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专题2.6 圆的方程【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求圆的标准方程】 1
【题型2 求圆的一般方程】 2
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 3
【题型4 圆过定点问题】 3
【题型5 点与圆的位置关系】 4
【题型6 圆有关的轨迹问题】 5
【题型7 与圆有关的对称问题】 6
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过，，三点的圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程表示的曲线为（ ）
A．圆 B．圆的右半部分
C．圆 D．圆的上半部分
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【题型4 圆过定点问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 .
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）.
【知识点3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【题型5 点与圆的位置关系】
【例5】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型6 圆有关的轨迹问题】
【例6】（2022秋·广西桂林·高二校考期中）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型7 与圆有关的对称问题】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圆关于直线对称后的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
【变式7-3】（2022秋·重庆云阳·高二校考期末）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
专题2.6 圆的方程【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求圆的标准方程】 1
【题型2 求圆的一般方程】 3
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 5
【题型4 圆过定点问题】 6
【题型5 点与圆的位置关系】 8
【题型6 圆有关的轨迹问题】 10
【题型7 与圆有关的对称问题】 11
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过，，三点的圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求的圆的方程为，代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.
【解答过程】解：设所求的圆的方程为，因为，，三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是.
故选：D.
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.
【解答过程】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【解答过程】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：A.
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【解答过程】设直径的两个端点分别，
圆心C为点由中点坐标公式，得，解得
∴半径，
∴圆的方程是即
故选：A.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设圆的方程为 ，
解方程组即得解.
【解答过程】设圆的方程为 ，
把点，，代入得
，
解得，，，
所以圆的方程是．
故选：D．
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【解答过程】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.
【解答过程】设圆的一般方程为，圆心坐标为，
因为圆经过两点，，且圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆的方程为.
故选：C.
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程.
【解答过程】设外接圆的方程为：，
由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．
故选：C.
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.
【解答过程】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：C.
【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【解答过程】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程表示的曲线为（ ）
A．圆 B．圆的右半部分
C．圆 D．圆的上半部分
【解题思路】平方后可判断曲线的形状.
【解答过程】因为，所以，
即，
故方程表示的曲线为圆的上半部分.
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程表示圆，必有，即可求出的取值范围.
【解答过程】方程表示圆，必有，
即，解可得，或，
故选：B.
【题型4 圆过定点问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【解答过程】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 、 .
【解题思路】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【解答过程】由由得，故，解得或.
故答案为：、.
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 和 （其坐标与无关）.
【解题思路】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点．
【解答过程】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
故答案为：和．
【知识点3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【题型5 点与圆的位置关系】
【例5】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【解题思路】计算到圆心的距离和半径作比较即可.
【解答过程】圆的圆心为，半径，，
故点在圆内.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【解答过程】由题意可得，解得.
故选：A.
【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【解题思路】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【解答过程】将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【解答过程】圆，
则圆，圆心，半径，
点在圆的外部，
，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【知识点4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型6 圆有关的轨迹问题】
【例6】（2022秋·广西桂林·高二校考期中）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.
【解答过程】设点，的中点的坐标为，
，由中点坐标公式可得，可得，
又点在圆，则，即.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式6-1】（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两点间的距离公式列式求解即可.
【解答过程】解：因为点和点，动点，
所以，
又因为其满足，
所以，整理得：
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，根据即得.
【解答过程】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，
即，所以，
因为为直角三角形的直角顶点，
所以，故所求轨迹方程为．
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．
【解答过程】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型7 与圆有关的对称问题】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圆关于直线对称后的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.
【解答过程】圆的圆心 半径为 ，由得，
设圆心关于直线对称点的坐标为，则
，解得,
所以对称圆的方程为.
故选：A.
【变式7-1】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：A.
【变式7-2】（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】由，得，
所以圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心 ，
故有，即，
所以半径为，
当时，圆C的半径的最小值为.
故选：C.
【变式7-3】（2022秋·重庆云阳·高二校考期末）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解题思路】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值.
【解答过程】解：由题意
在圆中，
∴圆心为，半径为1
在直线中，
圆关于该直线对称
∴直线过圆心，
∴，即：
∵
解得：
当且仅当时等号成立
∴的最大值为.
故选：D.

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