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山东省临沂市2023-2024学年高二上学期期末学科素养水平监测数学试题
2024.1
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为,则的倾斜角为
A.0 B. C. D.
2.已知三棱锥,点M,N分别为BC,PA的中点,且,用表示,则
A. B. C. D.
3.已知,若点A,B,C共线,则
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线的焦点为,点在上,,则直线PF的斜率为
A. B. C. D.
5.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”,即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人,他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁,并且他们的年龄之和恰好为三遂,则最年轻者的年龄为
A.52 B.54 C.58 D.60
6.已知点,直线过点且与线段AB相交,则与圆的位置关系是
A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切或相离
7.一个小球作简谐振动,其运动方程为,其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移,(单位:)为运动时间,则小球的瞬时速度首次达到最大时,
A.1 B. C. D.
8.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），且A,B在以点为圆心的圆上,则的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
10.设数列的前项和为的前项和为,满足,且且,则
A.是等差数列 B.时,的最大值为26
C.若,则数列是递增数列 D.若,则
11.已知曲线的方程是.
A.若是双曲线,则或
B.若,则表示焦点在轴上的椭圆
C.若,则的离心率为
D.若是离心率为的双曲线,则的焦点到其渐近线距离为1
12.如图,在棱长为2的正方体中,M,N分别为棱的中点,则
A. B.点到平面ABM的距离为
C.平面ABM与平面MNB的夹角为 D.直线MN与平面ABM所成的角为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若直线与互相垂直,则____________.
14.已知空间向量,则a在b上的投影向量的坐标是____________.
15.已知椭圆的离心率为,直线与交于A,B两点,直线与的交点恰好为线段AB的中点,则的斜率为____________.
16.已知数列中,,若函数的导数为,则____________.
四、解答题:本题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知函数在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)若过点的直线与曲线相切,求的方程.
18.(12分)已知等比数列的各项均为正数,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.(12分)已知以点为圆心的圆与圆相外切.
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆相交于M,N,求|MN|的最小值及此时的方程.
20.(12分)如图,在直三棱柱中,是AB的中点,是的中点,是与的交点.
(1)在线段上找一点,使得平面;
(2)在(1)的条件下,求PQ与平面ACM的距离.
21.（12分）已知为等差数列,记分别为数列的前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)求.
22.(12分)欧几里德生活的时期,人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆,长轴长为,从的左焦点发出的一条光线,经内壁上一点反射后恰好与轴垂直,且.
(1)求的方程;
(2)设点,若斜率不为0的直线与交于点均异于点,且在以MN为直径的圆上,求到距离的最大值.
临沂市2022级普通高中学科素养水平监测试卷
数学试题参考答案及评分标准
2024.1
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B
二、选择题：本共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。
9.BC 10.ABD 11.BCD 12.BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.64
四、解答题:本题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(10分)
解:(1),…………………………………………………………………………………………………1分
由的斜率为1,
得,…………………………………………………………………………………………………………3分
即.……………………………………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知,,
设切点为,…………………………………………………………………………………………………5分
则,………………………………………………………………………………6分
又直线过点,
…………………………………………………………………………………………8分
整理得,
,……………………………………………………………………………………………………………9分
直线的方程为,即.……………………………………………………………………………………………………10分
18.(12分)解:(1)设数列的公比为.…………………………………………………………………1分
由,得,………………………………………………………………………………………2分
,解得,………………………………………………………………………………………………3分
由,得,
解得,…………………………………………………………………………………………………………4分
的通项公式为.……………………………………………………………………………………………………………5分
(2),
①……………………………………………………6分
②……………………………………………………7分
①-②得
……………………………………………………………………………9分
……………………………………………………………………………………………10分
，………………………………………………………………………………………………11分
.………………………………………………………………………………………………12分
19.(12分)解:(1)由已知得圆的圆心坐标为,半径,……………………………………………1分
圆的半径,…………………………………………………………………2分
圆的方程为.………………………………………………………………………4分
(2)由已知得直线过定点,……………………………………………………………………………5分
在圆内,………………………………………………………………………………………………7分
由圆的几何性质可知,当时,弦|MN|最小,……………………………………………………………8分
此时,
又,
.……………………………………………………………………………………………………9分
当|MN|最小时,,…………………………………………………………………………………………………10分
,………………………………………………………………………………………11分
直线的方程为,即.………………………………………………………………12分
20.(12分)解:(1)以为原点,所在直线分割为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则……………………………………………………………1分
………………………………………2分
设平面的法向量,
则即………………………………………………………………………………3分
令,得,
是平面的一个法向量,………………………………………………………………………4分
设,则,………5分
若平面,则,
从而,即,………………………………………………………………………………………6分
解得,
，…………………………………………………………………………………………………7分
当为线段上靠近的三等分点时,平面;……………………………………………8分
(2)由(1)知,…………………………………………………………………………9分
,
到平面的距离为.…………………………………………………………………………12分
21.(12分)解:(1)设等差数列的公差为,
∵
……………………………………1分
………………………………………………………………………………………………………………3分
整理,得,解得………………………………………………………………………………………………………………5分
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………6分
（2）当n为偶数时,
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………9分
当为奇数时,,
当时,上式也成立,……………………………………………………………………………………………11分
22.(12分)解:(1)不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,…………………………………………………………………………………………1分
不妨设点,则,…………………………………………………………………………2分
又,………………………………………………………………………………3分
的方程为.………………………………………………………………………………………4分
(2)设,直线的方程为,
由整理得,
则
故,………………………………………………………………………………6分
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,………………………………………………………………………………………9分
当时,直线,过定点,易知点在椭圆内,当时,直线,过定点,
此时定点为点,M,N两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:,…………………………………………………………………………11分
点到的距离最大值为.……………………………………………12分

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