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湖北省新高考联考协作体2023-2024学年度上学期高一年级期末考试
高一数学试卷
时间：2024年1月25日下午15∶00-17∶00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的娃名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题列出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是R上的奇函数，则
B．函数与为同一个函数
C．命题“，”的否定是“，”
D．若是第二象限角，则是第一象限角
10．设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．图象关于点对称
C．若，，则的最小值为
D．若且，则（）
12．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．
B．，都有
C．的值域为
D．，，都有
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．计算： ．
14．已知，则的值为 ．
15．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形。如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则a的取值范围是 ，，的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
设集合，，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
18．（本小题12分）
已知函数．
（1）化简；
（2）若，且，求的值．
19．（本小题12分）
已知函数（）关于直线对称．
（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合．
（2）求函数，的单调递减区间。
20．（本小题12分）
湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感。它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点。由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元．
（1）求函数的解析式；
（2）该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？
21．（本小题12分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，若，，都有，求实数a的取值范围．
22．（本小题12分）
对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”．
（1）试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由；
（2）若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围；
（3）试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由．
2023-2024学年度上学期高一年级期末考试
高一数学参考答案
一、二单项选题和多项选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C C B B D D ABC BC AD ABD
三、填空题
13．24 14． 15． 16．
小题详解：
1．A．
由∴．
2．B．
由∴∴，即定义域为．
3．C．
由图象可知仅有C选项的零点两侧同号．
4．C．
由，，，∴．
5．B．
由，解的，又，∴
6．B．
由（），∴，当时，，．
7．D．
由已知得的定义域为，且在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：，∴．或排除法：取．
8．D．
由是奇函数，∴又，∴，所以周期为4．C．
．
9．ABC．
对于A，函数是奇函数，如果0在定义域内，则有，故正确；对于B，因为（），（），所以与是同一函数，故正确；对于C：原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题，正确；对于D：由题知，，∴，，即是第一或第三象限角，不正确．
10．BC．
解：当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且解得，
故a的取值范围为，故选项B，C满足条件．
11．AD．
解：选项A：令即，，解得，，故的增区间为，，取，则在上单调递增，故选项A正确．
选项B：令，，则，，
取，则有，因此图象关于点对称，因此选项B不正确．
选项C：若，，则在和处分别取最大值和最小值，
因此，，故，选项C不正确．
选项D：若，则和是函数的零点，
故，，选项D正确．
12．ABD
解：对于A：，A正确；
对于B：，则在R上单调递减，故B正确；
对于C：当时，，
当时，，综上的值域为，故C不正确；
对于D：当，时，
，
故，，都有，故D正确．
13．24．
．
14．．
15．．
以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为，
中间等边三角形ABC的面积为，所以莱洛三角形的面积是，周长为，故面积与周长之比为．
16．
解：作函数的图象如下图所示：
由图象可知，要使方程有四个不同的解，则需，
由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，，，则，，∴，
而函数在递减，上递增，故其取值范围为
四、解答题
17．解：
（1）由题意知
当时，，故
∴；
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴B真含于A
∴当时，，解得，成立；
当时，1，且，中等号不能同时取得，解得，
综上，m的取值范围是或．
18．解：
（1）
（2）由，可得，
所以，
又，
所以
因为，，，所以，
所以的值为．
19．解：
（1）依题意有，，
∵，
∴．
即．
当即（）时取最大值2；
当即（）时取最小值．
（2）依题意，
，．
∴，．又，
令，得其减区间为与．
20．解：
（1）依题意，总成本为．
，
又，
则，即；
（2）当时，，其图象为开口向上的抛物线的一部分，该抛物线对称轴为，则函数在为增函数，
所以当时，函数取最大值136，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为154＞136，所以当时，取得最大值154．
所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元
21．解：
（1）由得，，
当时，，由且得，故
所以的解集为，．
（2）因为在上单调递减，所以在上的值域为．
由题意得在上恒成立，
令，于是在恒成立．
当时，1≥0恒成立，所以．
当时，由，得恒成立。
又，当即等号成立。
所以
综上所述，实数a的取值范围为．
22．解：
（1）∵，
∴，
∴是“G函数”．
（2）∵为“G函数”，故存在，使，
∴，
即在有解．
∵，
∴．
又∵在恒成立，
∴．
∴
（3）当为定义域上的“G函数”时，则在定义域上有解，可化为在定义域上有解，
令，则，，
从而在有解，即可保证为“G函数”，
令，则的图象是开口向上的抛物线，对称轴为．则
①当即时，
解得所以
②当即时，
解得，所以
综上，当时，为定义域上的“G函数”，否则不是．

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