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2008年高考数学试题专题分析(三)
-------数列
九江市同文中学 汤胜晚、瞿芳
指导教师 林健航
从2005年江西高考自主命题开始，省高考命题的专家老师就特别倾向于采用数列问题作为高考卷的第一或第二压轴题。2008年，在一片高考试题命题的改革声中，数列题难度降低，位置前移，情景常规，得分提高。文、理科数列试题均以求基本量为突破口，理科辅之于简单的数论知识，求一个等差数列和一个等比数列的通项；继之，采用常见的放缩法证明一个学生非常熟悉的数列不等式。可以说，一举颠覆了以往数列试题的竞赛品性和神秘特性。无疑，对我省今后的高考数列复习起到了一定的指导作用。
然而，我们把目光从本省看出去，不难发现，2008年19份理科高考试卷中，共11道数列选择题，共5道数列填空题，共19道数列部分的解答题。其中选、填题以考察数列的基础知识为主。解答题中有17道涉及递推数列（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。
从2008年高考数学试题（理科）可以看出，数列递推问题的主要特点在于：
一、递推含义更广：从递推的对象看，有数列前后项与之间的递推（安徽卷第21题等），也有与的递推（全国Ⅱ卷2第20题，四川卷第20题，山东卷第20题），与的交叉递推（辽宁卷第21题）等，北京卷第20题数列间的“复制”式递推更令人耳目一新，拍案叫绝。
二、递推形式更新：从递推的项数看，有两项间的递推，也有三项间的递推，如广东卷第21题，重庆卷第22题；从递推的形式看，既有常规的线性形式，如安徽卷第21题，湖北卷第21题、浙江卷第22题、福建卷第19题等，也有分式形式，如山东卷第20题、陕西卷第22题等，还有三角函数形式（湖南卷第18题）、分段递推形式（上海卷第21题）、积（幂）的形式（重庆卷第22题）等；另外，一般的递推都是等式形式，福建卷理科第22题还出现了不等式下的递推。
三、递推立意更深：20世纪80年代的递推问题主要是求通项，其题型相对单一、解法相对固定，主要是构造法、不完全归纳法和数学归纳法，能找到一个类型的“公式”，即可以以解法的不变应问题的万变，不利于对考生进行全面、准确、深入的检测。以能力立意命题带来的巨大变化，最明显的是，考查通性通法的同时，突出考查思维能力，代数推理能力，分析问题以及解决问题的能力的考查，深度检测学生的数学基础和能力素质。在能力立意的视角下，问题一般采取一题多问，分步推进，宽进严出，层层拔高的形式。题型灵活，从设问形式看，有较常见的求通项（一般已经搭好求解的平台），求前项和，有证明数列的单调性（全国卷Ⅰ第22题），有界性的证明（全国卷Ⅰ第22题），确定参数存在性，求参数取值范围（全国卷Ⅱ第20题，湖北卷第9题），证明数列不等式（安徽卷第21题，湖南卷第18题，浙江卷第22题，辽宁卷第21题等等）；原来针对递推数列的题型化攻略已经失效，没有人能穷举出各种递推关系并找到以不变应万变的公式，而且寻找通项的定势思维往往使问题的解决走进死胡同。
四、递推综合性更强：在知识的交汇点上命题的理念在数列递推的背景下也得以充分实现。这些问题都是综合性问题。与前两年相比，数列与解析几何综合的问题减少，出现更多的新颖综合形式，如与三角函数综合（湖南卷第18题），与方程综合（广东卷第21题），与函数综合（全国卷Ⅰ第22题，福建卷第19.22题），与不等式综合（浙江卷第22题，辽宁卷第21题等），与函数，导数不等式综合（全国卷第22题，福建卷第19、22题等）等。综合性的增强既可以较系统的检测知识、技能的掌握情况，也对解法的灵活性提出了更高的要求，数学归纳法等通性通法仍然发挥重要作用，但解题方法必须灵活多变，函数与方程，化归与转化，分类讨论等重要数学思想方法要能够灵活运用，对思维的严密性，连续性，创新性等都提出了较高要求。
数列通项是数列的重要组成部分，在每年高考中都有涉及，多数以解答题的形式出现。鉴于其重要性，下面就今年高考数学中有关数列通项的典型考题（与通项无关的部分省略）梳理出来，谈谈求数列通项的几种常见的解题方法：
一、观察法：根据题意得到数列的前几项，通过观察猜想出通项公式，然后利用数学归纳法加以证明即可（除要求不需要证明外），如辽宁卷第21题。
二、公式法：根据题意求等差或等比数列的基本量，直接写出通项公式，如江西卷第19题。
三、利用求数列的通项公式，如全国卷Ⅱ第20题。
四、构造等差或等比数列求通项公式，如山东卷第19题，四川卷第20题。
五、累加法：形如形式的可利用累加法求通项公式，如天津卷第20题。
六、累乘法：形如形式的可利用累乘法求通项公式，如四川延考卷第20题。
七、倒数法：形如形式的可利用两边取倒数求通项公式，如陕西卷第22题。
八、对数法：形如形式的可利用两边取对数求通项公式，如重庆卷第22题。
九、方程法：通过方程的根与系数的关系建立数列前后项间的关系，然后求解即可，如广东卷第21题。
十、迭代法：直接根据递推公式得到从所要求的项依次向前推，直至利用已知项表示出来式子即可，如安徽卷文科第2 1题。
从2008年的高考数学的数列命题，我们还发现，数列和函数、不等式、导数、方程等知识密切地联系在一起，并且需要我们的学生能够通观察特殊表象，猜想出一般结论，再进行严格的数学论证，从而培养学生的观察问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生良好的思维品质和探索品位，体验数学那永恒的探索的美感。
2008年高考数学试题专题分析（一）
——函数、导数与不等式
九江市第一中学 邵学兵
指导教师 林健航
函数、导数与不等式是高中数学中最重要的知识板块，它是贯穿于高中数学的一条主线，它的知识点多，覆盖面广，综合性强，应用广泛，与其他知识联系紧密；导数是研究函数的工具，有了导数，函数显得更加丰富多彩．本专题在选择、填空、解答三种题型中都有考题，分值30分以上，占全卷的﹪以上，在高考中占有重要地位．
一、本专题高考试题的特点分析
⑴以“三个二次”为纽带，在函数、方程、不等式、数列、圆锥曲线等知识交汇处命题，考查分析问题、解决问题的能力；
⑵函数与数列、不等式、导数等知识的交汇，强调基础知识和综合能力并重，在知识的交汇处命题，考查学生的思维能力、运算及应用能力，经常以压轴题出现；
⑶抽象函数和创新题型在近年高考中也是一个热点，这类题灵活抽象，背景深刻，较难把握解题规律；
⑷解不等式、证明不等式及不等式与函数、导数、三角、数学归纳法、解析几何、数列等知识的综合运用是不等式考查的重点，且综合考查已成为一种趋势；一般两种题型：一是以函数为载体的导数、函数性质的综合题，多为压轴题；另一种是与几何问题、数列问题以及平面向量等知识的综合问题，立意新颖，抽象程度高．
二、本专题在高考试题中的题型分布及分值比例
表一
卷别
科别
题号
分值
本专题考点
全国卷Ⅰ
理
1、2、6、7、9、19
37
函数的定义域、图像、函数应用、导数的应用、函数单调性、抽象函数
文
1、2、4、8、10、21
37
函数的定义域、图像、函数应用、导数的应用、函数单调性、抽象函数
全国卷Ⅱ
理
3、4、14、22
27
函数图像、对数函数的单调性、导数应用（切线）
文
4、5、7、21
27
函数图像、对数函数的单调性、导数应用（切线）
北京卷
理
2、12、13、14、18
33
反函数的概念、函数单调性、导数定义、函数奇偶性与单调性、函数应用
文
2、5、10、13、14、17
33
解不等式、函数单调性、导数定义、反函数、函数奇偶性与单调性、
上海卷
理
1、4、8、11、19
32
反函数、奇偶性、图像、解不等式
文
1、4、9、11、19
32
解不等式、反函数、奇偶性、最值、解析式
天津卷
理
3、8、10、21
29
反函数、函数与方程、分段函数、解不等式、导数应用、单调性、极值、函数与不等式
文
3、8、10、21
29
反函数、函数与方程、分段函数、解不等式、
重庆卷
理
4、6、13、20
26
值域与最值、抽象函数、奇偶性、指数与对数、导数应用
文
2、6、7、12、14、19
36
反函数、不等式的性质、指数运算
湖北卷
理
4、7、13、20
27
定义域、函数单调性、函数与方程、值域与最值、函数应用、分段函数
文
6、8、13、15、17
32
奇偶性、周期性、定义域、函数与方程
湖南卷
理
10、13、14、21
