脱离地球引力的束缚，同等条件下，需要克服地球引力所做的功要少，所以可以在Q点给它一个小于11.2km/s的初速度，故D错误。故选B。
6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”（　　）

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】D
【详解】根据开普勒第三定律有解得从图示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5圈，“相遇”一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就“相遇”一次，则甲运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”4次。故选D。
7．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）西汉时期，《史记·天官书》作者司马迁在实际观测中发现岁星呈青色，与“五行”学说联系在一起，正式把它命名为木星。如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，卫星Ⅲ绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星Ⅰ、Ⅱ间距离随时间变化的关系图象如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是（　　）
A．卫星Ⅲ在M点的速度小于卫星Ⅰ的速度
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为
C．卫星Ⅰ的运动周期为T
D．绕行方向相同时，卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近的时间间隔为
【答案】C
【详解】A．过M点构建一绕木星的圆轨道，该轨道上的卫星在M点时需加速才能进入椭圆轨道，根据万有引力定律有可得则在构建的圆轨道上运行的卫星的线速度大于卫星Ⅰ的线速度，根据以上分析可知，卫星Ⅲ在M点的速度一定大于卫星Ⅰ的速度，A错误；
BC．根据题图乙可知，卫星Ⅰ、Ⅱ间的距离呈周期性变化，最近为3R，最远为5R，则有，
可得，又根据两卫星从相距最远到相距最近有其中，根据开普勒第三定律有联立解得，，B错误，C正确；
D． 运动方向相同时卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近，有解得，D错误。故选C。
8．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为G，很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（　　）

A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式
【答案】D
【详解】A．恒星m与M具有相同的角速度，则角速度为选项A错误；
B．恒星M的轨道半径为对恒星系统mω2r=Mω2R解得恒星m的轨道半径大小为选项B错误；
C．恒星m的线速度大小为选项C错误；
D．对恒星系统=mω2r=Mω2R解得GM=ω2r(r+R)2；Gm=ω2R(r+R)2相加得
联立可得选项D正确；故选D。
9．（2023·北京丰台·统考二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　）
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
【答案】C
【详解】A．被航天器撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，说明双星系统的运动周期变小，故A错误；
B．设两个小行星的质量分别为m1,m2,它们做圆周运动半径分别为r1，r2，设两个小行星中心连线的距离为r,则两小行星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得；
联立以上各式得因为周期T变小，说明两个小行星中心连线的距离r变小，故B错误；
C．两个小行星中心连线的距离r变小，引力做正功，引力势能减小，故C正确；
D．小行星质量越大，惯性越大，其运动的速度不容易被改变，那其运动的轨道越不容易被改变，故D错误。故选C。
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）2022年1月28日，国务院新闻办公室发布我国第五部航天白皮书《2021中国的航天》，白皮书中提到将继续实施月球探测工程，发射“嫦娥六号”探测器、完成月球极区采样返回。若将地球和月球看做一个双星系统，二者间距离为L，它们绕着二者连线上的某点做匀速圆周运动，运行周期为T；从漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大。若引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．当前月球和地球的动能相等
B．当前该双星系统的总质量为
C．在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小
D．在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大
【答案】B
【详解】A．设地球的质量为M，地球的轨道半径为，月球的质量为m，轨道半径为，故有
由于联立得；故地球的动能为月球的动能为由于地球与月球的质量不同，故两者动能不同，A项错误；
B．双星系统中，两天体之间的万有引力提供向心力，有；将轨道半径代入后整理得将代入整理得。B项正确；
C．由两天体质量减小，距离增大，故周期增大，C项错误；
D．由于两天体距离增大，万有引力做负功，系统总动能减小，D项错误；故选B。
11．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，神舟十五号飞船A、空间站B分别沿逆时针方向绕地球的中心O做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2。在某时刻飞船和空间站相距最近，空间站B离地面高度约为400km。下列说法正确的是（　　）
A．飞船A和空间站B下一次相距最近需经过时间
B．飞船A要与空间站B对接，可以向其运动相反方向喷气
C．飞船A与空间站B对接后的周期大于地球同步卫星的周期
D．飞船A与空间站B绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
【答案】AB
【详解】A．设飞船A和空间站B下一次相距最近需经过时间为t，则有解得
故A正确；
B．飞船A要与空间站B对接，需点火加速，可以向其运动相反方向喷，故B正确；
C．空间站B离地面高度约为400km，根据开普勒第三定律可知飞船A与空间站B对接后的周期小于地球同步卫星的周期，故C错误；
D．根据开普勒第三定律有解得飞船A与空间站B绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为，故D错误；故选AB。
12．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，人造卫星围绕地球做圆周运动，和与地球相切，，称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为和，且，甲、乙公转角速度分别为和，万有引力常量为。则以下说法正确的是（　　）

