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专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 点关于点的对称问题】 1
【题型2 直线关于点的对称问题】 3
【题型3 点关于直线的对称问题】 5
【题型4 直线关于直线的对称问题】 7
【题型5 光线反射问题】 8
【题型6 将军饮马问题】 12
【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 .
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称
【题型2 直线关于点的对称问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·高二课时练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线关于原点对称，则的值是
A．， B．，
C．， D．，
【知识点3 直线关于点的对称】
1．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
点 对称轴 对称点坐标
P(a,b) x轴 (a,-b)
y轴 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
【题型3 点关于直线的对称问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（　　）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【知识点4 直线关于直线的对称】
【题型4 直线关于直线的对称问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【题型5 光线反射问题】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 将军饮马问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A． B． C． D．
专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 点关于点的对称问题】 1
【题型2 直线关于点的对称问题】 3
【题型3 点关于直线的对称问题】 5
【题型4 直线关于直线的对称问题】 7
【题型5 光线反射问题】 8
【题型6 将军饮马问题】 12
【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.
【解答过程】解：设，由题知，点和点的中点为，则
解得：，
所以点的坐标为
故选：B.
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ．
【解题思路】由中点坐标公式求解即可
【解答过程】设点关于点对称的点为，
则点为的中点．
解得．
点关于点对称的点的坐标为．
故答案为：．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．
【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，
所以，解得．
所以C的坐标为．
故答案为：.
【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 .
【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.
【解答过程】根据中点坐标公式，得，且．
解得，，所以点P的坐标为，
则点到原点的距离．
故答案为：.
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称
【题型2 直线关于点的对称问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程.
【解答过程】由题意得，故设，
在l上取点，则点关于点的对称点是，
所以，即，
故直线的方程为.
故选：C.
【变式2-1】（2022·高二课时练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.
【解答过程】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上.
故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线关于原点对称，则的值是
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．
【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则
∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点
∴a＝﹣1，b＝﹣9
故选A．
【知识点3 直线关于点的对称】
1．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
点 对称轴 对称点坐标
P(a,b) x轴 (a,-b)
y轴 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
【题型3 点关于直线的对称问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】利用中点和斜率来求得点坐标.
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得．
所以点Q的坐标为.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（　　）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【解题思路】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.
【解答过程】点A，B关于直线对称，则，
即，　①
且AB中点在已知直线上，
代入得，　②
联立①②组成的方程组，解得，
故选：D.
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值．
【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，
∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上，
∴2+n﹣2＝0．
∴m+2n＝7，
而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，
解方程组，可得m＝3，n＝2，
∴m+n＝5.
故选：C.
【知识点4 直线关于直线的对称】
【题型4 直线关于直线的对称问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.
【解答过程】设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即.
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【解答过程】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.
【解答过程】在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，
综上，
故选：A.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【解答过程】解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
【题型5 光线反射问题】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点，利用点斜式可得直线方程.
【解答过程】点关于轴的对称点为，
又反射光线倾斜角为，斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
故选：C.
【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【解答过程】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设P关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，
所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
即．
故选：D.
【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长.
【解答过程】解：直线的方程为，即，
设点关于直线AB的对称点为，
则，解得，即，
又点关于y轴的对称点为，
由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．
故选：B.
【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【解答过程】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
【题型6 将军饮马问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【解题思路】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【解答过程】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D.
【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.
【解答过程】，
，
设，，，
则为点分别到点，的距离之和，
点关于轴的对称点的坐标为，
连接，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【解答过程】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：B.
【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果.
【解答过程】点关于直线的对称点为，如下图所示：
在直线上任取一点，由对称性可知，
所以，，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故“将军饮马”的最短总路程为.
故选：B.

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