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专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量概念的理解】 2
【题型2 空间向量的加减运算】 3
【题型3 空间向量的线性运算】 3
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 4
【题型5 向量共线的判定及应用】 6
【题型6 由空间向量共线求参数】 8
【题型7 向量共面的判定及应用】 9
【题型8 由空间向量共面求参数】 10
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体中，等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．+++ B．++
C．+++ D．++
【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.用向量法求证：四边形是梯形.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量，，且、、不共面．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；
(2)．
【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量概念的理解】 2
【题型2 空间向量的加减运算】 4
【题型3 空间向量的线性运算】 6
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 8
【题型5 向量共线的判定及应用】 11
【题型6 由空间向量共线求参数】 14
【题型7 向量共面的判定及应用】 16
【题型8 由空间向量共面求参数】 18
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【解答过程】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果，则，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；
对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；
对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；
对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据单位向量的模长为可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.
【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体中，等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.
【解答过程】.
故选：C.
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】.
故选：C.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】
取的中点为,则,
又因为 为的重心，即上靠近的三等分点，
,
则.
故选:C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．+++ B．++
C．+++ D．++
【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】画出图形，如图所示，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴，，
对于A，+++=++=++=；
对于B，++++（）=+=；
对于C，+++=+++=+=2；
对于D，++=++=++=．
故选B．
【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【解答过程】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得，，，，，，代入化简即可得出答案．
【解答过程】如图所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故选：D．
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可.
【解答过程】由得，
整理得.
故选：A.
【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【解答过程】解：由题意可得：
.
故选：A.
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】，
所以，
故选：.
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得， 从而可求α，β，
【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
，
∴α=，β=﹣1，
故选A．
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.
【解答过程】根据题意，得；
故选：A.
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.
【解答过程】
如图，
,
所以，
所以，
故选:C.
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【解答过程】因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得 ，由此可得证.
【解答过程】解：（1）因为， ，
所以，
所以；
（2）
，
又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.用向量法求证：四边形是梯形.
【解题思路】根据题意得出，利用空间向量共线定理证明即可.
【解答过程】证明：连接.
点E，H分别是边，的中点，且，，
，
且.
又不在上，四边形是梯形.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【解题思路】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证；
（2）由题意，，又，运算即得证
【解答过程】证明：（1）
∴.
（2）.
【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解.
【解答过程】由，，
得，
因为A，C，D三点共线，所以，
则存在唯一实数，使得，
则，解得.
故选：C.
【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.
【解答过程】由题意可知空间向量不共线，且，即，
则，即，
故选：C.
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果
【解答过程】，，
因为，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故选：C.
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量，，且、、不共面．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】先由向量平行，得到，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.
【解答过程】且，∴，即，
又、、不共面，∴，解得，，.
故选：B.
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，
即，
又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面.
（2）解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，此时，
根据空间向量的共面定理，可得点与不共面．
【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.
【解答过程】由是不共面向量，得与不共线，
设，则，
所以，解得，所以，
所以这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量，，共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可；
（2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明．
【解答过程】（1）如图，连接EG，BG．
因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要条件可知，向量，，共面，
又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
（2）因为＝－＝－＝(－)＝，
又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH．
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.
【解答过程】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴、、、四点共面；
（2）∵，∴
又因为平面,平面,所以平面
又∵，∴，
平面,平面,平面，
又，平面
所以，平面平面.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【解题思路】由题设条件推得，再由四点共面可求得
【解答过程】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
故选：D.
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【解答过程】四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
【解答过程】由题知，
四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设,，
则
,
，
,
.
故选:B.

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