28
函数值域、反函数、定义域、单调性、导数应用、函数与不等式
文
2、4、6、15、21
33
函数值域、解不等式、反函数、单调性
江西卷
理
3、6、9、12、22
34
分段函数、图像、函数与方程、不等式的性质、解不等式、导数应用、不等式证明
文
3、4、12、13、21
31
解不等式、复合函数定义域、单调性、图像、函数与方程、
辽宁卷
理
6、8、12、13、22
33
导数应用（切线、极值）、单调性、函数与方程、图像、分段函数的反函数、不等式综合应用
文
2、4、6、8、13、22
38
函数单调性、奇偶性、导数应用（切线）、函数图像与平移、反函数
福建卷
理
4、12、19、22
36
奇偶性、导数应用、函数图像、最值、不等式
文
4、11、21
22
函数图像、导数应用、奇偶性、
山东卷
理
3、4、16、21
26
复合函数单调性、函数图像、值域、解不等式、极值、函数与不等式
文
3、4、5、7、12、15、21
41
解不等式、函数图像、分段函数、复合函数单调性、定义域、对数运算法则、
浙江卷
理
3、15、21
24
二次函数、单调性、最值、不等式的性质、导数应用
文
3、5、11、21
29
不等式的性质、均值不等式、求函数值
四川卷
理
10、11、22
24
函数的奇偶性、抽象函数、函数周期性、极值、单调性、函数与方程
文
2、5、9、20
27
解不等式、抽象函数、函数周期性、反函数、
安徽卷
理
7、9、11、13、20
31
函数与方程、函数图像、函数解析式、函数单调性、定义域、函数与不等式
文
6、9、13、20
26
反函数、单调性、最值、定义域
陕西卷
理
6、7、11、21
27
反函数、奇偶性、均值不等式、导数应用（极值）、函数与不等式
文
6、7、11、22
29
函数单调性、最值、反函数、抽象函数、
广东卷
理
7、14、19
24
导数应用（极值、单调性）、绝对值不等式、最值
文
8、9、10、17
27
不等式的性质、对数函数单调性、极值、
江苏卷
理
8、11、14、17、20
25
导数应用、单调性、最值、均值不等式、函数应用、分段函数、函数与不等式
文
8、11、14、17、20
25
导数应用、最值、均值不等式
三、本专题的重、难点分析
1.函数、导数与不等式的重点是：
⑴理解函数的有关概念——定义、三要素、表示方法，特别是函数解析式；
⑵掌握函数的单调性和奇偶性的概念、基本的判定方法和步骤，并会运用．应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数以及形如的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律；
⑶理解掌握反函数的概念，明确反函数的意义及一些常见符号的意义，掌握求反函数的方法步骤，理解反函数与原函数的关系等；
⑷理解掌握指数函数、对数函数的概念、图象及性质，能运用性质熟练地进行大小比较、方程求解等；
⑸掌握导数的概念，会求函数的导数，会用导数的方法判定或证明函数的单调性，会求函数的极值和最值，会用导数解一些实际问题；
⑹理解不等式的性质及其证明，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的证明，掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；
⑺掌握简单不等式的解法，理解不等式．
2.函数、导数与不等式的难点是:
⑴函数、反函数的概念，函数思想、数形结合思想的灵活运用；
⑵培养建立函数模型、解决实际问题的应用意识；
⑶利用放缩法证明不等式，函数、数列、不等式、解析几何的综合；
⑷利用导数证明函数单调性进而证明不等式恒成立问题，关键是如何构造相关函数，这是近几年高考压轴题中的一类较典型的问题．
四、2008年高考数学试题中本专题亮点分析
由表一可以看出，函数、导数、不等式作为高中数学的主干知识，是各套高考数学试卷的重点考查内容之一．体现了函数与方程、分类讨论、等价转化、化归与递推、数形结合等数学思想，难度较大．
1．抓纲扣本，对基本知识、基本运算的考查
例1.（全国卷Ⅰ理）函数的定义域为（ C ）
A． B． C． D．
考查点：函数的定义域、解不等式．
分析：由函数定义域的定义得出不等式组，然后解不等式组．关键要熟练掌握基本初等函数的定义域．
例2. （江西卷 理）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
考查点：函数的值域、形如的函数的性质．
分析：利用换元法把函数转化为，再利用函数单调性求值域．
例3. （北京卷 理）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考查知识：反函数的定义、存在反函数的条件、充要条件．
分析：函数有反函数的充要条件是此函数一一映射，而函数单调递增可得函数一一映射，函数一一映射则不一定单调递增．
例4. （广东卷 文）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考查知识：不等式的性质．
分析：利用性质及．
例5. (湖南卷 文)“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
考查知识：解简单的绝对值不等式，充要条件．
例6. （山东卷 文）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考查知识：解分式不等式．
例7. （全国卷Ⅰ理）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
考查知识：导数的应用——切线，两直线垂直的充要条件．
分析:关键要会求分式函数的导数，运用两直线垂直的充要条件列出方程．
例8（天津卷 理）函数（）的反函数是 （ ）
A．（）　　 B.（）
C.（） 　　 D.（）
考查知识：求函数的反函数．
切入点：求反函数的一般步骤．
例9. （全国卷Ⅱ理）函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称
考查知识：函数的奇偶性．
2、导数的应用
例10. （全国卷Ⅰ19）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：
考查知识：函数的单调性．
分析：利用导数判断函数的单调性及恒成立问题的转化是切入点，会解无理不等式．
另解：（2）由函数在区间内是减函数，得即，又，故不等式可化为，
令，得
又在区间上为减函数，在区间上为增函数，
又
例11．（全国卷Ⅱ理）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数．
（Ⅱ）令，则
． 故当时，．
又，所以当时，，即．
当时，令，则．
故当时，．因此在上单调增加．
故当时，，即．
于是，当时，．
当时，有．因此，的取值范围是．
命题意图：利用导数判断函数的单调性，并构造函数，从而利用单调性求参数范围．
思考：因是周期函数，故只需考查在区间成立，又在区间上为增函数，在区间上为减函数，故只需考查在区间满足，
而根据切线的定义，找出在原点的切线即可，
由（1）知得，因此，的取值范围是．
当然这样有点欠完整，但很容易找出正确答案，再行解答即可．
例12．（四川卷理）已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
解：（Ⅰ）因为 所以 因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当时， 当时，
所以的单调增区间是 的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为，极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线与的图象各有一个交点，当且仅当
因此，的取值范围为．
考查知识：函数的单调性，图像交点．
分析：利用导数判断函数的单调性，并结合图象分析直线与的图象的交点．
例13. （山东卷理）已知函数其中n∈N*,a为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当时，有.
