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专题1.5 空间向量的应用【十大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求平面的法向量】 2
【题型2 利用空间向量证明线线平行】 3
【题型3 利用空间向量证明线面平行】 5
【题型4 利用空间向量证明面面平行】 7
【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 9
【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 10
【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 12
【题型8 利用空间向量研究距离问题】 15
【题型9 利用空间向量求空间角】 17
【题型10 利用空间向量研究存在性问题】 18
【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】
1．空间中点、直线和平面的向量表示
(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(3)平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.
【题型1 求平面的法向量】
【例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】
1．空间中直线、平面的平行
(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0.
(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
2．利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
3．证明线面平行问题的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
4．证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
【题型2 利用空间向量证明线线平行】
【例2】（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.
【变式2-1】（2023春·高二课时练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．
【变式2-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【题型3 利用空间向量证明线面平行】
【例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.
【变式3-2】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值；
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【题型4 利用空间向量证明面面平行】
【例4】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【变式4-2】（2023春·高一课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面.
【变式4-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】
1．空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
2．证明两直线垂直的基本步骤：
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
4．证明面面垂直的两种方法：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
【题型5 利用空间向量证明线线垂直】
【例5】（2023春·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：；
【变式5-1】（2023秋·广东广州·高一校考期中）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：.
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【题型6 利用空间向量证明线面垂直】
【例6】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
【变式6-2】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知平行六面体的所有棱长均为1，．用向量解决下面的问题
(1)求的长；
(2)求证：平面．
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在平面内求一点G，使平面.
【题型7 利用空间向量证明面面垂直】
【例7】（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若 .
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
【变式7-2】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．
【知识点4 用空间向量研究距离、夹角问题】
1．距离问题
(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
2．夹角问题
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【题型8 利用空间向量研究距离问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．
(1)求点M到直线的距离；
(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.
【变式8-1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面 平面；
(2)求平面与平面的距离．
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
【题型9 利用空间向量求空间角】
【例9】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）如图，三棱柱中，面面，，，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式9-1】（2023春·陕西西安·高一校考期末）如图1，在中，，，，，都在上，且，，将，分别沿，折起，使得点，在点处重合，得到四棱锥，如图2.

(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)若为的中点，求钝二面角的余弦值.
【变式9-2】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面（垂足H在矩形内），E为棱的中点，平面.

(1)证明：；
(2)若，直线PC与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式9-3】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【题型10 利用空间向量研究存在性问题】
【例10】（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式10-1】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
【变式10-2】（2023·河北衡水·河北校考三模）图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．
(1)求证：平面平面ABED．
(2)在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
专题1.5 空间向量的应用【十大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求平面的法向量】 2
【题型2 利用空间向量证明线线平行】 5
【题型3 利用空间向量证明线面平行】 7
【题型4 利用空间向量证明面面平行】 12
【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 17
【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 20
【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 24
【题型8 利用空间向量研究距离问题】 30
【题型9 利用空间向量求空间角】 36
【题型10 利用空间向量研究存在性问题】 41
【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】
1．空间中点、直线和平面的向量表示
(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(3)平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.
【题型1 求平面的法向量】
【例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.
【解题思路】设平面的一个法向量为，
又，
由，
即，
又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，
故选：B.
【变式1-1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据法向量的求解方法求解即可.
【解题思路】解：由题知，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令得
所以，平面的一个法向量可以是.
故选：A.
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.
【解题思路】是正方形，且，
，
，
，，，，
，，
又，
，，
平面的法向量为，
则，得，，
结合选项，可得，
故选：C.
【变式1-3】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．
【解题思路】依题意得，，则
设，则
，取则，所以
故选：D.
【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】
1．空间中直线、平面的平行
(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0.
(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
2．利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
3．证明线面平行问题的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
4．证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
【题型2 利用空间向量证明线线平行】
【例2】（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.
【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断与共线即可推理作答.
【解题思路】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
则有，又，
两式相加得：，因此与共线，而直线与不重合，
所以.
