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第二章 函数的概念与性质 第四节 二次函数
第四节 二次函数
一.课标要求，准确定位
1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系简单解决问题．
二.考情汇总，名师解读
高考对二次函数的考查主要体现在两个方面，一是对二次函数图象和性质本身的考查，包括单调性、最值、图象特征等；二是对二次函数与其他知识交汇问题的考查，包括二次函数与导数、函数零点、不等式等知识的交汇.
【二级结论】
1. 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2.根与系数的关系
3.二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性：b=0时，二次函数为偶函数.
核心考点1 二次函数解析式
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的图象经过，两点，则二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
核心考点2 二次函数的图象
3．如图，若，，，则抛物线的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
核心考点3 二次函数单调性的应用
5．已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
7．函数，则恒成立的解集是（ ）
A． B． C． D．
考向一 设一般式
8．已知二次函数满足，且的最大值是8，求二次函数的解析式．
9．若，那么（ ）
A． B．
C． D．
考向二 设顶点式
10．若二次函数的图像开口向上且关于直线对称，并过点，则此二次函数的解析式可能为
A． B．
C． D．
考向三 设零点式
11．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ．
【类题通法】求二次函数解析式的策略
考向一 二次函数图象特征
12．已知函数，若，且，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
13．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0
考向二 根据二次函数图象判断结论
14．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考向三 根据二次函数图象解不等式
15．若二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】识别二次函数图象应学会“三看”
考向一 求参数
16．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向二 求最值/值域
17．若，则函数的最大值为 ．
18．设，令．
(1)求的解析式
(2)求的值域．
19．已知函数，求在上的最小值；
考向三 恒成立问题
20．已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【类题通法】
1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
2.二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．
3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
（1）一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
（2）两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f（x）等价于a≥f（x）max，a≤f（x）等价于a≤f（x）min.
【微点解读】与二次函数有关的复合函数，通常是经过变形和换元转化成二次函数的形式，然后通过二次函数的性质来对复杂的复合函数问题进行快速处理，要注意换元后新元的范围.
21．已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若关于的方程有解，求的取值范围.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的最值及对应的取值；
(2)若，求函数的最大值.
23．已知函数且．
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【微点解读】含绝对值的二次函数，重点在于把绝对值去掉；留意绝对值的位置.含绝对值的二次函数图象特征：
24．已知为二次函数，且满足：对称轴为，．
(1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．
25．设为实数，函数 ，
(1)讨论的奇偶性；
(2)求的最小值
26．为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小.
27．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
28．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
29．已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
30．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为
31．已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 .
32．已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由题设二次函数的顶点式，再把点代入，求出即可
【详解】设二次函数的解析式为，
将代入上式，得，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的解析式求法，属于基础题.
2．A
【分析】将点，代入二次函数的解析式中，可求出函数的表达式．
【详解】解：（1）把点，代入，
得，
解得，
所以这个二次函数的解析式为：，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础题．
3．B
【分析】根据题意结合二次函数的性质分析判断.
【详解】若，，，则有：
二次函数开口向下，对称轴，与y轴的交点位于x轴下方
符合条件的图象只有选项B
故选：B
4．ACD
【分析】由二次函数性质对选项逐一判断
【详解】由题意得，对称轴，则，故A正确，
当时，，则，故C正确，
当时，，则，故D正确，
当时，，故B错误，
故选：ACD
5．A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
故选：A
6．.
【分析】根据一次函数与二次函数的单调性分类讨论求解.
【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；
当时，函数在区间上单调递减，符合题意．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
7．B
【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式；
【详解】解：由题意得
故
，解得
故选：B
8．
【分析】设，由，且的最大值是8，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设，
因为，且的最大值是8，
则，解得，故所求二次函数为.
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，其中解答中熟记二次函数的解析式的形式，以及二次函数的性质，合理利用待定系数求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．C
【分析】利用配凑法求函数解析式．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查用配凑法求函数解析式，本题也可用换元法，令，则，∴，从而求出函数解析式．
10．D
【分析】设出二次函数顶点式，根据函数图像过列方程，由此求得二次函数解析式.
【详解】本题求二次函数的解析式可能情况，根据四个选项得，所以可设二次函数的解析式为由于点在图像上，∴，∴，∴.
故选D.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求二次函数解析式，考查二次函数顶点式，属于基础题.
11．
【分析】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式.
【详解】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12，
所以，所以
故答案为：
12．D
【分析】根据条件得到，由开口方向和特殊点的函数值得到答案.
【详解】由且，得，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又，排除B.
故选：D.
13．C
【详解】试题分析：，∵，∴，∵，且∴，，∴，即：，∴，故答案为C.
考点：一元二次不等式的应用.
14．B
【分析】结合二次函数的图象与性质求得正确答案.
【详解】根据图象可知，（1）错误.
图象与轴有两个交点，，（2）正确.
当时，，（3）正确.
当时，；当时，.
两式相加得，而，所以，（4）正确.
所以正确的有个.
故选：B
15．C
【分析】根据图像求得，进而求得一元二次不等式的解集.