解：（Ⅰ）由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时，
所以
（1）当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1，＜1，
此时 .
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；
当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.
（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，
当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，f(x)无极值.
（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以
当n为偶数时，令
则=1+＞0（）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，所以成立.
当n为奇数时，
要证,由于＜0，所以只需证,
令 ,则 ≥0（）,
所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.
证法二：当a=1时，
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
则
当时，≥0，故在上单调递增，
因此当时，，即成立.
故当时，有.即.
考查知识：极值，不等式的证明．
分析：利用导数，构造函数，利用函数的单调性证明不等式，难点在于如何构造函数．
3、函数单调性、奇偶性、周期性及其应用
例14.（安徽卷 理）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
考查知识：函数奇偶性．
分析：分别求出再求值．
例15. （四川卷 理）设定义在上的函数满足，若，则( )
Ａ.　　 Ｂ.　　 Ｃ.　　 Ｄ.
考查知识：函数的周期性．
分析：由得出，再推出
，周期为4．
例16. （福建卷 理)函数,若,则的值为
A.3 B.0 C.-1 D.-2
考点：函数的奇偶性．
切入点：构造函数，由已知得，根据奇偶性知，
例17. （四川卷 理）设，其中，则是偶函数的充要条件是( )
Ａ.　 Ｂ.　 　Ｃ.　　Ｄ.
考查知识：三角函数，导数，函数奇偶性．
分析:由三角函数的奇偶性得出，故选择D．
例18.（北京卷 理）已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是____.
考查知识：函数的奇偶性与单调性
分析：由函数为偶函数及在上的单调性知即可得．
4、函数图象及应用的考查
例19.（北京卷 理）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________；_______．（用数字作答）
考查知识：导数的定义，函数图象．
切入点：由定义知由图像可得
例20. （山东卷 理）函数的图象是（ ）
考查知识：函数的奇偶性与图象．
例21.（全国卷Ⅰ 理）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）

考查知识：函数的应用与图象．
切入点：路程的平均变化率的极限即导数（瞬时速度）．
例22.（福建卷 理)已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是 （ ）
考查知识：导数图象，单调性．
分析：关键是图象中的大小决定的切线的斜率的大小，即变化速度．
5、抽象函数与创新题的考查
例23.（重庆卷 理)若定义在上的函数满足：对任意,有,则下列说法一定正确的是（ ）
A.为奇函数 B.为偶函数 C. 为奇函数 D.为偶函数
考查知识：抽象函数及函数的奇偶性．
切入点：奇偶性的判断，赋值法得，再令得出．
例24.（陕西卷 理）定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
考查知识：抽象函数及函数的奇偶性．
切入点：赋值法．
例25.（辽宁卷理）设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有之和为（ ）
A． B． C． D．
考查知识：函数单调性，方程根的分布．
分析：利用单调性转化为求解．
例26.（湖南卷 理）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN*,定义,则当时，函数的值域是( )
A. B. C. D.
考查知识：自定义题型，组合数公式，函数值域．
切入点：由得时，；时，
6.不等式的证明的考查
例27.同例13．
例28. （福建卷 理）已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）记在区间（n∈N*）上的最小值为令．
（Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（Ⅳ）求证：
解法一：（I）因为，所以函数定义域为,
．
由得，的单调递增区间为；
由得，的单调递增区间为.
(II)因为在[0,n]上是减函数，所以，
则
(i)
> 又lim,
因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.
（II）由（i）知 因为[]2
所以＜(nN*),
则＜
N*）
解法二：（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以
则
（i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立.
则对n∈N*恒成立.
设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立.
考虑
因为＝0，
所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，
又因为＝1.
所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].
(ⅱ) 由(ⅰ)知
下面用数学归纳法证明不等式
①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.
②假设当n=k时,不等式成立.即
当n=k+1时，
即n＝k＋1时，不等式成立
综合①、②得，不等式成立.
所以
即.
考查知识：本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力．
五、复习建议
1．以纲为纲，以本为本，充分发挥教材的核心作用
高考试题源于课本，这是高考命题的一个基本原则．大多数同学在高考总复习时忽略课本，将教材扔到一边，每天围绕教材“埋头”做题．而许多高考题在课本都有原型．课本是标准，在求活、求新、求变的命题思想指导下，虽不考查单纯概念、也不会考查原题，但不少高考题就是课本原题的变形、改造、综合．故此要抓纲悟本，选择一些针对性较强的题目进行强化训练，使学生能很好地理解概念、掌握方法．如江西卷理科21题就是平时练习题的改编，在2008年九江综合测试卷上也曾两次出现类似题型。
2．强化三基
很多同学在平时复习中经常出现忽视基础，爱钻难题、怪题，好高鹜远，而一考试则分数偏低．究其根源是基础不过关，才出现审题不清以及会而不对、对而不全等情况．而三基的落实不能只停留在口头上，要体现在教学时选取的每个问题、每个练习、每次试卷及错题的分析上．
3.注重抽象函数知识点的总结与复习，掌握其求解策略
抽象函数题型新颖灵活，在每年高考题中经常出现．主要考点是：与抽象函数相关的值域、定义域、单调性、周期性、图象的对称性及与不等式、方程的根的分布等知识的综合．因此复习时要对其规律作好总结，才能综合运用相关函数知识，挖掘隐含条件，寻找解题的突破口．
4. 突出理性思维，培养创新意识
教学时，各种数学思想方法要落实到每一章节的复习中去，而不能为了讲方法而讲方法．只有通过长期的训练，才能真正的使学生形成良好的思维习惯．小题中章内综合、跨章节综合是江西高考题的一大特点，所以只有提高学生的能力和创新意识，才能应对高考中对能力的考察．
5．注重函数、导数与不等式、数列、解析几何等知识的综合，注重创新题的考查
函数、导数与不等式在高考中的比重较大，且试题具有一定的综合性，即体现为知识的综合，也体现为与数学思想的综合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想都有深入考查．因此在复习时应对函数、导数与不等式及相关的综合问题应以专题的形式复习．
6．重视思维训练，提高学生的思维能力
数学高考对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力．强调综合性、应用性，并切合学生实际，同时要与注重运算能力相结合．同时也要注意实践能力的培养，高考中经常出现相关应用问题的考查．另外，在讲通性通法的同时，也应注意解选择题、填空题的一些方法、技巧的运用及估算、简算等一些相关技巧．
总之，函数是高中数学的主线，函数、导数与不等式、数列等相关知识的综合又是高考中的热点之一，它们贯穿于各章，涉及面广，综合性强．因此复习时一定要梳理清相关知识，并加强训练，注重综合问题的类型，使学生对基本问题运用自如，对几种综合形式了然于心．
2008年高考数学试题专题分析(二)
──三角函数与平面向量
九江市同文中学 张园和
指导教师 林健航
一、知识结构与考纲要求
三角函数：（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简；（2）理解和掌握三角函数的图像及性质；（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形问题。
平面向量：（1）能灵活运用平面向量的数量积解决有关问题；（2）理解和掌握平面向量的几何运算、坐标运算；（3）理解和掌握平面向量的平行和垂直关系。
培养观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力和创新意识，这是该部分内容对学生的能力要求。
高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力。在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像及基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。
平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。但同时，平面向量的工具性不容忽视。以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合仍是我们值得注意的方向。
二、知识类型与特点分析
综观2008年全国各套高考数学试题，可以发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：
1. 三角函数的性质、图像及其变换，主要是的性质、图像及变换。考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中、低档题。这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点主要来源于教材。
2. 三角变换。主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.
