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专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求空间点的坐标】 1
【题型2 空间向量运算的坐标表示】 2
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 3
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 3
【题型5 空间向量模长的坐标表示】 4
【题型6 空间向量平行的坐标表示】 6
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 7
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 8
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点，点，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（ ）
①点关于轴的对称点是
②点关于平面的对称点是
③点关于轴的对称点是
④点关于原点的对称点是
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量，那么（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量,则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知，，且，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点，，，又点在平面内，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝.
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；
(2)求.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，，，．
(1)求以为边的平行四边形的面积；
(2)若，且，点是的中点，求的值．
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点，，，设.若，求实数k的值．
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知，且是平行四边形，求顶点D的坐标．
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点， ，设,.若与垂直，求满足的关系式.
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数k的值．
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点，，，设，.
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求的值.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点，，.
(1)求的面积；
(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求空间点的坐标】 1
【题型2 空间向量运算的坐标表示】 3
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 6
【题型5 空间向量模长的坐标表示】 8
【题型6 空间向量平行的坐标表示】 11
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 13
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 15
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，
故选：C.
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，表达出，从而列出方程组，求出点的坐标为.
【解答过程】设，则，
因为，所以，解得：，
故点的坐标为.
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点，点，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，根据列方程组即可求解.
【解答过程】设，则，
因为，所以，解得.
故点的坐标为.
故选:A.
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（ ）
①点关于轴的对称点是
②点关于平面的对称点是
③点关于轴的对称点是
④点关于原点的对称点是
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答过程】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；
点关于平面的对称点的坐标是，，，则②正确；
点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；
点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，
故选：C.
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【解答过程】，
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量，那么（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.
【解答过程】因为，
所以.
故选：D.
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量,则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解.
【解答过程】∵向量,
∴.
故选:B.
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【解答过程】如图，取中点，连接, 如图，
则, ,
而,
故选：B.
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【解题思路】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【解答过程】由已知，，
，
∴.
故选：C．
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【解答过程】因为，
所以.
故选：C.
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.
【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
故选：D.
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.
【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.
【解答过程】因为，
所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),
所以，
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知，，且，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为，，且，
所以，
解得；
故选：B.
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】首先通过向量的减法的坐标运算可得，再通过数量积运算即可得解.
【解答过程】根据向量的运算可得：
，
所以
，
所以，
故选：B.
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点，，，又点在平面内，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.
【解答过程】由题意，得
，
则，
因为P在平面ABC内，并设未知数a，b，
则，
，
即，解得.
故选：B.
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝.
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
【解题思路】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有 ，，，，，，，，
.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；
(2)求.
【解题思路】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出即可；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【解答过程】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，故，
所以，
即线段的长度为；
（2），
则，
所以.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【解题思路】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算的值；
【解答过程】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
（2）依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，，，．
(1)求以为边的平行四边形的面积；
(2)若，且，点是的中点，求的值．
【解题思路】（1）写出的坐标，求出模长和夹角，用平行四边形的面积公式即可求解；（2）将分解到上，利用向量数量积的性质即可求解.
【解答过程】（1）
，，
，
，
.
（2）点是的中点，
，
，
.
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点，，，设.若，求实数k的值．
【解题思路】求出的坐标，再利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的条件列式计算作答.
【解答过程】三点，，，则，
，因为，
则有，解得，
所以实数k的值是.
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知，且是平行四边形，求顶点D的坐标．
【解题思路】由平行四边形的性质可得, 建立方程求解即可.
【解答过程】设，
因为是平行四边形，
所以,
即，
解得，
故顶点D的坐标为.
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
【解题思路】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【解答过程】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在实数使得，
∴，，，联立解得.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出的坐标，设点P的坐标为(a，a，1)和Q的坐标为(b，b，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q的坐标，进而可求出λ.
【解答过程】以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得 ，
所以点Q的坐标为，因为，所以＝λ，
所以，故λ＝－4.
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点， ，设,.若与垂直，求满足的关系式.
【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.
【解答过程】,，
，，，
，
所以，
所以，即.
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数k的值．
【解题思路】（1）根据空间向量的运算，先求出，，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出，，根据垂直关系可知它们数量积为，据此计算.
【解答过程】（1）因为，，
所以，，
所以
（2）因为，，
所以，由（1），
因为，所以，
所以，解得.
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点，，，设，.
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求的值.
【解题思路】（1）由可得存在非零实数，使得，根据向量的坐标运算结合，即可求解；
（2）根据向量垂直的条件即可解答.
【解答过程】（1）∵，，，
∴，
又，且，
∴存在非零实数，使得，
∴，
∴，
∴或；
（2），，
∴，
∵向量与互相垂直，
∴，解得，
故.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；
（2）利用空间向量共线定理得到关于的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得，从而得到点E的坐标.
【解答过程】（1）因为，，
所以，
则.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设，
因为，，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，解得，满足，
所以，即，
所以线段AB上存在一点E，使得，且.
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．
【解题思路】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有 ，，，，，，，，
所以，，.
所以.
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【解题思路】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【解答过程】（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，所以
故与夹角的余弦值为.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点，，.
(1)求的面积；
(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．
【解题思路】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【解答过程】（1）由题设，，则，
所以，故在中，
故的面积为.
（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，
所以，即，
所以，可得，
当它们反向共线，即且时，有，无解，
综上，.
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【解题思路】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；
（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；
（3）转化为求即可.
【解答过程】（1）解：如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）解：因为，所以
因为，且,
所以；
（3）解：因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.

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