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第二章　 机械振动
2.3　简谐运动的回复力和能量
1.知道回复力的概念.
2.知道振幅越大，振动的能量越大.
学科素养与目标要求
物理观念：
科学思维：
科学探究：
1.会根据简谐运动的回复力特点，判断及分析常见的简谐运动.
2.理解简谐运动的动力学特征.
通过探究，理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.
1.简谐运动
如果质点所受的力与它偏离平衡位置 的大小成 ，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.回复力
(1)定义：使振动物体回到 的力.
(2)方向：总是指向 .
(3)表达式：F＝ .
一、简谐运动的回复力
位移
正比
平衡位置
平衡位置
－kx
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程.
(1)在最大位移处， 最大， 为零.
(2)在平衡位置处， 最大， 最小.
2.能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型.
二、简谐运动的能量
动能
势能
势能
动能
动能
势能
守恒
理想化
1.判断下列说法的正误.
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反.(　　)
(2)回复力的方向总是与加速度的方向相反.(　　)
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零.(　　)
(4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小.
(　　)
自主探究
√
×
×
×
2.如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为____，大小逐渐______；回复力方向为_____，大小逐渐______；振子速度方向为____，大小逐渐______；动能逐渐______；势能逐渐______.(选填“正”“负”“增大”或“减小”)
图1
正
减小
负
减小
负
增大
增大
减小
如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.
一、简谐运动的回复力
(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？
答案　两个力.重力、支持力.
应用探究
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？
(3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？回复力有什么特点？
答案　A点：重力、支持力、弹簧向右的弹力；B点：重力、支持力、弹簧向左的弹力.
答案　不受.回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力.
回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力.
1.回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置.
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力.例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力
和重力的合力充当回复力；如图丙所
示，m随M一起振动，m的回复力由静
摩擦力提供.
探究深化
图2
2.回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关.只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数.
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.
3.简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－ x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.
4.物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图象是正弦曲线.
【典例1】(多选)如图3所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
√
图3
√
解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；
回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；
回复力总是指向平衡位置，故D正确.
【典例2】如图4所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止.在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动.(不计空气阻力)
(1)试分析重物上下振动回复力的来源；
解析　重物在竖直方向上下振动过程中，在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用，振动的回复力是重力与弹簧弹力的合力.
图4
答案　见解析
(2)试证明该重物做简谐运动.
解析　重物静止时的位置即为振动的平衡位置，设此时弹簧的伸长量为x0，根据胡克定律和力的平衡有kx0＝mg.设重物振动过程中某一位置偏离平衡位置的位移为x，并取竖直向下为正方向，如图所示，此时弹簧的形变量为x＋x0，弹簧向上的弹力F弹＝－k(x＋x0)，重物所受合力即回复力F＝mg＋F弹，联立得F＝－kx.若x>0，则F<0，表
答案　见解析
示重物在平衡位置下方，回复力向上；若x<0，则F>0，表示重物在平衡位置上方，回复力向下，回复力F方向总指向平衡位置.根据重物的受力特点可以判断重物做简谐运动.
二、简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动.
应用探究
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
答案　振子的动能先增大后减小　弹簧的弹性势能先减小后增大　总机械能保持不变
(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
答案　振子回到平衡位置的动能增大　系统的机械能增大
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案　实际的振动系统，能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变.
1.简谐运动中，振动系统的动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能最小；最大位移处动能为零，势能最大，但总的机械能不变.
2.简谐运动的机械能由振幅决定，对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大.
3.简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动.
知识深化
【典例3】如图5所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图5
(1)简谐运动的能量取决于______，振子振动时动能和_________相互转化，总机械能______.
解析　简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒.
振幅
弹性势能
守恒
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________.
A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
√
√
√
解析　振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；
在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；
振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，所以C错误，D正确.
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________.
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减小
解析　振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；
由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误.
√
√
三、简谐运动中各物理量的变化
1.如图6所示为水平的弹簧振子示意图，在下表中填上振子运动过程中各物理量的变化情况.
图6
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
【典例4】如图7甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图象如图乙所示，下列说法正确的是
A.t＝0.8 s时，振子的速度方向向右
B.t＝0.2 s时， 振子在O点右侧6 cm处
C.t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D.从t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐增大
图7
√
解析　由题图乙知，t＝0.8 s时，图象切线的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故A错误.
在0～0.4 s内，振子做减速运动，不是匀速运动，所以t＝0.2 s时，振子不在O点右侧6 cm处，故B错误.
t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移大小相等、方向相反，由a＝－ ，知加速度大小相等、方向相反，故C错误.
