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专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量基底的判断】 1
【题型2 用空间基底表示向量】 2
【题型3 由空间向量基本定理求参数】 3
【题型4 正交分解】 4
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 5
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】 7
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 9
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 10
【知识点1 空间向量基本定理】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
【题型1 空间向量基底的判断】
【例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·湖南·高一校联考期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 用空间基底表示向量】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023春·河南商丘·高二校联考期中）如图，在三棱锥中，，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 由空间向量基本定理求参数】
【例3】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M，N分别是和的中点，且，则实数x，y，z的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【知识点2 空间向量的正交分解】
1．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【题型4 正交分解】
【例4】（2022·全国·高一假期作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考阶段练习）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点3 用空间向量基本定理解决相关的几何问题】
1．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
3．求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】
【例5】（2022·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
【变式5-1】（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．
【变式5-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【变式5-3】（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】
【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各棱的中点，设，，.
(1)用，，表示，并求的长；
(2)求与的夹角.
【变式6-1】（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
【变式6-2】（2022秋·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【变式6-3】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】
【例7】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【变式7-1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
【变式7-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 .
【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高二校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】
【例8】（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.
【变式8-1】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【变式8-2】（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题：
(1)以为基底表示；
(2)若，，，求的值．
【变式8-3】（2022秋·浙江湖州·高二统考期中）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．
(1)用表示；
(2)求；
(3)求的长．
专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量基底的判断】 1
【题型2 用空间基底表示向量】 3
【题型3 由空间向量基本定理求参数】 6
【题型4 正交分解】 8
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 11
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】 13
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 16
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 20
【知识点1 空间向量基本定理】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
【题型1 空间向量基底的判断】
【例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【解答过程】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；
对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；
对于C，假设向量共面，则，
即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；
故选：C.
【变式1-1】（2023春·湖南·高一校联考期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】A.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，无解.
所以，与构成一个基底.
B.因为，所以，所以排除B；
C.因为，所以，所以排除C；
D.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，所以，
所以，与不构成一个基底，排除D.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据空间向量共面定理可知BCD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设A中向量共面，可知不存在满足条件的实数，由此知假设错误，则A中向量可以作为基底.
【解答过程】对于A，假设共面，则可设
，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，A正确；
对于B，，∴共面，不能作为空间一组基底，B错误；
对于C，，∴共面，不能作为空间一组基底，C错误；
对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D错误.
故选：A.
【变式1-3】（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【解答过程】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：D.
【题型2 用空间基底表示向量】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.
【解答过程】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以 ，
故选：A.
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】由空间向量线性运算即可求解.
【解答过程】由题意可得
.
故选：A.
【变式2-2】（2023春·河南商丘·高二校联考期中）如图，在三棱锥中，，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用向量线性运算将用，，表示即可.
【解答过程】如图：
故选：C.
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间向量基本定理，用表示出即可.
【解答过程】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此
.
故选：D.
【题型3 由空间向量基本定理求参数】
【例3】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M，N分别是和的中点，且，则实数x，y，z的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解.
【解答过程】由题意可得：，
故.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【解答过程】根据向量加法法则可得：，
即，
因为，
所以，，，
所以，，，所以.
故选：B.
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得答案.
【解答过程】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
，则，
由题设，，
所以.
故选：A.
【变式3-3】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】以为基底表示，由此求得，进而求得.
【解答过程】
，
所以.
故选：B.
【知识点2 空间向量的正交分解】
1．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【题型4 正交分解】
【例4】（2022·全国·高一假期作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题设得，结合已知条件求关于的线性表达式，即可知在基底下的坐标.
【解答过程】由题设知：，而，，，
∴，
∴在基底下的坐标是.
故选：B.
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解.
【解答过程】解：设
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：A.
【变式4-2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【解答过程】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A.
【变式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考阶段练习）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．
【解答过程】不妨设向量，，；
则向量，，．
设，
即，
∴解得
即在，，下的坐标为．
故选：C．
【知识点3 用空间向量基本定理解决相关的几何问题】
1．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
3．求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】
【例5】（2022·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
【解题思路】利用空间向量的基本定理和共线向量定理求解.
【解答过程】解：设，，，
，
，
，
，
因为，
所以，
又因为、有公共点C，
所以C、E、F三点共线．
【变式5-1】（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．
【解题思路】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.
【解答过程】在正方体中，令，
，BD与AC交于点M，即点M是的中点，
于是
，
，
因此，即，而直线与直线有公共点，
所以三点共线.
【变式5-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【解题思路】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论.
【解答过程】（1）
∵
∴
（2）
连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
【变式5-3】（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；
（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可.
【解答过程】（1）由题知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】
【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各棱的中点，设，，.
(1)用，，表示，并求的长；
(2)求与的夹角.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用空间向量基底表示，再利用向量数量积的运算律求出的长作答.
（2）用空间向量基底表示，再求出与的数量积即可作答.
【解答过程】（1）因分别为棱的中点，而，，，
所以，
因正四面体的棱长为1，则，
所以.
（2）依题意，，
因正四面体的棱长为1，有，
因此，
所以，即与的夹角为.
【变式6-1】（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
【解题思路】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；
（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.
【解答过程】（1）由已知可得，底面半径，母线，
所以圆柱的侧面积.
（2）由已知可得，两两垂直，且相等，
设，则，，.
又， ，
则 .
所以，
又，所以，
所以异面直线AC与所成角的大小为.
【变式6-2】（2022秋·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【解题思路】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果.
（2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果.
【解答过程】（1）
（2）
由题意知，，，，
则，
，
，
所以.
【变式6-3】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【解题思路】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.
【解答过程】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，
因为，，且，
则，
，
所以
.
（2）由（1）知，，则，
又，所以向量与夹角的余弦值.
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】
【例7】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【解题思路】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【解答过程】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
【变式7-1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；
（2）设，，用，，表示向量，依题意可得，根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解．
【解答过程】（1）解：因为是中点，所以，
所以
；
（2）解：假设存在点，使，设，，
显然，，
因为，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以当时，.
【变式7-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 .
【解题思路】设，由空间向量的运算证明，.
【解答过程】证明：设
则
，
，
，
，
，
又
，同理可证，
这个四面体相对的棱两两垂直.
【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高二校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【解答过程】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】
【例8】（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.
【解题思路】（1）取为空间的一个基底，表示出，再利用空间向量数量积求解作答.
（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答.
【解答过程】（1）在四面体中，设，，，则，，
，，，
.
（2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图，
于是得，
因此
，即有，
所以线段EF的长为.
【变式8-1】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【解题思路】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.
【解答过程】解：因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.
【变式8-2】（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题：
(1)以为基底表示；
(2)若，，，求的值．
【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可；
（2）根据结合数量积的运算律计算即可.
【解答过程】（1）解：
；
（2）解：
.
【变式8-3】（2022秋·浙江湖州·高二统考期中）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．
(1)用表示；
(2)求；
(3)求的长．
【解题思路】(1)用向量加法的三角形法表示，最终用基底表示出来.
(2)借助第一问的结论表示出，代入已知条件的长度和角度可求得.
(3)要求的长度，可以先表示出，用基底表示，代入正四面体的长度和角度可以求得.
【解答过程】（1）
（2）
（3）
.

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