3. 三角函数的应用。以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用。这类题一般以解答题的形式出现，属中档题。
4．平面向量的考查，一般以两种类型的题目出现：一是选择或填空题，直接考查向量基础知识；二是向量与几何、三角等其它知识结合的综合题，考查学生灵活运用向量知识解决综合问题的能力。难度不大，强调思维、逻辑推理能力和数学思想方法的考查。
5. 在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．
6. 在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点。
三、考情对照
2008年全国高考数学的18套试卷中，有关三角函数与平面向量的题目每套均有，具体分布如下（加阴影部分为平面向量）:
卷 型
题 序
分 值
考 查 知 识 点
理 科
文 科
理 科
文 科
全国卷一
3,8,17
3,8,9,17
20
25
向量的几何运算;三角函数的图像变换;三角函数的周期性与奇偶性;三角形中的三角函数问题
全国卷二
8,13,17,22
2,8,13,17
31
24
三角函数的最值;向量共线的条件与向量的坐标运算;三角形中的三角函数;三角函数的符号规律;三角与导数
北京卷
10,15
4,9,10,15
18
28
解三角形;三角函数的概念与倍角公式;向量的数量积;三角函数的化简与值域
天津卷
3,9,14,17
3,9,14
26
22
三角函数的奇偶性与周期性;三角函数的图像变换;向量的数量积;三角函数的求值与最值
安徽卷
3,5,17
1,3,5,17
22
27
三角函数的图像,性质,值域;解三角形;向量的坐标运算
江西卷
6,13,17
6,10,16,17
21
25
三角函数的图像;奇偶性与周期性;向量的数量积;向量的加减法;三角形中的三角函数问题;三角函数的求值与最值
湖北卷
1,5,12,16
1,5,12,16
27
27
向量的数量积;三角函数图像及其变换;解三角形;三角函数的化简,最值与值域
湖南卷
6,7，19
7,11,19
23
23
三角函数的化简与最值;向量的加减法运算;三角形中的三角函数;向量的数量积与模;三角函数的周期与求值
陕西卷
3,15,17
1,14,15,17
21
25
三角函数的求值;解三角形;向量的概念与运算;三角函数的周期性,奇偶性与最值
四川卷
3,5,10,17
3,5,7,17
27
27
三角函数的化简,最值;解三角形;三角不等式;三角函数的奇偶性;向量的坐标运算
重庆卷
7,17
4,12,17
18
23
定比分点坐标公式;三角函数的值域;三角形中的三角函数
浙江卷
5,8,9,13
2,5,13,15,17
19
22
三角函数的图像与周期;三角函数的求值;解三角形;向量的模
福建卷
9,10,17
9,10,17
22
22
三角函数的求值与值域;解三角形;平移;向量与三角
辽宁卷
5,16,17
5,16,17
21
21
向量的加减法运算与坐标运算;三角函数的最值;解三角形
江苏卷
1,5,13,15
1,5,13,15
30
30
三角函数的概念与求值;三角函的周期;解三角形;向量的数量积
山东卷
5,15,17
5,10,17
21
22
三角函数的图像,单调性与求值;向量与三角
广东卷
8,12,16
4,8,16
23
23
三角函数的周期性与奇偶性;三角函数的求值;向量的坐标运算
上海卷
5,6,18
5,18
23
19
三角函数的化简与最值;三角函数的图像与性质;向量的数量积与模
海南卷
1,7,8,13,
5,9,11,17
20
27
三角函数的值域与求值;解三角形;向量的数量积;向量共线与垂直的判断;
四、题型与重(难)点分析
（一）三角函数
三角函数是高中数学的重要内容之一，它具有概念性强、内涵丰富、变化灵活、应用广泛等显著特点，不但是联系代数与几何的纽带和桥梁，成为解决高中数学问题的有力工具，而且与其它学科以及高等数学密切相关，是考查学生运算能力、推理能力、应用能力和思维品质的良好载体。因此一直是高考命题的一个热点。
1、体现三角函数的本质，以三角函数的概念、图像和性质为载体，重点考查学生对三角函数的基础知识的掌握情况和运用三角公式对三角函数式进行恒等变形的能力。
这类问题大多以三角函数的概念、图像和性质为背景，融基本的数学思想和数学方法为一体而构建的，题目的难度不大，可供选择的解题方法也较多。由于使用不同的方法所花费的时间相差很大，因此，能否发现最佳的解题途径显得尤为重要。透过试题的表象，抓住问题的实质，灵活地运用三角函数的性质和三角函数的变形公式对问题进行等价转化是实现顺利解题的关键。
例1（四川卷第17题）求函数的最大值与最小值。
解：
由于函数在中的最大值为，最小值为，故当时取得最大值，当时取得最小值。
熟悉基本三角函数的图像和性质，掌握三角变形公式的灵活运用是实现解题的前提条件，而对三角函数式灵活地进行等价转化则是实现解题的关键所在。
2、以三角函数式的化简与求值为载体，以三角函数的恒等变形为核心，重点考查学生的逻辑推理能力与运算能力。
这类试题对三角公式的记忆要求并不高，运算量不大，但是有一定的灵活性与技巧性。解决此类问题必须有明确的目标意识，要善于从条件与目标的差异入手，以消除差异达到统一为目的。
例2（湖北卷第16题）已知函数
(Ⅰ)将函数化简成（，，）的形式；
(Ⅱ)求函数的值域.
本小题直接来源于课本习题，主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。
解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，又，（当），即，，故g(x)的值域为
要解决该问题，一要注意角的范围，二要注意分析已知条件与所求之间的差异，从而合理地运用三角恒等变形的方法消除差异。其中，目标意识与转化思想显得尤为重要，“盯住目标，分析差异，消除差异”就容易理清解题的思维方向，从而选择恰当的三角公式进行有目的的三角恒等变形。
3、以三角形为载体，将三角恒等变形公式与正弦定理和余弦定理整合，突出数学思想方法，考查学生思维的灵活性与深刻性。
三角形是研究三角函数的重要载体，在与三角形有关的问题中，正弦定理与余弦定理的应用已然成为高考命题的热点。解决这类问题，要善于抓住三角形中边与角之间的关系，学会将问题转化为三角恒等变形的问题来处理。
例3（江西卷第17题）在中，角所对应的边分别为，，，求及
解：由得
∴， ∴，∴。
又∴。
由得 , 即，∴
, 。
由正弦定理得:
4、在数列、不等式、平面向量、立体几何及解析几何等知识的交汇处命题，突出知识间的相互沟通与相互联系，考查学生综合应用知识的能力和理性思维的能力。
在知识的交汇点处命题是高考命题的常用手法，其目的是将不同的知识块在网络交汇点处融为一体，有利于考查学生综合应用所学知识的能力，求解这类问题的必须能抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分析、组合、加工，从而寻求出解题方案。在分析和解决问题的过程中，必须注意思维的层次性，学会将问题分层次展开，分层次解决。
例4. （福建卷第17题）已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求函数的值域.
　　解：（Ⅰ）由题意得。所以
由A为锐角得：
　　(Ⅱ)由（Ⅰ）知所以
　　因为，所以，因此，当时，f(x)有最大值.
　　当时，f(x)有最小值，所以所求函数f(x)的值域是。
本题的特色是将向量与三角函数式的变形以及一元二次函数等内容有机地结合在一起，
体现了数学知识间的联系性与交汇性。本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.
