资源简介

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
01.4.2 充要条件（3种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
题型一：充要条件的判断
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（多选）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
3.k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．
4.设集合，，则的充要条件是______．
题型二：利用充分、必要条件求参数
一、单选题
1．（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
3．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
5．（2022秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
6．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
7．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
题型三：充要条件的证明
1．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
2.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
3.求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【能力提升】
一、单选题
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二、多选题
2．已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件
三、填空题
3．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
四、解答题
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
5.已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
6．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
7.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
9.设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
12.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
13.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
14.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
1.4.2 充要条件（3种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
题型一：充要条件的判断
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，
由此可知“”是”的充要条件.
故选：C.
2.（多选）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
【答案】BC
【详解】解：对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，故A错误；
对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；
对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；
对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，故D错误；
故选：BC
3.k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．
【答案】充要
【详解】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，
∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；
y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于，
由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知
，
故k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件，
故答案为：充要.
4.设集合，，则的充要条件是______．
【答案】，
【详解】由，可知，，于是
解得
此时，，符合．
故的充要条件是，
故答案为：，
题型二：利用充分、必要条件求参数
一、单选题
1．（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】方程有实根，故，
解得或.
方程有实根，故，
解得.
综上所述，，只有D选项符合.
若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，
则，两式相减得，
由于，所以，
所以.
当时，两个方程分别为、，
方程的两个根为；
方程的两个根为；
即方程与有一个公共实数根.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选：D
2．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
【答案】
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
3．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
【答案】3
【详解】由得，故，
因为“”是“”的充要条件，
所以，解得，
所以实数m的取值是3.
故答案为：3.
4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.
∴不存在满足条件的.
（2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得，
∴问题中的存在，且的取值集合.
选②，则是的真子集，
当时，，即，满足是的真子集；
当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得；
综上所述：.
所以问题中的存在，且的取值集合.
5．（2022秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
【详解】（1）若，则，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）若选择条件，即是的充分条件，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的必要条件，则，
所以，解得．
又，所以，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的充要条件，则，
所以，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数．
6．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
7．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
题型三：充要条件的证明
1．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
【详解】证明　①充分性：
因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，
故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．
设方程的两根为x1，x2.
因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．
②必要性：
因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，
设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.
因为x1·x2＝q，所以q＜0.
由①②，命题得证．
2.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
【详解】充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
3.求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【详解】必要性：若方程与有一个公共实数根，设为，
则
两式相减得：
或
若，两个方程均为无解，
故，代入可得.
充分性：当时，，解得；
，解得；
两个方程有公共根为1.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【能力提升】
一、单选题
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【详解】因为，故，故①错误；
而，故，故②正确；
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确
若整数a，b属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，
故a，b属于同一“类”，
故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；
二、多选题
2．已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确；
因为，，推不出，故B错误；
因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出，
所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；
由可得，当满足时，才可得，即推不出，
反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.
故选：AC
三、填空题
3．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
四、解答题
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即A B，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
5.已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
【答案】(1)
(2)的充要条件是
【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；
（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.
(1)由，得，，
从而
(2)当时，，，且存在，使得，．
于是，
又a、b、c为的三边长，得．
从而的充要条件是
6．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，．
（充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0．
由a，b，c的对称性，不妨设
由得，从而由，得，即
故，于是．这与矛盾，于是假设不成立．
因此，，，．
7.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0<≤1，
故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.
再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，
所以对于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.
9.设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【解析】
（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，
于是|x+y|=|x|+|y|
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.
当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.
总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.
（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，
∴xy≥0.
综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【答案】
（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,
∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，
则x1·x2=<0，∴ac<0
综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
12.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
13.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
14.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
/ 将来的有一天，你会感谢现在努力的你！亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
01.4.1充分条件与必要条件（4种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
一、命题的概念
一、单选题
1.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
2.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
3.下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
4.判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
二、多选题
5． (多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗
二、判断命题的真假
一、单选题
6．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
二、填空题
8．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
三、充分条件的判定
一、单选题
9． =的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．若是的充分不必要条件，则实数a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
四、必要条件的判定
一、单选题
12． “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
14．已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
3．（2022秋·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）设x∈R，则“x＜2”是“”成立的什么条件（ ）
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．充要 D．必要不充分
二、多选题
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．的充要条件是
6．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________
9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是___________.