A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
【答案】BD
【详解】AB．根据题意，由万有引力提供向心力有由几何关系有解得由于不知道地球半径，也无法求出轨道半径，则无法求出地球质量，又有
联立解得即地球的密度为故A错误，B正确；
CD．根据题述条件画出几何关系图，如图所示

可知当甲进入弧，则甲、乙无法直接通信，当甲的公转比乙多转两者可恢复直接通信，则有解得故C错误，D正确。故选BD。
13．（2023·河北·模拟预测）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季时间是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为在同一平面上的匀速圆周运动，且绕行方向相同。下列说法正确的是（　　）
A．火星与地球距离最近时火星相对于地球的速度最小
B．火星的运行轨道半径约为地球的倍
C．火星与地球相邻两次距离最近的时间间隔约为年
D．地球公转的线速度为火星公转线速度的倍
【答案】AC
【详解】A．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在距离最近处火星和地球速度方向相同，相对速度最小，故A正确；
B．由题意可知，火星的公转周期约为地球公转周期倍，根据可得由上式知，火星的轨道半径不是地球轨道半径的倍，故B错误；
C．设两次相邻距离最近时间为t，则解得故C正确；
D．根据可得结合B选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，但不是倍的关系，故D错误。故选AC。
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）某国际研究小组观测到一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，科学家在地球上用望远镜观测到一个亮度周期性变化的光点，这是因为其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星，撞击后，科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化，且撞击后该双星系统仍能稳定运行，则被航天器撞击后（　　）
A．该双星系统的运动周期变大
B．两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变
C．两颗小行星中心连线的距离增大
D．两颗小行星的向心加速度均变大
【答案】BD
【详解】A．撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，可知双星系统的运动周期变小，故A错误；
BC．双设双星之间的距离为L，星靠相互间的万有引力提供向心力，所以
联立解得，则两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变，两个小行星中心连线的距离减小，故B正确，C错误。
D．根据万有引力提供向心力有两个小行星中心连线的距离减小，则两颗小行星的向心加速度均变大，故D正确；故选BD。
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）宇宙中存在一个由四颗星组成的系统，三颗质量均为m的星球a、b、c恰好构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量也为m的星球，如图所示。已知引力常量为G，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，则下列说法正确的是（　　）

