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专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】 2
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】 3
【题型3 两圆的公切线长】 5
【题型4 两圆的公切线方程或条数】 8
【题型5 相交圆的公共弦方程】 11
【题型6 两圆的公共弦长】 12
【题型7 圆系方程及其应用】 15
【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，与圆的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆与圆相外切，则m的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点2 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【题型3 两圆的公切线长】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为，圆的方程为.
(1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆，
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
(2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切.
【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
(2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【题型4 两圆的公切线方程或条数】
【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【知识点3 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
【题型5 相交圆的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 两圆的公共弦长】
【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆与圆公共弦长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点4 圆系方程及其应用】
1．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型7 圆系方程及其应用】
【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆的圆心在直线上，且经过两圆和的交点，则圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B． C．2 D．
专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】 2
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】 3
【题型3 两圆的公切线长】 5
【题型4 两圆的公切线方程或条数】 8
【题型5 相交圆的公共弦方程】 11
【题型6 两圆的公共弦长】 12
【题型7 圆系方程及其应用】 15
【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【解题思路】利用两圆外切的定义判断即可.
【解答过程】圆是以为圆心，半径的圆，
圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，
则，=3，所以两圆外切，
故选：.
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【解题思路】计算两圆圆心距离，利用几何法可判断两圆的位置关系.
【解答过程】圆圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，
则两圆的圆心距为，而，
则圆与圆的位置关系为内切．
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，与圆的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【解题思路】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.
【解答过程】依题意，圆与圆的圆心距4等于圆的半径6减去圆的半径2,
所以圆内切于圆.
故选：D.
【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【解题思路】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.
【解答过程】两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，于是，
而，故两圆相交，
故选：.
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆与圆相外切，则m的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.
【解答过程】由圆可得圆心半径；
由圆即可得圆心半径；
因为两圆外切，所以，即，解得.
故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【解答过程】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A.
【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【解题思路】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.
【解答过程】因为圆和存在公共点，
所以两圆相交或者相内切或者相外切，
即，
解得，选项ABC满足，m的值不能为D.
故选：D.
【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出.
【解答过程】由题意知，圆心与圆心，
则圆心距，
因为圆与圆有两个交点，
则圆与圆相交，
则，
解得．
故选：B.
【知识点2 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【题型3 两圆的公切线长】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.
【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得.
故选：C.
【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为，圆的方程为.
(1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；
（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.
【解答过程】（1）圆A：，圆：，
两圆心距，
∵，
∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得：，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为、，则垂直平分线段，
∵A到的距离，
∴.
（2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形.
∴，
∴.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆，
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
(2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切.
【解题思路】（1）求出两圆的圆心和半径，判断圆心距与半径之差、半径之和的关系即可判断两圆的位置关系，设直线分别与圆切于，，在直角梯形中即可得公切线长；
（2）利用几何法求得点到直线的距离为定值，即可得定圆的方程即可求解.
【解答过程】（1）
由圆可得，半径，
由圆可得，半径，
，
所以，所以圆相交.
设直线分别与圆切于，，连接，
在直角梯形中，，
所以，即它们的公切线之长为；
（2）
设线段的中点为，则，
因为动直线与圆交于，，且线段的长度为，
所以，
又因为，所以点到直线的距离为，
所以直线总与圆相切，
所以存在一个定圆，直线总与之相切.
【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
(2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案.
（2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案.
【解答过程】（1）圆：，即， ，
圆：，即， ，，
圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，
当两圆在公切线同侧时：.
当两圆在公切线异侧时：.
综上所述，公切线段长为或.
（2）假设存在满足条件，即，
化简得到：，圆心为，半径.
，故两圆相交，有两个交点.
故点P的个数为2.
【题型4 两圆的公切线方程或条数】
【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【解答过程】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，
因为圆与圆相内切，所以，即，故.
由，可得，
即与的公切线方程为.
故选：D.
【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为5；
圆的圆心坐标为，半径为3，
所以两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解
【解答过程】由题意，圆的圆心坐标为，半径为
圆的圆心坐标为，半径为
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，
设切线，则圆心到直线的距离，解得或，
另两条切线与直线平行且相距为1，又由，
设切线，则，解得，
结合选项，可得D不正确.
故选：D.
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【解题思路】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【解答过程】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
【知识点3 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
【题型5 相交圆的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.
【解答过程】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】计算公共弦所在直线为，得到，解得答案.
【解答过程】圆 与圆的公共弦所在直线为
，即，故，解得，
故直线过定点.
故选：A.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程．
【解答过程】圆的圆心为，半径为2，
以、为直径,则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，
所以是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：.
故选：A．
【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解.
【解答过程】将两圆方程相减可得直线的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，
则到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故选：D.
【题型6 两圆的公共弦长】
【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆与圆公共弦长为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【解答过程】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选:.
【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得.
【解答过程】圆：，圆心为，半径为；
圆：，圆心为，半径为；
圆心距，，两圆相交，
联立两圆方程，得，
即公共弦所在直线的方程为，
故圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为：.
故选：D.
【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线上，再利用几何关系即可求出结果.
【解答过程】由，得，圆心，半径；
由，得，圆心，半径，
所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，

如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.
故选：D.
【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得.
【解答过程】如下图所示：
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可知，，，，，
所以，，所以，，
设，则为的中点，
故四边形的面积为，则，
故，所以，，
，又因为，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
【知识点4 圆系方程及其应用】
1．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型7 圆系方程及其应用】
【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.
【解答过程】与相减得：，
将代入得：，
即，
设两圆和的交点为，
则，，则，
不妨设，
所以线段的中点坐标为，
因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，
所以线段的垂直平分线为，
与联立得：，
故圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
整理得：
故选：D.
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可.
【解答过程】设所求的圆的方程为,
把点代入可得,,
解得,所以所求圆的方程为,
故选:A.
【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程.
【解答过程】设所求圆的方程为，则，
则圆心坐标为，代入直线，可解得.
故所求圆的方程为，即.
故选：A.
【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆的圆心在直线上，且经过两圆和的交点，则圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【解题思路】求出过两点的垂直平分线方程，再联立直线，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解
【解答过程】设两圆交点为，联立得或，，
则中点为，过两点的垂直平分线方程为，
联立得，故圆心为，
由点到直线距离公式得
故选：C.

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