这类问题有利于考查学生综合应用所学知识分析问题、解决问题的能力，值得我们在复习中予以关注，引起重视。
5、以生产与生活实际中的具体问题为背景，突出三角函数知识的工具性，考查学生应用三角函数的知识分析和解决实际问题的意识和能力。
以三角函数知识为载体考查实际应用在近年来的高考中屡见不鲜。解决这类问题的关键是从实际问题的具体情境中，抽象出数学本质，将其转化为数学问题。
例5. （湖南卷第19题）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）。
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为。
又点到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==。
从而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
这道题难度不大，但却充分体现了三角函数知识的广泛应用性，向我们显示了越来越重视三角函数的工具作用。解决这样的实际问题，在掌握了基本的数学知识和方法的前提下，还需要过好三关：一是事理关，即能从冗长的叙述图表信息中理清思路，读懂题意；二是文理关，即将文字语言翻译为数学符号语言，抽象出问题的数学本质；三是数理关，由实际问题向数学问题转化，建立起问题的数学模型。
(二)平面向量
平面向量是高中数学的重要组成部分.向量具有几何、代数等多种形式，渗透于高中数学的各个领域中，构成中学数学知识的一个交汇。同时它在物理及其他自然科学领域里有着广泛的应用，成为联系多门学科的媒介，具有较强的工具性。因此，平面向量是高考数学的必考重点内容之一。
平面向量的考查，一般以两种类型的题目出现：一是选择或填空题，直接考查向量基础知识；二是向量与几何、三角等其它知识结合的综合题，考查学生灵活运用向量知识解决综合问题的能力。难度不大，强调思维、逻辑推理能力和数学思想方法的考查。
1. 与向量有关的选择或填空题的特点是重在考查向量的基础知识、基本运算性质以及逻辑推理、准确计算、思维判断能力。具体包括：
考查向量基本概念、基本运算性质，设计直接进行计算、真假判断及充分必要条件判定的命题；
例1（海南卷8）平面向量，共线的充要条件是（ D ）
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数，，
考查向量的四种基本运算及其三种（几何、基底、坐标）不同形式，设计图形判定或者直接计算等问题的命题；
例2 （辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ A ）
A． B． C． D．
考查向量的基本关系（共线、垂直、夹角）或给定特殊关系，设计判定相关向量间的关系或者已知其关系确定参数的值或范围的命题；
例3 （上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则．
考查平面向量基本定理，设计用基底向量表示某个向量或确定待定向量（基底表示式）中系数间应满足的关系的命题；
例4（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）
A． B． C． D．
考查定比分点公式,设计比值、向量的起点，分点，终点坐标这四个“基本量”中，知三求一或比值范围问题；
例5（重庆卷7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为A
(A)－ (B) － (C) (D)
考查平移公式，设计图形平移前、后的方程、平移向量，这三个基本量中“知二求一”的命题；
例6（辽宁卷8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）
A． B． C． D．
2. 与向量有关的解答题的考查特点是突出主干知识、思维模式、思维层次、思维容量；立足基础、强调运用、区分层次、利于选拔。要求考生具有较强的推理能力、运算能力、创新能力。重点考查向量的核心内容；三种（几何、基底、坐标）表示形式，四种（加、减、数乘、数量积）基本运算，三个基本关系（共线、垂直、夹角）的灵活应用。往往以向量为背景或载体，诱导出函数、三角等综合问题，突出了向量的媒介作用；常常在其它知识为主体的综合题中，直接给出含有向量知识的条件、或是解题过程中，需要使用向量的思想和方法，体现了向量渗透作用和工具性。例如：
以向量为载体，通过向量的四种基本运算，设计考查三角函数的性质或解三角形的综合题。
例7. (福建卷第17题) 已知向量m=(sinA, cosA), n=，m·n＝1，且A为锐角。
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求函数的值域。
突出向量的坐标形式,把向量渗透于解析几何问题中,设计考查解析几何知识的综合题。
例8.（四川卷21）．设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。
解：由与，得
，的方程为
设，则
由得： ①
（Ⅰ）由，得
② ③
由①、②、③三式，消去，并求得，故
（Ⅱ）
当且仅当或时，取最小值
此时，
故与共线。
此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用。要求考生熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。
五、关于09年高考备考
就我省情况来看, 09年高考中关于三角、向量命题方向仍将是：
(1) 三角函数、平面向量有关知识的运算；
(2) 三角函数的图像变换；
(3) 向量与三角的综合运用及解三角形。
(4) 与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。
小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题会有所涉及，压轴题可能性很小。
虽然高考中的三角函数问题题型丰富，方法灵活，综合性强，但考题的难度都控制在中档题的位置上，重在考查学生对基础知识、基本方法和常用数学思想的应用能力。所以在复习备考的过程中，一要突出基础知识的复习。要立足课本、抓好基础.高考的重点是对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查。所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度；二要不断加强通性通法的训练；三要重视三角函数知识与其它数学知识的联系；四要注意等价转化等数学思想方法的渗透；五要关注三角函数知识的实际应用。这样，我们就能在高考中以不变应万变，取得好成绩。
至于平面向量, 在复习过程中，要抓住“源于课本，高于课本”的指导方针。本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
2008年高考数学试题专题分析(五)
--------概率
九江外国语学校 钱 华
指导教师 林健航
一、江西试题原题及全国高考大纲解读
第11题：电子钟一天显示的时间是00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率 ( )
A. B. C. D.
第18题: 某柑橘基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑橘产量为上一年产量的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别0.5、0.5.若实施方案二,预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案,第二年与第一年相互独立.令表示方案实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.
(1)写出、的分布列;
(2)实施哪种方案,两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大?
(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑橘达不到灾前产量,预计可带来效益10万元;两年后柑橘产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益15万元；柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施那种方案所带来的平均效益更大？
考纲：
1.高考对本章知识的要求
【考试内容】
理科
文科
随机事件的概率；
等可能时间的概率；
互斥事件有一个发生的概率；
相互独立事件同时发生的概率；
独立重复试验；
离散型随机变量的分布列；
离散型随机变量的期望值和方差；
抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归；
随机事件的概率；
等可能事件的概率；
互斥事件有一个发生的概率；
相互独立事件同时发生的概率；
独立重复试验；
抽样方法；
总体分布的估计；
总体期望值和方差的估计；
【考试要求】
理科
文科
了解随机事件的发生存在的规律性和随机事件概率的意义；
了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；
了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
了解离散型随机变量的期望值、方差；
会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；
会用样本频率分布去估计总体分布；
了解正态分布的意义及主要性质；
了解线性回归的方法和简单应用.
1. 了解随机事件的发生存在的规律性和随机事件概率的意义；
2. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
3. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
4. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；
5. 了解随机抽样，了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样；
6. 会用样本频率分布估计总体分布；
7. 会用样本估计总体期望值和方差.

2.大纲解读
和去年相比，2009年高考大纲在本节无什么变化，试题难度要求可能与往年相当，即“总体难度适当”.考生应仔细研究题型示例，以便更好地理解考试要求和命题结构，把握后面复习的方向和细节.
高中内容中的概率与统计，是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点.在解答题中，文科为概率计算，理科多是分布列，数学期望.在选择填空题中，抽样方法是热点（尤其对于文科试题）.
在概率与统计这节中文理科差异比较大.
二、试题特点分析（1-5为江西试题特点，6-7为外地试题特点）
（1）第11题与07年的第9题为相同题型——等可能事件的概率.
（2）第18题与07年的第19题的题型相似，立足基础、信守两纲、调整结构、稳重求变。
同时体现常规、适度创新，突出实际应用能力.
（3） 18题的文字较多，信息量大，一般学生在阅读此题时可能要花较多的时间，从而制
约了此题的得分率.
（4）较全面的考察概率的基础知识——分布列、两个典型的概率以及数学期望.
（5）概率的大题，在07年为第19题，08年为第18题，说明概率在高考题中为中档题，
学生较容易得分，在训练中应抓住基础，突出重点，不搞偏题怪题.