A．中心O处的星球受到a、b、c三颗星球总的万有引力为零
B．a、b、c三颗星球的线速度大小均为
C．a、b、c三颗星球的加速度大小均为
D．若某时刻中心O处星球消失，则a、b、c三颗星球仍将按原轨道运动且运动周期不变
【答案】AB
【详解】A．由万有引力公式可得即正三角形顶点所在处的星球与中心点处的星球之间的万有引力大小相等，而根据几何关系可知，顶点处的星球对中心点处星球的万有引力两两之间的夹角均为，则根据力的矢量合成可知中心点处星球所受万有引力的合力为零，故A正确；
BC．a、b、c三颗星球所受万有引力大小相同，方向均指向中心点O，任选其中一颗星分析可知其所受万有引力为而由万有引力充当向心力有
解得，,
故B正确，C错误；
D．若某时刻中心O处星球消失，则a、b、c三颗星球所受万有引力变成两两之间万有引力的合力，且指向中心，有显然万有引力变小了，若要在原来的轨道上继续做圆周运动，则可知做圆周运动的线速度必须减小，而根据万有引力充当向心力，可得周期显然故D错误。
故选AB。
16．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律有解得设相邻两次“冲日”时间间隔为，则
解得由表格中的数据可得；故选B。
17．（2021·北京·高考真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （　　）
A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律有解得故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误；
B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；
C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误；
D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。
故选D。亲爱的同学加油，给自己实现梦想的机会。
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第24讲 卫星变轨问题 双星模型
目录
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复习目标
网络构建
考点一 卫星的变轨问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 两类变轨的起因
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
【提升·必考题型归纳】
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
考点二 天体追及相遇问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 天体追及相遇问题基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
考点三 双星和多星问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 双星模型
知识点2 多星模型
【提升·必考题型归纳】
考向1 双星模型
考向2 多星模型
真题感悟
掌握卫星变轨问题和追及相遇问题的基本规律。
掌握双星模型和多星模型的基本规律。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）卫星变轨问题 （2）天体的追及相遇问题 （3）双星模型和多星模型 2023年湖北卷第2题 2022年浙江卷第8题 2021年天津卷第5题 高考对这不内容的考查比较频繁，多以选择题的形式出现，题目的背景材料多为我国在航天领域取得的成就，比如神州飞船、天宫轨道舱等。
考点一 卫星的变轨问题
知识点1 两类变轨的起因
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与 向心力的 大小关系 Gm
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
反之也有相应的规律。
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
1．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，当经过点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（　　）
A．沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度
B．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期
C．神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒
D．在轨道Ⅰ上运动经过点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过点的加速度
2．2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（　　）

A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期
B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度
C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速
考点二 天体追及相遇问题
知识点 天体追及相遇问题基本规律
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
1．我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为，卫星B的运行周期为，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是（　　）

A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为
B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近
D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
2．地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为，地球的半径为，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为，，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为，下列说法正确的是（　　）

A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近
考点三 双星和多星问题
知识点1 双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
知识点2 多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
考向1 双星模型
1．如图1所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如图2所示的示意图，黑洞A、B均可看成球体，。下列说法正确的是（　　）

A．黑洞A的运行线速度大小小于黑洞B的运行线速度大小
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的物质移到黑洞A上，他们之间的引力变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，他们运行的周期变大
D．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度
2．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　）
A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为
C．B的质量为 D．A的质量为
考向2 多星模型
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．星体做匀速圆周运动的轨道半径为
B．若实验观测得到星体的半径为R，则星体表面的重力加速度为
C．星体做匀速圆周运动的周期为
D．每个星体做匀速圆周运动的向心力大小为
1．（2023年湖北高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）

A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
2．（2022年福建高考真题）2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　）
A． B．
C． D．
第24讲 卫星变轨问题 双星模型
目录
复习目标
网络构建
考点一 卫星的变轨问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 两类变轨的起因
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
【提升·必考题型归纳】
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
考点二 天体追及相遇问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 天体追及相遇问题基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
考点三 双星和多星问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 双星模型
知识点2 多星模型
【提升·必考题型归纳】
考向1 双星模型
考向2 多星模型
真题感悟
掌握卫星变轨问题和追及相遇问题的基本规律。
掌握双星模型和多星模型的基本规律。
考点要求 考题统计 考情分析
（1）卫星变轨问题 （2）天体的追及相遇问题 （3）双星模型和多星模型 2023年湖北卷第2题 2022年浙江卷第8题 2021年天津卷第5题 高考对这不内容的考查比较频繁，多以选择题的形式出现，题目的背景材料多为我国在航天领域取得的成就，比如神州飞船、天宫轨道舱等。
考点一 卫星的变轨问题
知识点1 两类变轨的起因
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与 向心力的 大小关系 Gm
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
反之也有相应的规律。
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
1．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，当经过点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（　　）
A．沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度
B．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期
C．神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒
D．在轨道Ⅰ上运动经过点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过点的加速度
【答案】C
【详解】A．由万有引力提供向心力有得可知，运行速度大小与环绕物体的质量无关，r越小，运行速度越大，高轨低速，即：沿轨道Ⅰ运行的速度大于沿轨道Ⅲ运行的速度，故A错误；
B．由开普勒第三定律可知，高轨长周期，在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B错误；
C．在神舟十二号飞向核心舱的过程中，在椭圆轨道上只受引力作用，万有引力做负功,引力势能增大，动能减小，机械能守恒，故C正确；
D．由万有引力提供向心力有得可知与地球距离相等的位置，加速度大小相同，故D错误。故选C。
2．2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（　　）

