资源简介

第二章 函数的概念与性质 第二节 函数的单调性与最值（讲）
第二节 函数的单调性与最值
一.课标要求，准确定位
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法.
2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
二.考情汇总，名师解读
函数的单调性、最值及其意义在高考中占有较高地位，一直是考试的热点.单调性经常与奇偶性综合出题，以小题形式出现的较多；在函数大题中往往都会涉及单调性，特别是与导数结合；单调性和最值是密不可分的，单调性及最值的几何意义也时常出现，这种题往往有一定的技巧性.
【二级结论】
1.设，.函数单调性定义的等价形式.
①或在区间上是增函数；
②或在区间上是减函数.
2.函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
3.k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
4.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，的单调性相反．
5.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
6.若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
7.复合函数单调性的判断方法：若内层函数g(x)与外层函数f(x)单调性相同，则复合函数为增函数；若内层函数g(x)与外层函数f(x)单调性相反，则复合函数为减函数．简称“同增异减”．
8.对勾函数单调性：（，）的单调性：
在和上单调递增，在和上单调递减．
核心考点1 判断函数单调性
1．(多选)下列结论错误的是（ ）
A．因为，则在上是增函数．
B．函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为．
C．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．
D．函数的单调递减区间是．
2．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
核心考点2 求函数单调区间
4．函数的单调递减区间是 .
5．函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
核心考点3 求函数最值
6．函数f (x)＝的最大值为 ．
7．函数在上的最小值为 ，最大值为 .
核心考点4 函数单调性的应用
8．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
9．已知函数f (x)＝2 021x－2 021－x＋1，则不等式f (2x－1)＋f (2x)>2的解集为 ．
10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
(教材改编题)
11．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
核心考点5 最值的应用
12．已知函数，，并且函数的最小值为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
14．对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向一 具体函数的单调性
15．函数的单调减区间是 ．
16．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考向二 抽象函数的单调性
18．已知函数对于任意，总有，且时，.
(1)求证：在上是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，求在区间上的最大值和最小值.
【类题通法】
1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
(2)图象法：对于熟悉的基本初等函数(或由基本初等函数构成的分段函数)，可以通过利用图象来判断单调性；
(3)导数法：利用求导的方法(如含有ex，ln x的超越函数)判断函数的单调性；
(4)复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用复合函数的单调性法则(同增异减)来确定单调性．
2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
考向一 比大小
(2023·南通模拟)
19．已知函数，若，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
考向二 求参数
20．已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
21．若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考向三 解不等式
22．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数，则不等式的解集为 ．
考向四 证明不等式
24．设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：.
考向五 求最值/值域
25．已知函数，则（ ）
A．是单调递增函数 B．是奇函数
C．函数的最大值为 D．
26．若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
考向六 构造函数
27．求方程的解.
【类题通法】
1. 利用单调性比大小：
①对已知函数解析式比较函数值大小的问题，应先将自变量转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性解决;
②对没有给出函数解析式的比较大小问题，需要先构造函数，再求函数的单调区间，最后利用函数的单调性比较大小.
2. 利用单调性求参：
①直接利用题意条件和单调性带入求参；
②分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
③复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数或构造函数法转化成恒成立或有解问题.
3. 利用单调性证明不等式：一般构造函数来判断函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
考向一 单调性法
28．函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
考向二 图象法(数形结合)
29．已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
考向三 换元法
30．求的最小值．
考向四 配凑法(基本不等式法)
31．当时，求函数的最小值.
考向五 导数法
32．求函数的最大值.
【类题通法】
单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值;
图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值;
换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值;
配凑法(基本不等式法)：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值;
导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考向一 求参问题
33．一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
34．已知函数有最小值，则a的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向二 恒成立问题
35．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
36．已知函数，当时，不等恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向三 有解问题
38．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
39．已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
40．已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】
恒成立问题和有解问题：
1.单变量恒成立和有解问题，利用分离参数法转化为求函数的最值．转化方法：
①；；
②；.
2.双变量恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：
(1)，，成立等价于；
(2)，，恒成立等价于；
(3)，，成立等价于；
(4)，，成立等价于.