（6）全国其他各地对概率的命题在选择与填空题中除安徽、湖南、重庆考查了正态分布，
天津、湖南考查了抽样分析，山东、上海考查了方差外，余下的各地都是考查了等可能性事
件的概率.
（7）全国各地在概率的大题上的命题难点、理科仍是分布列问题以及概率与方程不等式的
简单综合问题，文科还是考查了两个重要概率与实际生活知识的综合，命题没有大的变动.
三、试题中的题型分布及分值比例
题序
分值
考查的题型及知识点
2008年江西
11
5
选择题，考查等可能事件的概率
2008年山东
7
5
2008年福建
5
5
2008年辽宁
7
5
2008年上海
7
5
2008年江苏
2
4
填空题，考查等可能事件的概率
2008年江苏
6
5
选择题，考查等可能事件的概率
2008年湖南
15
5
选择题，考查等可能事件的概率
2008年安徽
10
5
选择题，考查正态分布
选择题、正态分布
2008年湖南
4
5
2008年重庆
7
5
2008年江西
18
12
解答题，考查离散型随机变量的分布列、期望
互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率
2007年江西
19
12
陕西3、重庆5、湖北14、天津11
填空题，考查抽样分析，
四、试题的知识结构分析
江西试题中文、理科考查了等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率.理科还考查了“分布列” 、“期望”等.在本题中，互斥事件与相互独立事件在一题中出现要求学生能清楚的区分出来，期望是以应用型出现的，表现了对知识的应用性和对分布列为常规性的考查.外地的试题中，出现正态分布、抽样分析、方差等知识的考查，从试题整体上看，选择填空只考查单一的知识点较多，少有综合，突出基础，从第三表格中反映出：等可能性事件的概率考查的概率大，其次为抽样，再次为正态分布等.大题为中档题，考查知识每年每卷基本相同.
五、试题的重点分析
试题中文理科重点考察三个重要的概率——“互斥” 、“相互独立”和“等可能”.
高考对概率与统计部分的考查难度不变，以中档题或中档偏易题为主，为学生较易得分题.期望考查解决实际问题的能力、概率、分布列、期望，考查从实际生活中的摸球、掷骰子、扑克牌、体育活动射击及从生活中建立抽象的数学模型的能力，体现了课本知识与实际问题的结合.全国各地的试题中，基本上以概率题取代了以往的应用题。
解题时要求学生分清概率的模型，分析事件的特征，理解计算某事件的概率，当“互斥事件”“相互独立事件”在同一题中出现时，更要求学生概念清晰、思维缜密，方可百战百胜.江西理科的第18题第3问则是现代企业的市场调查、风险投资问题，其实就是期望问题，这种题型在各地的考题中也不同程度的体现出来.
六、试题的难点分析
概率大题的文字多，信息量大，特别是08年江西试题，中档学生理解此题需花较多的时间，而且过程较琐碎，要读懂这些字后再建立相应概率模型，思维又要周全，要做到实属不易.在计算中还易代错数据，从而导致整体错误.
七、概率的新颖试题分析
近几年江西省对概率命题难度要求不高，题型单一，没有与数列、几何、不等式、向量及函数等知识的综合，若要加大概率题的难度，以上综合或许是一种命题改革的方向，在全国各省考题中有出现的迹象，例如，全国卷Ⅱ理科18题和广东卷17题就是与不等式综合的一道概率题.
例题：（广东卷17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件品的利润（单位：万元）为.
（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高70％.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多为多少？
（全国二18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年内，出险则可以获得1万元赔偿金，假定在1年内有1万人购买了这种保险，且每个投保人是否出险相互独立，已知保险公司在1年内至少支付赔偿金1万元概率为.
（1）求一投保人在1年内出险的概率P；
（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为5万元，为保证赢利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费.
八、2009年高考备考及教学建议
（1）借助课本，构建主干知识网络
突出知识结构，区分知识的异同点。数学知识结构的形成和发展，是一个知识积累、梳理的过程。如果说新授课是抓知识点的落实，那么复习课的重点就是注重各部分知识在各自发展过程中的纵横关系，理清脉络，抓住起支撑作用的主干，构建知识网络。以课本知识为出发点，重视教材的基础作用，紧扣课本上的概念，深刻理解当中的内涵，熟练掌握它在实际生活中的应用。
（2）借助典型习题，落实基础，提高能力
高考对概率与统计部分的难度要求不高，所以更加突出基础，要求学生对基本概念要清晰，对于一些基本题型要熟练。变通一些重要的数学例题和习题，落实基础，训练技能，提高综合能力。
（3）关注社会的热点，重视实际问题的背景
设置情境，考查学生运用概率统计解决实际问题的能力，是高考对本章知识的重点考查。从近三年的全国各地的高考题可以看出，高考题的立意新，并与社会的热点问题联系较多，所以要重视数学在生产、生活及科学中的应用，要重视学生创新意识和实践能力的培养。
2008年高考数学试题专题分析（六）
-----解析几何
九江市金安中学 宋俊浩
指导教师 林健航
《解析几何》是一门用代数方法来研究图形的几何性质的学科，体现了数形结合的重要数学思想。近年来“解析几何”一直是数学高考的主体内容，直线、圆与圆锥曲线的命题格局基本稳定，至少为"一小、一大"，20分左右，即一道选择或填空题，外加一道解答题，那么这部分能否得高分对数学成绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响.
一、知识结构和考纲要求
本部分内容分为三大部分：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线。教材是从直线的倾斜角和斜率入手，以坐标法为基本方法，系统地研究了直线的各种方程和位置关系，为圆和圆锥曲线的学习做好了基本的知识准备。在“直线”这一章，考纲要求如下：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方　　　　　程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．　　（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．　　（3）了解二元一次不等式表示平面区域．　　（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．　　（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． 在“曲线和方程”这一节中，要理解动点轨迹方程这一概念，并熟练掌握几种常见的动点轨迹方程的求法：直接法、定义法、转移法、参数法。尽管考纲未对这部分内容作明确的要求，但是从近两年来的考题来看，轨迹方程的求法还是比较常见的，2008年江西卷理科第21题（1）就是运用“转移法”求重心G的曲线方程。不过，个人认为该题结果应该有条件限制（），参考答案中未有限制条件不知是为何？动点轨迹方程求完之后一般是要考虑动点是否有客观条件限制。
“圆”这部分内容除了要掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程这些考纲要求的东西，还要掌握有关圆的一些性质定理，了解直线和圆、圆和圆的位置关系；掌握圆的切线方程和弦长的求法。
“圆锥曲线”是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，也是高考命题的热点之一。课本中首先通过实例说明研究圆锥曲线的意义，接着以曲线与方程的基础理论为指导，系统地研究了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何意义，并通过例题，用焦点、准线和离心率间的关系，给出圆锥曲线的统一定义，揭示了这三种曲线的内在联系与区别，体现了从“量变到质变”的辩证规律。这部分内容考纲要求如下：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．　　（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．　　（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．　　（4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、试题结构及重难点分析
现今，各地高考试题结构主要集中在六个专题：1、函数、导数、不等式；2平面向量与三角函数；3、数列；4、概率；5、立体几何；6、解析几何。2007年和2008年江西卷各专题分值分布情况见表-1和表-2。
从表中不难看出，“解析几何”是高考的一个重点内容，其所占的比值一般在14%以上，两年来江西文科卷一直把“解析几何”作为压轴题，理科卷则作中高档难度要求，并且文科所占的分值略比理科要高。从其他各地考卷来看也几乎如此，可见该部分内容对考生的影响非同一般。
