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统计基础
Starting from the importance of statistics, this chapter studies the meaning of statistics, several stages of statistical work process, and has a more intuitive understanding of where statistical data come from;
数值平均数| 位置平均数| 标准差| 变异系数
总目录
1
2
3
统计概述
统计调查
统计整理
4
总量指标与相对指标
5
平均指标与变异指标
6
7
8
抽样推断
相关分析与回归分析
时间数列
9
指数分析
平均指标及变异指标
Statistical basis
第5章
Learn the meaning of statistics, several stages of statistical work process, and have a more intuitive understanding of where statistical data come from;
5
第一节 平均指标的概念及作用
第二节 算术平均数和调和平均数
第三节 中位数和众数
第四节 变异指标
能正确熟练运用平均指标方法进行分析
能正确熟练运用变异指标方法进行分析
能从集中和离中趋势两个方面认识统计数据所反应的特征与规律，进而把握事物的本质和规律性。
能力（技能）目标
目标要求
掌握几种平均数的特点；
掌握几种平均数的应用范围及计算方法；
掌握变异指标的概念；
掌握变异指标的特点及计算方法。
知识目标
第一节 平均指标的概念及作用
是总体内各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平值或代表水平的指标。
平均指标
第一节 平均指标的概念及作用
一、平均指标的概念
采用平均数可以使同质总体中的各个总体单位某一数量标志值之间的差异程度互相抵消，反映社会经济现象的一般水平。
第一节 平均指标的概念及作用
二、平均指标的作用
1
概括地说明总体数量集中趋势或一般水平
2
是制定定额计划的重要依据，也可反应生产水平、工作质量等的高低
3
反映现象数量内在规律性
4
分析现象之间的依存关系
5
用来估计推算其他有关的指标
第一节 平均指标的概念及作用
三、平均指标的种类
平均指标
位置平均数
算术平均数、调和平均数、
几何平均数
众数、中位数
数值平均数
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
(一)算术平均数的基本形式
概念
基本公式
算术平均数是同一总体内的标志总量除以总体单位总量。
算术平均数=
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
1.只有数量标志才有标志总量，才能计算平均数
2.基本公式中的分子和分母，必须是同一总体的两个总量指标；
3.平均数与强度相对数在实质上是不同的。平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的对比关系。它要求标志总量和单位总量相适应。
运用该公式应注意的问题
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
(二)简单算术平均数
概念
公式形式
指各个标志值加总得到标志总量，然后除以总体单位总量，是计算未分组资料算术平均数的方法。
例：某生产小组5名工人，其日产量分别为20、22、24、28、30件，则：平均每人日产量为
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
（三）加权算术平均数
概念
公式形式
加权算术平均法是用来计算分组资料的算术平均数的方法。
ⅱ）权重以相对数表示
ⅰ）权重以绝对数表示
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
（三）加权算术平均数
按日产量分组 工人数
20 21 22 23 24 5
12
18
9
6
合计 50
例：
第二节 数值平均数的计算方法
一、算术平均数
（三）加权算术平均数
例：
日产量（件） 工人数（人） 各组工人数所占的比重（%）
80以下 80~90 90~100 100以上 240 600 1200 960 8.0
20.0
40.0
32.0
合计 3000 100.0
第二节 数值平均数的计算方法
二、调和平均数
（一）简单调和平均数
1．调和平均数的含义
2.调和平均数公式形式
调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数。所以又叫倒数平均数
1）简单调和平均数公式
在实际统计工作中，有时由于所取得的资料无法直接用算术平均数计算，需要用调和平均数的形式间接计算出算术平均数。
第二节 数值平均数的计算方法
二、调和平均数
（一）简单调和平均数
例：有某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场的价格分别为1.00元/千克、0.90元/千克、0.90元/千克。如果在这三个农贸市场各买1元钱的水果，那么平均每千克水果的价格应为多少？
第二节 数值平均数的计算方法
二、调和平均数
（二）加权调和平均数
m为权数
加权算术平均数
市场 价格（元/千克） 销售额（元）
甲 乙 丙 1.00 0.90 0.80 1000
2500