10．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
11．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
12．（2022秋·广东广州·高一广州市番禺区大龙中学校考阶段练习）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
13．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
1.4.1充分条件与必要条件（4种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
一、命题的概念
一、单选题
1.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
2.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】D
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
3.下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
【答案】D
【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，
4.判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
（3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
（4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
二、多选题
5． (多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗
【答案】ABC
【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗 ”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
二、判断命题的真假
一、单选题
6．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；
B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；
C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；
D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，
二、填空题
8．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
三、充分条件的判定
一、单选题
9． =的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；
对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.
根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；
对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；
二、多选题
10．若是的充分不必要条件，则实数a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【详解】若是的充分不必要条件，
则.
三、解答题
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
四、必要条件的判定
一、单选题
12． “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：关于的不等式的解集为R，则，
解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.
二、多选题
13．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
三、解答题
14．已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【详解】必要性：对于x，y∈R，若x2+y2=0，
则x=0，y=0，即xy=0，
故xy=0是x2+y2=0的必要条件.
充分性：对于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，
故xy=0不是x2+y2=0的充分条件.
综上所述，对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解.
【详解】若，则同号，所以成立，充分性成立；
若成立，两边同时平方可得：，
所以，则，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
3．（2022秋·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系.
【详解】四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，
若四边形ABCD为菱形，则；若，则四边形ABCD不一定为菱形.
则“四边形ABCD为菱形”是“”的充分不必要条件
故选：A
4．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）设x∈R，则“x＜2”是“”成立的什么条件（ ）
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．充要 D．必要不充分
【答案】D
【分析】根据不等式解法和充分必要条件的判定即可求解.
【详解】①若“x＜2”存在x为负数的情况，
此时为负数，
所以不满足，
故前面推导不出后面的结果，
②若，则，
所以能够推出x＜2，
所以“x＜2”是“”成立的必要不充分条件.
故选：D.
二、多选题
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．的充要条件是
【答案】BD
【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.
【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；
选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；
选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；
选项D，必要性：，
所以，
即，所以；
充分性：，则，该选项正确.
故选：BD.
6．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．
【详解】解：因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.
【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，
命题“，或”为真命题，则或，
所以或或，显然，B，D选项中的区间为的子集．
故选：BD．
三、填空题
8．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________
【答案】
【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】
是的必要不充分条件,
,
,
实数的取值范围是,
故答案为： .
9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可.
【详解】由方程有实数根可得，即，
为真命题，即为假命题，
所以 ，
根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
10．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据“或”是“”的必要不充分条件，得到不等式组，解出即可．
【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，
则是或的真子集，
或，
解得：或，
故答案为：．
四、解答题
11．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，，而，
所以，则或.
（2）选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
12．（2022秋·广东广州·高一广州市番禺区大龙中学校考阶段练习）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．
【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】（1），，，，
假设，，则，且，
∴，则或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
（2）集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，又，而
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）集合，成立，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
13．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当时，集合，集合，所以；
（2）i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.
/ 将来的有一天，你会感谢现在努力的你！亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
01.4.2 充要条件导学案
【学习目标】
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件.
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p q，则p是q的充要条件．
③若p q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
④若pq，且q p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有 ，即p是s的充要条件．
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
8.求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件．
9.已知方程+=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
1.4.2 充要条件导学案
【学习目标】
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
p q q p p q 充要
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件.
充要
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p q，则p是q的充要条件．
③若p q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
④若pq，且q p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有 ，即p是s的充要条件．
p s
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。
（3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要条件。
（4）若，则，即；若，则，即，故，
所以p是q的充要条件．
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( ):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性():若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【答案】B
【详解】对于A选项，，解得：或，
所以，但，
故为的充分不必要条件，故A错误；
B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；
C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；
D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜边，
中，，则斜边，
故为的必要不充分条件．
故选：B．
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】为充要条件．
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】BD
【详解】对于A选项，p q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；
对于B选项，p q，且q p，即p q，故p是q的充要条件；
对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；
对于D选项，p q，且q p，故p是q的充要条件．
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
[解析]　
(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q p，但p q，p是q的必要
不充分条件；
(2)，|x＋y|＝|x|＋|y| (|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2 x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2 xy＝|xy| xy≥0，所以p是q的充要条件；
(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－，所以p q但q p，p是q的充分不必要条件；
(4)，|x－1|＞2 x＞3或x＜－1，所以p q但q p，所以p是q的必要不充分条件．
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析]　
(1)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q p.∴p是q的必要不充分条件．
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即A B，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵
∴要使是的充分条件，需使，
即，解得，
∴存在实数，使是的充分条件．
（2）要使是的必要条件，需使．
当时，，解得，满足题意；.