“解析几何”考查的题型一般都是“两小一大”即“两道选择题和一道解答题”或“一道选择题、一道填空题和一道解答题”。考察的内容基本上以圆锥曲线为主，其次是圆，单独考查直线的可能性很小，特别是解答题，几乎都是以圆锥曲线为载体，综合考查向量、三角、距离、面积、对称、不等式应用等。2008年高考试卷中，只有江苏卷在解答题中纯粹考查圆的有关知识，其他各地和全国卷无一不是考查圆锥曲线的相关知识。2008年江西卷解析几何部分试题分布及考查的知识点见表-3。
表-1
表-2
表-3
选择题
填空题
解答题
文理相同，第7题
理科15题
文科14题
理科21题
文科22题
2008年江西卷
椭圆的离心率求法。
直线和抛物线的位置关系
双曲线渐近线及点到直线距离
轨迹方程的求法及三点共线的证明
三点共线的证明及圆和抛物线的位置关系
纵观近几年的高考题可以看出对“圆锥曲线”的考查一般分为2至3个层次：一是以考查基本概念、基本性质为主的客观题，属容易题，一般是选择题或填空题；二是以综合考查轨迹问题、直线与圆锥曲线位置关系为主的中档题，多以大题形式出现；三是综合应用平面向量、三角函数、不等式、导数、数列等知识的中高档题。作为中高档题的要求其难点主要有两个：一是综合性强，二是计算难度大。该类题型一方面要考查考生的知识综合能力，另一方面还要考查学生的意志品质和心理素质。因此，在高考复习时，这两方面的训练都要到位，否则临考时不是因为综合性太强而无从下手，就是因计算难度太大无法完成。
三、高考试题的特点分析
近两年来，“解析几何”试题具有以下总的特点：
1、突出基础知识与基本技能的考查。即源于基础，又高于基础；稳中有变，但变中又有“定”。“圆锥曲线”最常见的考点就是考查直线和圆锥曲线的位置关系。这类考题基本做法就是联立直线和曲线方程，运用根与系数的关系和判别式，解决交点、中点、对称、弦长、面积、向量数量积等相关问题。在2008年高考题中，大多数“圆锥曲线”考题都是是这种类型。全国一、二卷、湖北卷就是联立直线和曲线方程，利用韦达定理计算弦长和面积；北京、湖南、天津卷运用达定理和两直线的垂直关系解决由弦的垂直平分线涉及的弦长、面积计算；福建、辽宁、陕西卷根据向量的数量积，运用根与系数的关系列式计算。应该说这类题型都是源于课本直线和圆锥曲线位置关系的习题，但是又高于课本，计算量大，有些问题带有隐蔽性，需要适当转化才能化归为课本习题。
北京卷19题：已知菱形的顶点A、C在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
分析：该题第一问需要根据菱形的性质把问题转化为弦AC的垂直平分线是BD，根据垂直对称的特点转化为常规习题，问题就不难解决了。第二问则需把把面积转化为求弦AC的长度，利用弦长公式就可列出菱形面积表达式，求出最大值。
福建卷21：如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.
分析：该题需要把转化为，然后根据根与系数关系列式计算。若是直接用两点间距离公式计算则计算量会很大。计算量大是解圆锥曲线题的一大特点，若是能改进一些计算方法和参数方程的设法则可以大大简化计算量。
像北京卷19题：弦长公式
可以简化为（其中是二次方程的系数，是判别式），这样就可以免去繁琐的根与系数关系的运算。
像福建卷21题：直线AB的方程可以设为，免得讨论直线AB的斜率存在
和不存在两种情况，计算量也会有所降低。当然方程也有不足的地方，不能表示与轴平行的直线，在运用该直线方程解题时要引起注意。
例：已知AB是抛物线的焦点弦，且|AB|=,O是抛物线的顶点，求三角形AOB的面积。
分析：方法1：设AB方程为，联立抛物线方程得：，
由，求得，O到AB的距离，
所以。
方法2：若设AB方程为，联立抛物线方程得：，
，由，求出，
O到AB的距离，所以，再考虑AB与轴平行的情况也满足。相比之下方法1运算量小的多，且无需讨论，值得推荐。
2、体现出“活题”的命题原则。什么叫做“活”？改变基础知识的编排顺序与配合方式，使题目以全新的面孔出现，这就叫做“活”。
像江西卷理科21题：设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.
（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求 的重心所在曲线方程.
（2）求证：三点共线。
分析：该题初看与切线有关的轨迹方程，不少考生想先求出切点A的坐标（用参数表示），然后求出N点坐标，再利用重心坐标公式求出G的参数方程，最后消去参数化为普通方程。可实际操作起来非常困难，计算量太大。其实该题第一问是以切线掩人耳目的，仔细分析，不难发现，抛物线上除了右顶点的切线不能与直线相交，其他任何一点的切线都会和直线相交，因此G的轨迹方程完全可以用转移法求得，设，求得，所以 解得
由 可得，化简得：
但是当A(1,0)时，求得，很显然该点是不符合题意的，所以重心G的轨迹方程为：。而这一点在参考答案中未加以说明，不知为何？现在看来，我们称为常规的题也可以是非常规的形式出现，体现出“活” 的命题原则，这也将是我们今后的命题趋势。我们应对的策略就是：全面激活、组成系统，在相关问题情境中作出自然、准确、迅速的检索与选择，使问题迎刃而解。
3、反映“在知识交汇处命题”的理念。这种“交汇”现已突破“解析几何”的圈子，而在更加广阔的天地里驰骋。所以我们应该以整个中学数学知识为背景，全方位地复习、巩固“双基”，不能有丝毫的侥幸心理。从2008年各地高考试卷来看，“圆锥曲线”的命题综合了向量（福建、辽宁、陕西）、三角（重庆）、数列（全国一、山东）、导数（广东、山东、陕西、江西）、不等式（四川、全国二、辽宁、湖北、北京）等多方面的知识。其中向量、三角、不等式、数列与圆锥曲线的综合在历年的高考试卷中也比较常见，导数在圆锥曲线中应用是2008年高考试题中的一个新的亮点。
像江西卷理科21题（2）利用导数很容易求出切线PA、PB的方程，，∵为PA、PB的交点，∴，∴AB方程为：，显然满足直线AB的方程，∴A、B、M三点共线。
实际上，二次曲线上任意一点的切线方程可有以变换下公式得出：，，，。
山东卷22题：如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：（Ⅰ）设，则切线MA、MB的方程为：，∵为MA、MB的交点，∴，
∴，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列。
（Ⅱ）AB方程为：，联立，得，
∴=，
所以抛物线方程为：或
之前，导数与函数的结合比较多，利用导数讨论函数的单调性。实际上导数的几何意义可以帮助我们求切线的斜率，大大简化用判别式来求斜率。江西卷的参考答案中没有用导数求切线方程，而是用判别式来求，运算量非常大，很难在规定的时间内完成。因此我们在2009年的备考中应加强这方面的训练，提高解题速度。
4、重视数学思想的考查。数学思想，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等，是数学的灵魂，是解答数学题的最高准则，是我们解题行为的总的指导方针。像江西卷理科、山东卷理科求过两切点直线AB的方程时，就是利用方程的思想，由两切线方程组直接得出过切点的直线方程，若不是用这种方法，很难求出过切点的直线方程。
“数形结合”是非常重要的数学思想方法，该方法运用得当，可以非常巧妙地解出用常规方法很难解的题，在高考试卷中不管大题还是小题都不乏该思想方法的应用。
像山东卷22题（Ⅲ）：由，可知C为OBC中线ON的延长线，且ON=NC，若C关于直线AB的对称点D在抛物线上，则有OD∥AB，且OD⊥CD，联立OD和抛物线方程，求得，因为，所以CD∥y轴，因此，只有当AB∥x轴时，才能满足条件，所以存在适合题意。
5、既重思维，又重计算。在“解析几何”中这个特点显得更加明朗与耀眼。思维固然重要，但是繁杂、冗长、令人“厌恶”的推演、计算、变换过程是绝对少不了的。在当今的考试中，有一条新的原则，那就是“考查学生的个性品质”，所以我们说“智商加情商，能力插翅膀”，必须努力克服既轻视计算，而又容易出错的“眼高手低”的毛病。
四、09高考命题趋势分析及备考建议
由以上特点，我们认为在未来的高考中，“解析几何”试题将有以下命题趋势：
1、单一型的题目将被更多的综合型题目所取代.即使是选择或填空题，每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多个；在单元复习时注重各个单元知识“交汇点”的梳理，形成知识网络，便于在大脑中迅速、准确的提取。
2、直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线)的研究与讨论仍然是重中之重，求曲线方程、弦长、夹角、面积、最值；证明某种关系、证明定值；求轨迹、求参数的取值范围；探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的题型。因此，在复习备考时，还是要加强常规题解法训练，注重通法通则的应用，像上述提到的问题应做到轻车熟路，快速求得答案。对于繁琐的计算应在平时的训练当中注意不断小结，在什么地方经常容易算错？有什么方法可以改进？如何选择适当的参数方程会方便计算？只有平时做好了充分的准备才会在临考时沉着应对。
3、与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会披着“向量”的“外衣”。在复习“向量”单元时，应强调向量的几何意义。有时候用几何意义解题，会比用代数方法来的巧妙，可以避免大量繁琐的计算。
4、三角函数的知识一直是解决“解析几何”问题的好“帮手”，平时要善于总结在圆锥曲线中常见的三角关系。例如，椭圆和双曲线上的点与两个焦点构成的三角形面积有以下关系：椭圆内，双曲线内，其中为的大小。运用这种关系在解2008年重庆卷理科21题（2）时会方便很多。
重庆卷理科21题：如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若,求点P的坐标.