A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期
B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度
C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速
【答案】AD
【详解】A．根据开普勒第三定律可知探测器在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力有解得所以在轨道II上运行的向心加速度大于在轨道I上运行的向心加速度，且在A点的向心加速度相等，故B错误；
C．探测器在轨道II上的A点加速进入轨道I，根据万有引力提供向心力有解得可知探测器在轨道I的速度小于III的速度，进而可知在轨道II上A点的动能小于在轨道III上的动能，故C错误；
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速，故D正确。故选AD。
考点二 天体追及相遇问题
知识点 天体追及相遇问题基本规律
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
1．我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为，卫星B的运行周期为，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是（　　）

A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为
B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近
D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
【答案】AC
【详解】A．根据得如图可知，A正确；
B．卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的A，B错误；
C．根据卫星A与卫星B又一次相距最近的时间间隔为，C正确；
D．第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误；故选AC。
2．地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为，地球的半径为，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为，，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为，下列说法正确的是（　　）

A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近
【答案】D
【详解】A．因为未知两卫星的质量，所以无法比较它们机械能的大小，A错误；
B．对卫星一由牛顿第二定律解得地球质量为故B错误；
C．由开普勒第三定律可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期故C错误；
D．两卫星共线且在同一侧时相距最近，设经过t时间，两卫星第一次相距最近解得故D正确。故选D。
考点三 双星和多星问题
知识点1 双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
知识点2 多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
考向1 双星模型
1．如图1所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如图2所示的示意图，黑洞A、B均可看成球体，。下列说法正确的是（　　）

A．黑洞A的运行线速度大小小于黑洞B的运行线速度大小
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的物质移到黑洞A上，他们之间的引力变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，他们运行的周期变大
D．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度
【答案】BD
【详解】A.黑洞A、B运行的角速度相同，A的半径较大，则A的线速度更大，A错误；
B.设它们相距为L，角速度为ω，根据牛顿第二定律得；可得
则当B的质量减小，A的质量增加时，两个质量的乘积变大，故它们的引力变大，B正确；
C.根据；整理得根据可知角速度不变，周期不变，C错误；
D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，D正确。故选BD。
2．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　）
A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为
C．B的质量为 D．A的质量为
【答案】D
【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有解得
故不能求出C的质量，故B错误；
C．双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A研究对B研究
解得双星的总质量故C错误；
D．A的质量故D正确；
A．A、B的轨道半径之比为故A错误。故选D。
考向2 多星模型
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
【答案】D
【详解】A．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得星体做圆周运动的线速度大小为故A错误；
B．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得
解得星体做圆周运动的周期为故B错误；
C．根据几何关系可得：三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为
由万有引力提供向心力得解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为故C错误；
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为故D正确。故选D。
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．星体做匀速圆周运动的轨道半径为
B．若实验观测得到星体的半径为R，则星体表面的重力加速度为
C．星体做匀速圆周运动的周期为
D．每个星体做匀速圆周运动的向心力大小为
【答案】ABC
【详解】A．根据题意可知四星系统模型如下所示，四边形顶点到对角线交点O的距离即为星体做圆周运动的半径r，根据图中几何关系可得
故A正确；
B．物体在星体表面所受的重力等于星体对其施加的万有引力，设物体质量为，根据万有引力定律有
解得故B正确；
CD．根据题意可知，任意一个星体都受到其他三个星体的引力作用，根据对称性可知每个星体所受引力合力大小相等，且指向对角线的交点O。对上图模型中右上角星体分析受力，可知其所受万有引力合力大小为星体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
联立两式可得故C正确，D错误。故选ABC。
1．（2023年湖北高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）

A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【答案】B
【详解】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有可得故A错误；
B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；
C．在星球表面根据万有引力定律有由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误；
D．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有；要发生下一次火星冲日则有
得可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。故选B。
2．（2022年福建高考真题）2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道变轨到过程，根据动能定理有依题意可得引力做功万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有求得空间站在轨道上运动的动能为
动能的变化解得故选A。

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