2000
合计 —— 5500
公式形式
例：某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场上的价格及销售情况如表：
平均价格
第二节 数值平均数的计算方法
三、 几何平均数
1．概念
几何平均数是计算平均比率和平均发展速度比较适宜的方法。它是将构成总体的各个变量值连乘积后开该变量值的个数次方而得出的。
2．几何平均数的计算
(1)简单几何平均数
1994-1998年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。
第二节 数值平均数的计算方法
三、 几何平均数
(2)加权几何平均数
如果掌握的是分组资料，则必须采用加权几何平均数计算方法计算。计算公式为：
某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。
第三节 位置平均数的计算
位置平均数是另一种形式的平均指标，它们不是根据总体的全部标志值或变量值计算的，而是根据其在总体中所处的位置确定的。因此，称为位置平均数。
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
概念
中位数是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值为中位数一般用字母Me表示。
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
（一）未分组资料确定中位数
首先将标志值按大小顺序排列
确定中位数位置：（n+1）/2 项数为奇数:居于中间的单位的标志值
项数为偶数:中位数为居于中间的那两个单位标志值的平均值
未分组资料情况下的计算
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
（一）未分组资料确定中位数
随堂训练
某班7个学生的数学成绩依次排列为65分，75分，78分，82分，89分，91分，95分，则该数列的中点位次为：
Om=（7+1）÷2=4
所以，排在第4位的标志值即为中位数，即82分。
若有8位学生的成绩，他们依次为65分，68分，75分，78分，82分，89分，91分，95分，则该数列的中点位次为：
Om=（8+1）÷2=4.5
4.5在第4和第5位次中间，则中位数为第4、第5位次对应的标志值的算术平均数。
即Me=（78+82）÷2=80分。
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
（二）单项式分组资料确定中位数
用公式 +1 确定中位数的位次
单项式分组资料
再根据位次用较小累计次数或较大累计次数的方法将次累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组，该组的标志值即为中位数
按日产零件分组（件） 工人数（人） 向上累计次数
26 31 32 34 36 41 3 10 14 27 18 8 3
13
27
54
72
80
合计 80
中位数位置=80+1/2=40.5
中位数值=34
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
（三）组距分组资料确定中位数
用公式 +1 确定中位数的位次
组距分组资料
下限公式:
式中，L表示中位数组的下限；
U表示中位数组的上限；
fm表示中位数组的次数；
Sm-1 表示中位数组以前各组的次数之和；
Sm+1表示中位数组以后各组的次数之和；
d表示中位数组的组距。
例如：某校管理专业学生统计成绩如下，求中位数
中位数位次
中位数所在组：70～80这一组
第三节 位置平均数的计算
一、中位数
（三）组距分组资料确定中位数
学生成绩（分） 学生人数（人） 人数向上累计 人数向下累计
50以下 50～60 60～70 70～80 80～90 90以上 2 4 14 46 10 4 2 6 20 66 76 80 80
78
74
60
14
4
合计 80 ―― ――
第三节 位置平均数的计算
二、众数
1．众数的概念
2．众数的计算方法
众数是总体中出现次数最多的标志值。它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势，用字母M0表示。
式中，M0 表示众数；
L 表示众数组的下限；
U 表示众数组的上限；
△1表示众数组次数与前一组次数之差；
△2表示众数组次数与后一组次数之差；
d 表示众数组的组距。
下限公式:
第三节 位置平均数的计算
二、众数
众数的特点
众数是位置平均数，不受极端数值的影响。
众数只有在总体单位数多，而且具有明显的集中趋势时，才有合理的代表性和现实意义。
当总体单位数少，或者总体单位数虽多，但无明显集中趋势时，就不存在众数。
第三节 位置平均数的计算
二、众数
例如：某校管理专业学生计算机成绩如下，求众数
学生成绩x 学生人数f 学生人数比重（%）
50以下 50～60 60～70 70～80 80～90 90以上 2 4 14 46 10 4 2.5
5.0
17.5
57.5
12.5
5.0
合计 80 100.0
第四节 变异指标
一、标志变异指标的意义
（一）变异指标概念
1.概念
2．变异指标和平均指标的区别
变异指标是综合反映总体各单位标志值之间差异程度的指标,体现变量值的离中趋势。
（一）两者都是一个代表值，但代表的内容不同；
（二）两者对变量值差异的处理不同；
（三）平均指标体现变量值的集中趋势；变异指标体现变量值的离中趋势。
第四节 变异指标
一、标志变异指标的意义
（二）标志变异指标的作用