t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故D正确.高中物理 教材同步 人教版（2019） 选择性必修 第一册 第二章 机械振动 3. 简谐运动的回复力和能量 学习任务单
课题 简谐运动的回复力和能量 年级 高二
知识点来源 高中物理 教材同步 人教版（2019） 选择性必修 第一册 第二章 机械振动 3. 简谐运动的回复力和能量
学习目标 物理观念：1.知道回复力的概念. 2.知道振幅越大，振动的能量越大． 科学思维：1.会根据简谐运动的回复力特点，判断及分析常见的简谐运动. 2.理解简谐运动的动力学特征． 科学探究：通过探究，理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．
学习重难点 理解简谐运动的动力学特征、各个物理量的变化情况。
【课前预习】 一、简谐运动的回复力 1．简谐运动 如果质点所受的力与它偏离平衡位置 的大小成 ，并且总是指向 ，质点的运动就是简谐运动． 2．回复力 (1)定义：使振动物体回到 的力． (2)方向：总是指向 ． (3)表达式：F＝ . 二、简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程． (1)在最大位移处， 最大， 为零． (2)在平衡位置处， 最大， 最小． 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型． 【自主探究】 1．判断下列说法的正误． (1)回复力的方向总是与位移的方向相反．(　　) (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(　　) (3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．(　　) (4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(　　) 2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(选填“正”“负”“增大”或“减小”) 图1 【探究过程】 一、简谐运动的回复力 【应用探究】 如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x. (1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？ (2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？ (3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？回复力有什么特点？ 【探究过程】 1．回复力 (1)回复力的方向 ， 的平衡位置． (2)回复力的性质 例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子， 充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子， 充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由 提供． 图2 2．回复力公式：F＝－kx. (1)k是比例系数，其值由 决定，与 无关．只有水平弹簧振子，回复力仅由 提供，k为 ． (2)“－”号 ． 3．简谐运动的加速度 4．物体做简谐运动的判断方法 (1)简谐运动的回复力满足 ； (2)简谐运动的振动图象是 ． 典例1　(多选)如图3所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　) 图3 A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 典例2　如图4所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止．在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动．(不计空气阻力) (
图4
) (1)试分析重物上下振动回复力的来源； (2)试证明该重物做简谐运动． 二、简谐运动的能量 【应用探究】 如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动． (1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？ (2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？ (3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 【归纳总结】 典例3　如图5所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M. 图5 (1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________． (2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________． A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 (3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________． A．振幅不变 B．振幅减小 C．最大动能不变 D．最大动能减小 三、简谐运动中各物理量的变化 1．如图6所示为水平的弹簧振子示意图，在下表中填上振子运动过程中各物理量的变化情况． 图6 振子的运动A→OO→A′A′→OO→A位移回复力加速度速度振子的动能弹簧的势能系统总能量
典例4　如图7甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图象如图乙所示，下列说法正确的是(　　) 图7 A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右 B．t＝0.2 s时， 振子在O点右侧6 cm处 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同 D．从t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐增大 【总结感悟】 11.3《　简谐运动的回复力和能量》课后巩固练习 一、选择题 考点一　简谐运动的回复力和加速度 1．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　) 2．(多选)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是(　　) A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx 3．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是(　　) 4．(多选)如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点，小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是(　　) A．B点位于AC连线中点的上方 B．B点位于AC连线中点的下方 C．小球在A点的回复力等于mg D．小球在C点的回复力大于mg 5．如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图线为(　　) 考点二　简谐运动的能量 6.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知(　　) A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零 B．在0.2 s时，振子具有最大势能 C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值 D．在0.4 s时，振子的动能最大 7．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上．在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么(　　) A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B．小球做简谐运动的振幅为 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 8.如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A.在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面(有机械能损失)，第二次是当M运动到最大位移处C时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则(　　) A．A1＝A2＝A B．A1a2，E1a2，E1>E2 C．a1E2 二、非选择题 12．如图所示，弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长．重力加速度为g，则物体在振动过程中： (1)物体在竖直方向做简谐运动的过程中物体的机械能是否守恒？________. A．守恒　　B．不守恒　　C．不确定 (2)物体在最高点回复力的大小________在最低点回复力的大小．(选填“大于”“小于”或“等于”) (3)系统的最大弹性势能等于________． (4)物体在最低点所受弹力等于________． 13．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示． (1)求t＝0.25×10－2 s时的位移； (2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？ (3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点通过的路程为多大？ 14．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g. (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度； (2)物块做简谐运动的振幅是多少； (3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动．(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx) 参考答案 1.答案　C 解析　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确． 2.答案　AD 解析　当物体位移是x时，物体受到的作用力F＝F1＋F2＝－k1x－k2x＝－3kx，符合简谐运动的动力学方程，m做简谐运动，所以OB、OC都是物体做简谐振动的振幅，OB＝OC，综上所述，选项A、D正确． 3.答案　C 解析　加速度与位移的关系为a＝－，而x＝Asin ωt，所以a＝－sin ωt，则可知C选项正确． 4.答案　ACD 解析　小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点由静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧的正上方自由下落，最低点需下移，但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故A正确，B错误；小球在A点所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；若从A点静止释放，到达最低点时，加速度与A点对称，大小为g，但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方，小球在C点的回复力大于mg，故D正确． 5.答案　B 解析　设弹簧的劲度系数为k，振子距平衡位置的位移为x时系统的加速度为a，根据牛顿第二定律有kx＝－(mA＋mB)a，所以当位移为x时，整体的加速度a＝－，隔离对A分析，则摩擦力Ff＝mAa＝－kx，B正确． 6.答案　B 解析　弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错． 7.答案　A 解析　小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，A对，B错．电场力做功，故机械能不守恒，C错．运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错． 8.答案　B 解析　振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，不变，故振幅不变，即A2＝A；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为零，放上小物块后，系统的机械能减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能的总量减小，故弹簧的最大伸长(压缩)量减小，即振幅减小，所以A1a2，E11 / 14

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