【微点解读】
若分段函数在R上递增(减)，则函数在每段上都增(减)且相邻两段的临界点处函数值可取到等号“=”.
41．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【微点解读】
1．复合函数的单调性的判断方法
y＝f(g(x))的单调性判断可用口诀：同增异减．
y＝f(t)和t＝g(x)在单调性相同时，复合后的y＝f(g(x))是单调递增的，
y＝f(t)和t＝g(x)在单调性不同时，复合后的y＝f(g(x))是单调递减的．
43．已知函数，则该函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
44．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
45．已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
46．函数在上的最值是（ ）
A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是
（吉林省白山市2023届高三四模）
47．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2
48．某校数学兴趣小组在研究函数最值的过程中，获得如下研究思路：求函数的最大值时，可以在平面直角坐标系中把看成的图象与直线在相同横坐标处的“高度差”，借助“高度差”探究其最值.借鉴该小组的研究思路，记在上的最大值为M，当M取最小值时， ， .
49．已知函数，其中m为常数，且．
(1)求m的值；
(2)用定义法证明在R上是减函数．
50．已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABCD
【分析】结合单调性的定义，举反例说明各结论都为错误结论.
【详解】对于A，设，则，满足条件，
由二次函数性质可得在上单调递减，与结论矛盾，A错误；
对于B，设，则函数在上单调递增，但由一次函数性质可得函数的单调递增区间为，B错误；
对于C，设函数，
由一次函数性质可得函数在区间和上均为增函数，
又，故函数在区间上不是增函数，C错误；
当时，函数的函数值为，当时，函数的函数值为，
所以结论函数的单调递减区间是错误，D错误；
故选：ABCD.
2．D
【分析】根据二次函数，幂函数，指数函数，一次函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数在区间上是增函数，故A不符合题意；
对于B，函数在区间上是增函数，故B不符合题意；
对于C，函数在区间上是增函数，故C不符合题意；
对于D，函数在区间上是减函数，故D符合题意.
故选：D.
3．BC
【解析】易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为，先利用定义法求出与的关系从而判断奇偶性，再根据函数的性质判断单调性，即可得到结果.
【详解】解：由题易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为，
对于选项A，，
则为奇函数，故A不符合题意；
对于选项B，，即为偶函数，
当时，设，则，
由对勾函数性质可得，当时是增函数，又单调递增，
所以在上单调递增，故B符合题意；
对于选项C，，即为偶函数，
由二次函数性质，可知对称轴为，
则在上单调递增，故C符合题意；
对于选项D，由余弦函数的性质，可知是偶函数，
但在内有增有减，故D不符合题意；
故选：BC.
【点睛】本题考查由函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，考查利用定义法判断函数的奇偶性以及利用函数的性质判断函数的单调性，熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.
4．
【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，
函数的单调递减区间是.
故答案为：
5．B
【分析】直接根据函数的解析式可得函数的单调区间，即可得到答案；
【详解】∵，
∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞），
∴的单调递减区间是[2，+∞），
故选：B．
6．2
【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案；
【详解】当时，函数为减函数，
所以在处取得最大值为；
当时，易知函数在处取得最大值为.
故函数的最大值为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题.
7．
【分析】根据题意得到在上为单调递减函数，进而求得函数的最值.
【详解】由函数，可得函数在上为单调递减函数，
所以，.
故答案为：；.
8．
【详解】本题等价于在上单调递增，对称轴，
所以，得．即实数的取值范围是．
点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案．
9．
【分析】由题意可得f (－x)＋f (x)＝2，从而f (2x－1)＋f (2x)>2可化为f (2x－1)>f (－2x)，再由函数的单调性可得答案
【详解】由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，
∴f (2x－1)＋f (2x)>2可化为f (2x－1)>f (－2x)，
因为函数和函数在R上单调递增，
所以函数f (x)在R上单调递增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】此题考查由函数的单调性解不等式，解此题的关键是结合已知将f (2x－1)＋f (2x)>2可化为f (2x－1)>f (－2x)，属于基础题
10．
【分析】化简，根据题意得到，即可求解.