【详解】由图像可得当时，，所以二次函数，
由于二次函数图像过点，
所以，解得，
所以一元二次不等式，
即的解集为.
故选：C
16．A
【分析】先去掉绝对值号，写成分段函数的形式，然后根据题中函数在区间上是单调函数的信息，分类讨论，，的情况下，函数是单调函数，从而求出的范围.
【详解】解：
（1）若，当时，在上单调递减，符合题意；
（2）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上是单调函数，，则；
（3）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上是单调函数，则，所以.
即综上，的取值范围是.
故选：A
17．8
【分析】对函数配方后，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】，对称轴为，
时单调递增，时单调递减，
因为，所以时，，所以时，，
所以函数的最大值为，
故答案为：8.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式分段求解即可；
（2）画出图形，利用图像分析即可.
【详解】（1）当时，，
所以，
当时，
所以，
所以.
（2）如图所示：
由图像可知函数的最小值为，最大值为，
故函数的值域为．
19．答案见解析
【分析】根据函数图象的对称轴和区间的关系展开讨论，结合二次函数的性质求其在上的最小值；
【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为，
（i）当时，函数在上单调递增，
；
（ii）当时，函数在上单调递减，在上单调递减
；
（ⅲ）当时，函数在上单调递减，
.
20．
【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值，进而可求得实数的取值范围.
【详解】要使在区间上，不等式恒成立，
只需恒成立，
设，只需小于在区间上的最小值，
因为，所以当时，，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．(1)
(2)
【分析】（1），令，则，根据二次函数在区间上的最值求法即可求解；
（2）令，则问题转化为在上有解，从而得到，求解即可.
【详解】（1）时，
令，则.
，即，
而的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
，即.
在上的值域为；
（2）
令，则
有解，
在上有解，
，解得，
的取值范围为.
22．(1)有，有；
(2)答案见解析
【分析】（1）由题设可得，根据二次函数、正弦函数的性质求最值，写出对应x值；
（2）由，讨论、、分别求出对应最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，
所以，当，即时，；
当，即时，；
（2）由，
当，即时，
当，即，；
当，即时，
当时，；
当，即时，
当，即时，；
综上，时；时；时.
23．(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且 ，求得的范围．
（2）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的值．
【详解】（1）函数且的定义域为R，故恒成立，
，且， ；
（2）令 ，当 时，是二次函数，其对称轴为 ，当 时，
，有 ，不符合题意，当 时， ，不合题意，
下面只讨论 的情况；
①当 时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为增函数，
，则必有 ，即 ，并且有 ， ，
，满足题意；
②当 时，讨论与①相同，但 ，不成立；
③当 时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为减函数．
，则必有 ，即 ，并且 ，
，满足题意；
综上，（1），（2） 当 和 时，存在 使得 在 上为增函数，并且最大值为2.
24．(1),顶点坐标为.
(2)图象见解析，函数的增区间为：，函数的减区间为：.
【分析】(1)根据已知条件列出方程组即可求解；(2)作出函数图象可求解.
【详解】（1）设函数为，
所以解得，所以，
所以，所以顶点坐标为.
（2）图象如图所示，
函数的增区间为：，函数的减区间为：.
25．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）对实数讨论，时，为偶函数，时，为非奇非偶函数
（2）去绝对值，，
然后结合二次函数对数轴以及二次函数的单调性分类讨论；
【详解】（1）时，，，为偶函数；
时，，为非奇非偶函数；
（2）
当，
当，
当；
26．##
【分析】根据二次函数与绝对值函数的性质，分类讨论实数，求解在区间上的最大值记为，得到，最后根据解析式求解即可.
【详解】.
①当时，函数的图像如图所示.函数在区间上单调递增，.

②当时，，在区间上的最大值为.
③当时，函数的图像如图所示.

（i）若，即，；
（ii）若，即，；
（iii）若，.
综上所述，，因此.
故答案为：
27．C
【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.
【详解】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
故选：C
28．B
【分析】根据二次函数的图像可以得到图像与轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，，因对称轴为，故图像与轴的另一交点为且，从这些信息可判断出正确结论的序号为①④．
【详解】因为图象与轴交于两点，所以，即，①正确．
对称轴为，②错误．
结合图象，当时，，即，③错误．
由对称轴为知，.又函数图象开口向下，所以，所以，即，④正确．故选B．
【点睛】一般地，给定了二次函数的图像，我们可以从图像中扑捉下列信息：（1）开口方向；（2）判别式的正负；（3）对称轴；（4）特殊点的函数值的正负．
29．A
【分析】根据函数值域可推出，利用均值不等式即可求解.
【详解】因为二次函数的值域为，
所以，
即，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：A
30．80
【分析】根据二次函数的性质直接计算可得.
【详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80
31．
【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果.
【详解】当时，，
∴当时，，
当时，为增函数，
所以时，取得最大值，
∵对，使得，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
32．
【分析】根据对称轴与区间的位置关系展开讨论，结合二次函数的性质求函数在区间上的最大值，列方程求a的值．
【详解】对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，
解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍去）；
综上：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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