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专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】 2
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】 3
【题型4 已知切线求参数】 3
【题型5 求圆的弦长与中点弦】 4
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 5
【题型7 直线与部分圆的相交问题】 5
【题型8 直线与圆有关的最值问题】 7
【题型9 直线与圆的方程的应用】 7
【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组
解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）的半径为7 cm，圆心到直线l的距离为8 cm，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．以上均不对
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线，直线，则直线与曲线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线与圆相切，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【知识点2 圆的切线及切线方程】
1．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆上一点P的切线方程为.
b.经过圆上一点P的切线方程为.
c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ）
A．2 B． C． D．
【变式3-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【题型4 已知切线求参数】
【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点3 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线与圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：与圆O：交于A、B两点且，则（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．±3
【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线与曲线恰有两个交点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【知识点4 解与圆有关的最值问题】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；
②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；
③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；
④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型9 直线与圆的方程的应用】
【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．
专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】 2
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 3
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】 5
【题型4 已知切线求参数】 7
【题型5 求圆的弦长与中点弦】 9
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 11
【题型7 直线与部分圆的相交问题】 12
【题型8 直线与圆有关的最值问题】 15
【题型9 直线与圆的方程的应用】 18
【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组
解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【解题思路】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.
【解答过程】已知直线过定点，
将点代入圆的方程可得，
可知点在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A.
【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【解题思路】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案.
【解答过程】由题意知为圆内异于圆心的一点，
则，
而圆：的圆心到直线的距离为，
故直线与该圆的位置关系为相离，
故选：C.
【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）的半径为7 cm，圆心到直线l的距离为8 cm，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．以上均不对
【解题思路】根据圆与直线的位置关系即可得答案.
【解答过程】的半径为，圆心到直线l的距离为，则，所以直线与的位置关系是相离.
故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线，直线，则直线与曲线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程得，再求出直线所过定点，判断定点与圆的位置关系即可.
【解答过程】即，
故曲线表示以点为圆心，2为半径的圆.
因为直线的方程可化为，
所以直线恒过点.因为，故点在圆的内部，
所以直线与圆相交，
故选：C.
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，从而求得的取值范围.
【解答过程】易知圆的圆心为，半径为，直线，
因为直线与圆相交，
所以，解得.
故选：C.
【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线与圆相切，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求的值.
【解答过程】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，
直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，
即：，解得.
故选：A.
【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先利用直线与圆相交可得到，然后利用充分条件、必要条件的定义即可求解
【解答过程】由圆可得圆心，半径为1，
所以直线与圆相交圆心到直线的距离，解得，
所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】由直线和圆相切可得，利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由于直线与圆相切，
故圆心到直线l的距离为，即，
故，当且仅当时取等号，
故选：B.
【知识点2 圆的切线及切线方程】
1．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆上一点P的切线方程为.
b.经过圆上一点P的切线方程为.
c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线的斜率，进而求出过点的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.
【解答过程】由得：，
则该圆的圆心为，又是该圆上一点，
则直线的斜率为，
所以过点的切线的斜率，
则过点的切线方程为，即，
故选：B.
【变式3-1】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答过程】由圆的方程可得，故，
为原点，在圆上，与圆相切，
则.

故选:A．
【变式3-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【解答过程】圆可化为，则圆心，半径为；