当时，，解得，
要使，则有，解得，
∴，
综上得，当实数时，是的必要条件．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
【证明】①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以
即=0；
②必要性：因为=0，所以=0,
所以=0，因为ab≠0，所以a，b均不为0，所以
所以=0，即=1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【证明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二：< －<0 <0.由条件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.
所以< xy>0，即<的充要条件是xy>0.
8.求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件．
[解析]　①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时有实根的充要条件是
判别式Δ≥0，
即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
(Ⅰ)方程有一负根一正根的充要条件为,
(Ⅱ)方程有两个负根的充要条件为
综上所述，方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
9.已知方程+=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【解析】方程+=0，有两个大于1的实数根,

k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
/ 将来的有一天，你会感谢现在努力的你！亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
1.4.1 充分条件与必要条件导学案
【学习目标】
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
二．充分条件与必要条件的概念
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A B p是q的充分条件；q是p的必要条件
B A q是p的充分条件；p是q的必要条件
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
1.4.1 充分条件与必要条件导学案
【学习目标】
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
p q
二．充分条件与必要条件的概念
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
充分　必要 充分　必要
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A B p是q的充分条件；q是p的必要条件
B A q是p的充分条件；p是q的必要条件
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件。
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件。
（3）这是一条菱形的性质定理， p q，所以p是q的充分条件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p q，所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知， p q，所以p是q的充分条件。
（6）为无理数但是有理数，p q，所以p不是q的充分条件。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【解析】（1）这是平行四边形的性质定理，p q，所以 q是p的必要条件。
（2）这是三角形相似的性质定理，p q，所以 q是p的必要条件。
（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p q，所以 q不是p的必要条件。
（4）显然p q，所以 q是p的必要条件。
（5）由于 ，但，p q，所以 q不是p的必要条件。
（6）由于为无理数，但不全是无理数，p q，所以 q不是p的必要条件。
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“a2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】取，，得，故A不是“，”的必要条件；
由，，得，故B是“，”的必要条件；
取，，得，故C不是“，”的必要条件；
由，，得，故D是“，”的必要条件．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
【答案】AC
【详解】选项A，，令，则，与无关，故一次函数的图像一定经过点，正确；
选项B，若，则，故是的充分不必要条件，错误；
选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；
选项D，当时，能被整除，但不能被整除，错误.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】[0，1]
【分析】由是的必要条件，则，即，从而可得答案.
【详解】设集合
由是的必要条件，则，即
所以 ，解得
故答案为：[0，1]
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)解：当时，，又，
所以，；
(2)解：因为是的必要条件，所以，即，
所以有，解得，
所以实数m的取值范围为.
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)．
当时，
所以，；
(2)是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故
即
所以实数m的取值范围是.
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
【答案】
此时，但，
故；
（2），
若，则必有，
所以；
令，则，，
此时，但，
故；
综上所述，；
（3）若，则，
则且，
则且，
则，
故；
若，
则且，
则且，
则，
则，
故；
综上所述，；
（4）若，则，
则或，
则或，
则，
故；
若，
则或，
则或，
则，
则，
故；
综上所述，；
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；
（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可
(1)由题意得：
当时，
故
(2)由“”是“”的必要不充分条件
可得：
当时，得
解得：；
当时，，解得.
综上，的取值范围为：
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)；(2)
(1)当时，集合，因为，
所以；
(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．
当时，即，解得，此时，符合题意；
当时，即，解得，所以，解得：；
所以实数的取值范围是．
若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A B．
当时，，解得，此时A B，符合题意；
当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；
所以实数的取值范围是．
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】选条件①，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，则或，解得或，因此，，
所以实数a的取值范围为.
选条件②，因为“”是“”是必要不充分条件，则有，
又，，则或，无解，
所以不存在满足题意的实数a.
选条件③，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，所以或，无解，
所以不存在满足题意的实数.
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
/ 将来的有一天，你会感谢现在努力的你！

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