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专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求两直线的交点坐标】 1
【题型2 经过两直线交点的直线方程】 2
【题型3 由直线的交点求参数】 3
【题型4 三线能围成三角形的问题】 3
【题型5 两点间的距离公式的应用】 4
【题型6 点到直线的距离公式的应用】 5
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 5
【题型8 与距离有关的最值问题】 5
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【题型1 求两直线的交点坐标】
【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线；
(2)直线．
【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 由直线的交点求参数】
【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线与互相垂直，且交点为，则（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【题型4 三线能围成三角形的问题】
【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　)
A． B．， C． D．，
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型5 两点间的距离公式的应用】
【例5】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知点，则为（ ）
A．5 B． C． D．4
【变式5-1】（2023秋·高二课时练习）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【题型6 点到直线的距离公式的应用】
【例6】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023秋·广东河源·高二校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】
【例7】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B．2 C．14 D．
【变式7-1】（2023春·河南驻马店·高二校考期中）已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）与直线的距离等于的直线方程为
A． B．
C．或 D．或
【变式7-3】（2023秋·重庆渝北·高二校考期末）已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【题型8 与距离有关的最值问题】
【例8】（2023春·上海宝山·高二校考开学考试）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式8-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-2】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求两直线的交点坐标】 1
【题型2 经过两直线交点的直线方程】 3
【题型3 由直线的交点求参数】 4
【题型4 三线能围成三角形的问题】 6
【题型5 两点间的距离公式的应用】 8
【题型6 点到直线的距离公式的应用】 9
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 11
【题型8 与距离有关的最值问题】 12
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【题型1 求两直线的交点坐标】
【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【解题思路】解方程组即可得解.
【解答过程】解方程组得，
即直线与直线的交点坐标是(0,2)．
故选：C.
【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)
【解题思路】直接解方程组可得.
【解答过程】解方程组得即交点坐标是(-9，10)，
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线；
(2)直线．
【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；
（2）分类讨论，解方程组可得答案.
【解答过程】（1）联立，解得，
所以两直线相交，交点坐标为.
（2）当时，，，
联立，方程组有无数组解，故两直线重合，
当时，，，
联立，方程组无解，故两直线平行，
当，联立，解得，
所以两直线相交，交点坐标为.
综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为.
【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．
【解答过程】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
（2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.
所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出直线与直线的交点坐标，然后可得出答案
【解答过程】联立方程得，即与的交点为
又直线过原点
所以此直线的方程为：
故选：D.
【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】联立直线与，，解得：，
所以直线：，：的交点为，
又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，
故该直线方程为：，即
故选：D.
【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D.
【题型3 由直线的交点求参数】
【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【解答过程】因直线与直线相交，则，
即，解得且，
所以实数k的值为且.
故选：D.
【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线与互相垂直，且交点为，则（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
【解题思路】首先根据两条直线垂直求，再根据两条直线过交点，代入后分别求.
【解答过程】因为两直线互相垂直，所以，得，直线为，代入交点，得，，再将交点代入直线，即，得，
所以.
故选：C.
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据直线相交求k的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可.
【解答过程】若直线与直线平行或重合，则，解得，
若直线与直线相交，可得且，则有：
联立方程，解得，即交点坐标，
由题意可得：，解得；
综上所述：k的取值范围为.
故选：C.
【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.
【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线和直线不平行，
∴直线和直线平行或直线和直线平行，
∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，
∴或.
故选：C.
【题型4 三线能围成三角形的问题】
【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　)
A． B．， C． D．，
【解题思路】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得的范围．
【解答过程】解：三条直线，，构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以，
故选：A．
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
【解题思路】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若，则三条直线围成三角形，
若，则，，解得，
时，由，得，代入得，或，因此
综上：且．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【解题思路】分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【解答过程】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A.
【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得．
【解答过程】由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为，
代入可得，此时没有两条直线重合．
故选：A.
【知识点2 距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型5 两点间的距离公式的应用】
【例5】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知点，则为（ ）
A．5 B． C． D．4
【解题思路】由距离公式求解.
【解答过程】.
故选：A.
【变式5-1】（2023秋·高二课时练习）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【解题思路】利用两点间距离公式构造方程求得结果.
【解答过程】由题意知：，解得：或
故选：.
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.
【解答过程】因为点C在x轴上，设点，则，
所以，
化简可得：，所以.
故选：D.
【变式5-3】（2022·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【解题思路】计算出，由此确定三角形的形状.
【解答过程】，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故选：C.
【题型6 点到直线的距离公式的应用】
【例6】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．
【解题思路】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【解答过程】，
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【解题思路】由距离公式，解方程得出a的值.
【解答过程】由距离公式可得，，即解得或.
故选：C.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意设直线：，点，利用点到直线的距离公式得点A到直线的距离为，由直线的斜率不存在得，由得，化简即可求解.
【解答过程】根据题意，设直线：恒过原点，点，
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时，，
所以，即，
因为，所以.
故选：A.
【变式6-3】（2023秋·广东河源·高二校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程.
【解答过程】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；
若直线斜率存在时，设直线方程为，
由得：或，
故直线方程为或，
整理得或.
故选：D.
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】
【例7】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B．2 C．14 D．
【解题思路】由距离公式求解即可.
【解答过程】由距离公式可知，所求距离为.
故选：D.
【变式7-1】（2023春·河南驻马店·高二校考期中）已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解.
【解答过程】若直线：与直线：平行，则，解得或，
当时，直线：与直线：平行；
当时，直线：与直线：平行；
综上所述：若直线与直线平行，则或.
∵，则，此时直线：，直线：，
故直线、之间的距离.
故选：A.
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）与直线的距离等于的直线方程为
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】本题考查平行直线间的距离公式．
【解答过程】设直线方程为，两平行直线间的距离为，解得c=0或-2．
直线的方程为 或
故选C．
【变式7-3】（2023秋·重庆渝北·高二校考期末）已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【解题思路】先根据两直线平行由系数的关系求出参数，然后由平行线间的距离公式求出参数，最后由即可求出答案.
【解答过程】由可得，解得，
则直线的方程为，
由，即，解得或，
故或，即.
故选：A.
【题型8 与距离有关的最值问题】
【例8】（2023春·上海宝山·高二校考开学考试）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.
【解答过程】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故选：D.
【变式8-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.
【解答过程】，由，
解得，故过定点．
，由，
解得，故过定点，
故，距离的最大值为．
此时，，则，，
解得，故．
故选：C．
【变式8-2】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.
【解答过程】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，

当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，
故点到直线l的距离大于1，
当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，
故点A到直线的距离的取值范围为，
故选：B.
【变式8-3】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解题思路】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.
【解答过程】如图，设，， ， ，
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
所以
，
其中是以1为边长的正方形内任意一点，
，；
故，
当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为.
故选：B.

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