1
衡量平均指标代表性的大小的尺度 。
2
研究现象的稳定性和均衡性。
3
测定现象变动的均匀性或稳定性程度 。
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
全距
01
也称极差，是测定标志变异程度反映总体标志值的变动范围。
平均差
02
是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。
标准差
03
是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方和的算术平均数的平方根，又称均方差。
离散系数
04
是以相对数形式表示的变异指标，又称变异系数。
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
（一）全距
概念
公式
全距是测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围，用 R 表示。
全距＝最大标志值－最小标志值 R=Xmax-Xmin
例.两组工人的工资数据（单位；元）如下：
甲:900 1000 1100 1200 1280 1480 2000
乙:1200 1250 1400 1500 1560 1700 1750
工资的全距，甲组为1100元，乙组为550元，说明甲组工人工资水平差别比乙组工人工资水平差别大。
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
（一）全距
优点
计算简单。对极端值反应灵敏
缺点
但提供的信息不全面。不能全面反映标志值的离散程度。如果极端数值相差较大，而中间数值分布比较均匀时，全距便不能确切反映其离散程度。
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(二)平均差
概念
计算公式
平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度，用A.D表示。
简单式平均差
适用未分组资料
优点：能全面反映总体各标志值的变动范围
缺点：不可导，不便于进行进一步的计算分析
简单式平均差
适用未分组资料
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(二)平均差
随堂训练：平均差的计算
按日产量分组（千克） 工人数（人）f 组中值X
60以下 60～70 70～80 80～90 90～100 100～110 110以上 10 19 50 36 27 14 8 55 65 75 85 95 105 115 -27.62 -17.62 -7.62 2.38 12.38 22.38 32.38 276.2
334.8
381
85.68
334.3
313.3
259
合计 164 ―― ―― 1984.28
平均差 ≈12.099
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(三)标准差
概念
标准差公式
标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称为均方差。标准差的平方称为方差，它是描述变量之间差异程度的重要指标。
简单式标准差
适用未分组资料
加权式标准差
适用分组资料
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(三)标准差
优点
①能全面反映总体分布的差异情况；
②用平方法消除正负符号，更便于数学上的处理；
③具有更广泛的数学性质。
尤其在数理统计中，标准差的应用更为广泛。
优点
变异情况
缺点
计算较麻烦
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(三)标准差
随堂训练
已知某企业工人工资资料如下表，计算其工资的平均差、标准差。
按工资水平分组 （元） 组中值 工人人数 工资总额 离差绝对值 离差绝对值乘权数
1000以下 750 9 6750 750 6750
1000-1500 1250 15 18750 250 3750
1500-2000 1750 18 31500 250 4500
2000以上 2250 8 18000 750 6000
合计 - 50 75000 - 21000
工资的平均数为：
工资的平均差为：
工资的标准差为：
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(四)标志变动系数
标志变动系数是标志变异指标与算术平均数之比，用Vσ表示，通常又将其成为变异系数。它反映的是单位平均水平下标志值的离散程度。
变异系数的应用条件是：当所对比的两个总体其平均数不同或计量单位不同时，要用标准差系数进行比较。
变异系数大,则说明越分散,代表性要低
变异系数小,说明要集中一些,平均数代表性要强一些
第四节 变异指标
二、常用标志变异指标
(四)标志变动系数
例如：变异系数的的计算
甲乙两组工人的平均工资分别为138.14元、176元，标准差分别为21.32元、24.67元。两组工人工资水平离散系数计算如下：
乙组工人工资水平离散系数：
甲组工人工资水平离散系数：
第四节 变异指标
三、平均指标的运用原则
1
四大运用原则
保持社会经济现象的同质性
注意用组平均数补充总平均数
注意将平均指标与变异指标相结合
注意用分配数列补充说明平均数
2
四大运用原则
3
四大运用原则
4
四大运用原则
谢谢
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