【详解】由函数，
因为在上单调递增，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
11．.
【分析】先求得的单调递增区间为，根据题意得到，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为，
因为在上单调递增，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
12．B
【分析】容易求出的对称轴为，从而得出在上单调递减，在上单调递增，从而可根据在上取得最小值得出的取值范围．
【详解】解：的对称轴为，
∵在上的最小值为，
，
∴的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的单调性，减函数的定义，考查了推理和计算能力，属于基础题．
13．B
【解析】分和两种情况求解，时，在区间上为增函数，从而可求出其最大值，当时，在区间上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案
【详解】解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
14．B
【解析】分离参数，引入新函数，由新函数是减函数得最小值，从而得参数范围．
【详解】由题意在时恒成立，
函数是减函数，∴，∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式恒成立，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．转化方法：
（1）恒成立，
（2）恒成立，
15．，
【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．
【详解】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为，
故答案为：，
16．A
【详解】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.
17．C
【分析】根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数单调递减以及满足的对应的取值范围即可.
【详解】因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.
由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.
因此，函数的单调递增区间为、.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)最大值为2，最小值为－2
【分析】（1）根据条件，通过赋值得到，再令即可证明结果；
（2）利用（1）中结果和条件，再利用单调性的定义即可证明结果；
（3）利用（2）中结果，得到在上也是减函数，再利用单调性和条件即可求出结果.
【详解】（1）因为函数对于任意，总有，
令，得，
令，得，即，
所以在上是奇函数.
（2）在上任取，
则，又因为，
因为时，，所以，得到，
所以在上是减函数.
（3）因为是上的减函数，
所以在上也是减函数，
所以在上的最大值和最小值分别为和，
而，，
所以在上的最大值为2，最小值为－2.
19．A
【分析】根据指数函数和二次函数性质判断函数的单调性，再根据对数函数、指数函数性质比较的大小后可得结论．
【详解】因为是增函数，是减函数，
所以在上单调递增，且.
又在上单调递增，且，
所以在上单调递增．
又，，，
即，所以．
故选：A.
20．AC
【解析】根据解析式得到函数关于对称，再由已知区间上的单调性可得，即可单调性，即可比较大小.
【详解】由函数，可知函数关于对称，且在上单调递增，易得；
∴，
又在上单调递减，
∴.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查由对数型函数的单调性比较大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.
21．D
【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.
【详解】函数中，令，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，
因此，，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
22．D
【分析】由已知有，即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，
所以，解得.
故选：D
23．
【分析】利用函数的单调性以及分段函数的性质，化简不等式得出不等式的解集.
【详解】构建函数，，可得函数单调递增，
，，则函数单调递增，
且，因此函数在上是增函数．
，，
解得，于是不等式的解集为．
故答案为：.
24．(1)最小值为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，令导数为0，即可判断的单调性，从而解；
（2）由（1）可得当且时，有，分别令、即可证明；
【详解】（1）因为，
所以，
令，解得．
当时，，∴在上单调递减；
当时，，∴在上单调递增．
故函数在处取得最小值，其最小值为．
（2）由（1）知，当时，，即，
且等号当且仅当时成立，故当且时，有①.
在①式中，令（这时且），得．
此式两边同乘，得，即．②
当时，在①式中，令（这时且），得．
此式两边同乘，得，即．③
且当时，③式也成立．
综合②③两式得．
25．C
【分析】由函数的解析式判断函数的单调性，由其自变量区间知非奇非偶函数，进而可知其最大值及的大小关系.
【详解】A：由解析式知：是单调递减函数，错误；
B：由，显然不关于原点对称，不是奇函数，错误；
C：由A知：在上，正确；
D：由A知：，错误.
故选：C.
26．C
【解析】利用分离常数法将函数转化为，再利用二次函数的性质求解.
【详解】函数，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以的值域为
故选：C
【点睛】本题主要考查函数值域的求法以及不二次函数的性质的应用，属于基础题.
27．
【分析】令，判断函数的单调性，结合即可得解.
【详解】令，因为，，
所以函数在上是减函数，
又，故原方程有唯一解.