分析：设， ，
∴，又∵，∴P点坐标为
5、由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”。在平时的教学中应加强导数在“圆锥曲线”中的应用。函数、方程与不等式与“解析几何”问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”。对情境陌生、背景新颖的原创型试题一方面要有充分的思想准备，但也不必有恐惧心理，相信再新、再“难”的题，它仍扎根于基础。
2008年高考数学试题专题分析(四)
------立体几何
九江市三中 聂己未 徐中兵
指导教师 林健航
一、高考试题特点
高考试卷中，立体几何把考查的立足点放在空间图形上，突出对空间概念和空间想象能力的考查。立体几何的基础是对点、线、面的位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体。高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、两个平面的位置的关系以及空间角、距离、面积、体积的计算的考查，以便检测考生立体几何的知识水平和能力。
二、高考试题中题型分布及分值比例
以下是08考题、考点、分值分布统计表
卷型
题 序
分 值
考查的题型及知识点
全国Ⅰ
11、16、18
5+5+12=22
棱柱的性质、线线角、线面角、二面角、垂直的证明
全国Ⅱ
10、12、16、19
5+5+4+12=26
线线角、球的性质、四棱柱与平行六面体的性质、线面关系、面面关系、二面角
北京卷
8、16
5+14=19
空间想象能力和函数图象、垂直关系、二面角、点到面的距离
天津卷
4、12、19
5+4+12=21
面面关系、球的性质、线面垂直、异面直线所成的角、二面角
湖北卷
3、18
5+12=17
球的性质、直棱柱、线面角、二面角、线面关系
湖南卷
5、9、17
5+5+12=22
线线、线面、面面的位置关系、球面距离、面面垂直的证明、二面角
浙江卷
10、14、18
5+4+14=23
空间想象能力、球的性质、线面平行、二面角
江西卷
10、16、20
5+4+12=21
空间想象能力、线面垂直、二面角
辽宁卷
11、14、19
5+4+12=21
空间想象能力、球的性质、线面关系、面面关系、解三角形
福建卷
6、15、18
5+4+12=21
线面角、球的性质、线面关系、线线角、点到面的距离
四川卷
8、9、15、19
5+5+4+12=26
球的性质、空间想象能力及最小角定理、四棱柱的性质、四点共面、二面角
安徽卷
4、16、18
5+4+12=21
线线、线面、面面的位置关系、球面距离、线线角、点到面的距离
陕西卷
9、14、19
5+4+12=21
线面角、线面垂直性质、球面距离、面面垂直、二面角
广东卷
5、15、20
5+5+14=23
三视图、平面几何、线面角、线线垂直
山东卷
6、20
5+12=17
三视图、线线垂直、线面垂直、二面角
宁夏/海南
12、15、18、22
5+5+12+10=32
三视图、球的性质、线线角、线面角、平面几何
重庆卷
9、13
5+13=18
球的性质、折叠问题
上海卷
13、16
4+12=16
线面垂直、线面角
三、本专题高考试题结构分析
从上表可以看出：立体几何均分在21分左右，高考的命题坚持以稳定大局，控制难度，贯彻“说明”要求，同时在创新方面做了一些有益的尝试。
命题的稳定主要表现在：考查的重点及难点稳定，高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定，线、面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，年年反复进行考查，在难度上也始终是以中等偏难为主。
在改革创新方面表现在：
全国Ⅱ16题，平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）答案不唯一，使试题更具有开放性和探索性；
北京卷第8题，如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ B ）

把立体几何的空间想象能力和函数图象有机的结合，是数形完美的结合；
江西卷16题是多选题，如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： B,D （写出所有真命题的代号）．
将立体几何与生活实际结合，让学生学以致用；
江西卷的第20题，如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱
OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，
E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，
过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1=.
(1)证明：B1C1平面OAH；(2)求二面角O-A1B1-C1的大小.
只要学生把图倒置，问题就很容易求解，考查到了学生掌握知识的灵活性。
综合性、开放性立体几何题成为命题者的试验田，这些改革尝试的目的在于激发学生独立思考，从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意识。
四、本专题的热点
透析高考试题，可以看出本专题的热点为：
直线和平面平行、垂直的判定与性质；
两个平面垂直的判定与性质；
异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角；
考查求空间距离及求距离时的等面积（或等体积）转化的思想方法；
利用空间向量来证明平行和垂直关系（包括线线垂直、平行；线面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空间向量解决求空间角及空间距离问题；
棱柱、棱锥、球的概念和性质，棱柱、棱锥的复现率较高，在迎考中应继续关注；
寻找截面形状，多面体的外接球、内切球，计数问题，折叠问题渐成新热点；
从与新课标的关系看，08年高考命题不同程度体现了三视图的思想方法，如山东卷第6题、广东卷第5题、海南卷第12题等等。
五、09高考复习建议
1、回归课本，抓好基础落实
系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题，这是高考复习必须做好的第一步,高考题“源于课本,高于课本”，这是一条不变的真理，所以复习时万万不能远离课本，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展。
2、注重规范，力求颗粒归仓
网上阅卷对考生的答题规范提出更高要求，填空题要求：数值准确、形式规范、表达式(数)最简；解答题要求：语言精练、字迹工整、完整规范。
考生答题时常见问题：如立几论证中的“跳步”，缺少必要文字说明，忽视分类讨论，或讨论遗漏或重复等等。这些都是学生的“弱点”，自然也是考试时的“失分点”，平时复习中，我们应该引起足够的重视。
3、加强计算，提高运算能力
“差之毫厘，缪以千里”，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在问题解答过程中时有发生，因此平时教学过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念。
4、整体把握，培养综合能力
对于综合能力的培养，我们坚持整体着眼，局部入手，重点突破，逐步深化原则；适度关注创新题。高考数学考查学生的能力，势必设计一定的创新题，以增加试题的区分度，平时复习应注重数学建模、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力的培养。

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