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专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量数量积的计算】 2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】 2
【题型3 利用空间向量的数量积求模】 3
【题型4 向量垂直的应用】 4
【题型5 投影向量的求解】 5
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（ ）
A． B．5 C．6 D．
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量数量积的计算】 2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】 4
【题型3 利用空间向量的数量积求模】 6
【题型4 向量垂直的应用】 8
【题型5 投影向量的求解】 11
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【解题思路】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【解答过程】令，
则，
，
.
故选：B.
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.
【解答过程】由题得夹角，夹角，夹角均为，
，
，
，
故选：A.
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将转化为，转化为，由三棱锥是正三棱锥可知，，即可将转化为，转化为，结合勾股定理即可求解．
【解答过程】为正三棱椎，为的中心，
∴平面，平面，
∴，，
△ABC是等边三角形，
∴，，
故，
，
则．
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围.
【解答过程】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为，
则，可得，所以，，
，
当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即，
当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即，
所以，，所以，.
故选：A.
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解题思路】设与的夹角为θ，则由，，可得，从而可求得与的夹角
【解答过程】设与的夹角为θ，
因为，所以，
所以，
因为非零向量，满足，
所以，
因为，所以，即，
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解题思路】设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案
【解答过程】设与的夹角为θ，
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，解得，
故选：D.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用，以及的数量积的定义化简的值，
【解答过程】解：，
所以
所以，
故选：D．
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．
【解答过程】
所以．
所以．
故选：B.
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（ ）
A． B．5 C．6 D．
【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D.
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【解题思路】利用向量的数量积公式即可求解.
【解答过程】如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
.
，
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.
【解答过程】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又因为二面角的大小为，即，则，
因为，由图易知，，
所以，
.
故选：C.
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【解答过程】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B.
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【解题思路】由和的数量积为0，解出k的值.
【解答过程】由题意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【解答过程】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【解题思路】由题，可得平面，后由平面，可得答案.
【解答过程】由，，可知.
又平面，平面，，则平面.
因，平面，则平面.
故，即是直角三角形.
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.
【解答过程】设，
则，
，
，
，
设，，
所以，
解得，
故选：B.
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求．
【解题思路】由题意可知，即可转化为，并化简利用数量积公式运算即可求得的值；由投影向量的定义可得在上的投影向量为，化简运算即可等于.
【解答过程】 平面，，
因为 ．
又，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
【解题思路】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量.
【解答过程】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为，
由空间向量的平行六面体法则可得，
在长方体中，，
因此，向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为.
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求.
【解题思路】由图形特征，用，，为基底表示，计算数量积和投影向量.
【解答过程】因为 ．
又，
所以在上的投影向量为：.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【解题思路】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
【解答过程】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.

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