28．B
【分析】由解析式得函数为递减函数，根据单调性可求得最小值.
【详解】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值，属于基础题.
29．(1)
(2)
(3)图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【分析】（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与的大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【详解】（1）由，得且，解得，；
所以方程的解集为
（2）由已知得.
（3）函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
30．
【分析】利用单调性定义可证得为定义域上的增函数，由此可得.
【详解】由题意得：的定义域为，
任取，则，
；
，，，
在上为增函数，.
31．
【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
32．
【分析】利用导数研究的单调性，进而求其最大值即可.
【详解】由题意定义域为，
则，显然，
令，则，即单调递减，
又，，即，使，
所以，即，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以有最大值，最大值为.
33．D
【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围.
【详解】因为一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题.
34．C
【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.
【详解】当时， ，此时；
当时，.
①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
需 解得，
综上，满足题意的实数a的取值范围为： ，
故选：C．
35．D
【分析】利用基本不等式求x＋2y的最小值即可.
【详解】因为，
所以．
当且仅当，即时取等号，
又因为恒成立，
所以，解得．
故选：D.
36．B
【分析】先判断分段函数的单调性，得到是减函数，把转化成，
求在上恒成立即可.
【详解】由题意，当时，是减函数；当时，是减函数，
且，所以函数在上单调递减.
因为，所以，即在上恒成立，所以，得.
故选：B.
37．A
【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.
【详解】由得，，当时，，
∴在单调递减，∴是函数的最小值，
当时，为增函数，∴是函数的最小值，
又∵，都，使得，
可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得，
故选：A．
38．A
【分析】本题首先可根据题意得出当时不等式有解，然后令，求出当时的取值范围，即可得出结果.
【详解】不等式有解即不等式有解，
令，
当时，，
因为当时不等式有解，
所以，实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题.
39．A
【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围.
【详解】因为对于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
显然在上单调递减，则，
当时，，即在上单调递增，
则，
由解得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
40．B
【分析】使，据此求解即可.
【详解】对于任意，存在有等价于.
由，函数单调递增，可得
，，对称轴为，
时，，
，
解得.
故选：B
41．B
【分析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．
【详解】可知函数在R上单调递增，
所以；
对称轴，即；
临界点处，即；
综上所述：
故选：B
42．B
【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
43．D
【分析】求出的定义域，结合复合函数的单调性求解即可
【详解】由，解得或，所以函数的定义域为
可看作是由，复合而成的，
的单调递增区间为，
在上单调递增，
由复合函数的单调性的判定知， 函数的单调递减区间为
故选：D
44．D
【分析】利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
【详解】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．
45．C
【分析】由单调递减得，结合的解析式，根据二次函数的性质即可求单调递增区间.
【详解】由函数在上单调递减可知，
∴开口向下，对称轴为，
∴在上单调递增.
故选：C
46．A
【分析】利用导数研究函数的单调性，再求出端点处的函数值以及极值进行比较.
【详解】因为，所以，
由有：或，由有：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D错误.
故选：A.
47．AC
【分析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判断；C、D根据的区间单调性求最小值即可判断.
【详解】A：，正确；
B：因为，所以或，错误；
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为2，当时，的最小值为，C正确，D错误.
故选：AC
48． 0 ##
【分析】看成的图象与直线在相同横坐标处的“高度差”，画出图象，分类讨论，即可得出答案.
【详解】看成的图象与直线在相同横坐标处的“高度差”，
则表示恒过的一条直线，图象如下图，
，，分别表示，和，
由图可得，若或时，;
若时，若或，则点，一定不同时在直线上，
此时；
只有当，时，M取最小值.
故答案为：0；.
49．(1)1；
(2)证明见解析.
【分析】(1)将代入函数解析式直接计算即可；
(2)利用定义法直接证明函数的单调性即可.
【详解】（1）由题意得，
，
解得；
（2）由(1)知，，所以R，
R，且，
则，
因为，所以，所以，
故，即，
所以函数在R上是减函数.
50．（1）；（2）.
【分析】(1)令，求出在上的最小值即可；
(2)令，求出在上的最大值即可.
【详解】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