设，切线为、，则，
中，，所以．
故选：C．
【变式3-3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【解答过程】由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以，
解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
故选：A.
【题型4 已知切线求参数】
【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.
【解答过程】圆 的圆心，半径，
依题意，，解得，
所以.
故选：A.
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【解答过程】若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，，
故前者能推出后者，后者无法推出前者，
故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
【解题思路】结合基本不等式求得当直线的斜率时，三角形面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得的值.
【解答过程】因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，
令y＝0，解得x＝，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A（，0），B（0，1﹣2k），
所以＝＝4，当其仅当，即k＝时取等号，
此时直线l的方程为，即x+2y﹣4＝0，
因为直线l与圆相切，
所以，解得m＝0或m＝5．
故选：C.
【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.
【解答过程】连接，如图，
则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形，
又，
所以点到直线的距离必须小于或等于，
即，所以，
故选：D.
【知识点3 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线与圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再
利用弦长公式求.
【解答过程】因为圆的圆心为，半径r=2，
因为到直线的距离，
所以.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】圆C：关于直线对称，即说明直线过圆心，可求出，再由垂径定理即可求出弦长.
【解答过程】圆方程配方得，圆心，，
圆C：关于直线对称，
可知直线过圆心，即，解得，
故，
则圆心与点的距离的平方为，
则圆C中以为中点的弦长为.
故选：D.
【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由是弦的中点,所以,求出的斜率,进而求得的斜率,根据的中点为,根据点斜式即可写出直线的方程.
【解答过程】解:由题知,圆:,即圆心,
因为弦的中点为,所以,
因为,所以,即,
因为在上,所以,即.
故选:C.
【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【解题思路】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小
【解答过程】由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C.
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：与圆O：交于A、B两点且，则（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．±3
【解题思路】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离：，
由得，解得.
故选：C.
【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.
【解答过程】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.
故选：C.
【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【解题思路】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程.
【解答过程】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，
又因为与y轴相切，所以半径，
易知圆心到直线的距离为，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，
所以，解得；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.
【解答过程】圆的圆心为,半径,
直线的方程化为一般形式为.
，设圆心到直线的距离为，则，
，解得.
故选：D.
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用直线和圆的位置关系列不等式，由此求得正确答案.
【解答过程】曲线可化为，
即曲线是单位圆的上半部分，
直线过定点，
化为一般式得，设，直线AB的斜率，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】首先得到曲线所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时的值，再将代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.
【解答过程】对曲线，两边同平方得，即，其中，
其表示的图形是以为圆心，半径为的圆的上半部分，包括轴上的点，
当直线与曲线相切时，则有，或，
显然由图形知，则，故充分性成立，
若，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，故此时直线与相切，故必要性成立.
则“与相切”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【解题思路】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解
【解答过程】如图，
曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线即与半圆相切，所以，解得．
因为所以，
又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：B.
【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线与曲线恰有两个交点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，可得,
所以实数取值范围为.
故选：B.
【知识点4 解与圆有关的最值问题】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【解答过程】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C.
【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.
【解答过程】圆，圆心，半径，
设圆心到直线：的距离为，则，
易得，则，
故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，
因为，所以，
故最小值是．
故选：D.
【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【解题思路】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得，进而可得的面积最小值.
【解答过程】由圆，得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为
所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，
故，
所以，
即的面积最小值为.
故选：B.
【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，计算出圆心到直线的距离，结合对称性可得出的最小值为，即可得解.
【解答过程】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，
由对称性可知，
点到直线的距离为，
故当与直线垂直时，且当为与直线的交点以及点为圆与线段的交点(靠近直线)时，取得最小值，
且.
故选：B.
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；
②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；
③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；
④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型9 直线与圆的方程的应用】
【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可；
（2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案.
【解答过程】（1）解：建立如图所示的坐标系，
设该圆拱所在圆的方程为，
由于圆心在轴上，所以，那么方程即为.
因为都在圆上，
所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，
于是有方程组，解得
所以，这个圆的方程是 ．
（2）解：由题知点的横坐标为.
所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，
所以，
因为的纵坐标，故应取正值，
所以，（米）．
所以，支柱的高度约为3.11米.
【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【解题思路】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；
（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．
【解答过程】（1）如图所示，，
设过O、A、B三点的圆C的方程为，
得：，解得，
故所以圆C的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点D，则，
且该船航线所在直线l的斜率为,
故该船航行方向为直线，
由于圆心C到直线l的距离，
故该船没有触礁的危险.
【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解答过程】（1）由题意得，∴；
（2）设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为 ，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．
【解题思路】（1）直接根据失败点的概念即可判断；
（2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积；
（3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果.
【解答过程】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A，
故A是失败点
（2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，，
设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点，
可得，即，，
即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部，
所以电子狗失败的区域面积（米2）
（3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以，
因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以
又因为，所以的取值范围是．

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