（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
，
因此与共线，而直线与不重合，
所以.
【变式2-1】（2023春·高二课时练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.
【解题思路】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得.
【解题思路】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点，
所以有， ， ， ，
所以，，则有，所以.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．
【解题思路】利用空间向量共线定理证明.
【解题思路】证明：．
因为，，
所以，
，
．
又因为P为中点，
所以，
从而与为共线向量．
因为直线MN与BP不重合，
所以．
【变式2-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【解题思路】利用坐标法，利用向量共线定理即得.
【解题思路】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
【题型3 利用空间向量证明线面平行】
【例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.
【解题思路】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面
平面的其中一个法向量为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面.
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.
【解题思路】根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线与平面平行的直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.
【解题思路】因为矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．
不妨设的长分别为，以为正交基底，建立空间直角坐标系如图所示，
则， ， ， ，
所以.
因为，，
所以.
又平面的一个法向量是
由,得.
因为平面，
所以平面.
【变式3-2】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值；
【解题思路】由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ACE的法向量和直线BF的方向向量，由，即可得出答案.
【解题思路】因为底面，，平面，所以，．
由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
则，所以．
设平面的一个法向量为．
由得：不妨令，得．
因为平面，所以，解得．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）设点为棱的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可证平面ADE；
（2）延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，若平面，由线面平行的性质可知，设，推出，根据三点共线的结论求出，从而可推出.
【解题思路】（1）
如图，设点为棱的中点，连接，，
∴,，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）
如图，延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，
若平面，由线面平行的性质可知，
设，
∵点为棱的中点，，，
∴ ，
∵，，三点共线，
∴，即，
所以当时，，∴，
又平面，平面，∴平面，
∴存在满足条件的点使得平面，此时.
【题型4 利用空间向量证明面面平行】
【例4】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．
【解题思路】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC．
【解题思路】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【解题思路】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面.
【解题思路】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则有，，， ， ， ，
于是， ，，，
显然有，，所以，，
由，平面，平面，平面，
同理平面， 平面，，
所以平面平面.
【变式4-2】（2023春·高一课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面.
【解题思路】（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面；
（2）利用共线向量定理，可得： ， ，从而利用面面平行的判定定理即可证明.
【解题思路】（1）证明：因为从所在平面外一点O作向量，，，，
所以，
所以
，
故，，，四点共面，证毕.
（2）证明：，从而 ，
∵平面，平面，
∴平面，
由（1）知 ，
∵平面，平面，
∴平面，
因为，平面，
所以平面平面.
【变式4-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明；
（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.
【解题思路】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，
即得令z1=2，则y1=-1，
所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以 .
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2).
因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】
1．空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
2．证明两直线垂直的基本步骤：
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
4．证明面面垂直的两种方法：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
【题型5 利用空间向量证明线线垂直】
【例5】（2023春·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：；
【解题思路】设，则，，，计算得到证明.
【解题思路】设，则，
，
，
，
，故.
【变式5-1】（2023秋·广东广州·高一校考期中）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：.
【解题思路】由题意，利用向量法，根据空间向量的基本定理，结合数量积证明垂直，可得答案.
【解题思路】由题意，连接，如下图：
，
同理，
故
由，，，，则，
故.
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【解题思路】建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可.
【解题思路】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为正方体棱长为1，分别是的中点，
所以，
所以，
所以，
由，
所以，
即.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【解题思路】本题建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，求数量积即可判断.
【解题思路】证明：(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F.
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，.
∵=0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
(方法2)因为点E在边BC上，可设=λ，
于是=()·)=+λ)·()
=+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0，
因此.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【题型6 利用空间向量证明线面垂直】
【例6】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【解题思路】建系，利用空间向量证明线面垂直.
【解题思路】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
平面ABC，则，
，平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，
以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，平面，
所以AB1⊥平面A1BD.
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
【解题思路】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直；
（2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直.
【解题思路】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
（2）由（1）知，，，.
设是平面的法向量，则，，
所以，得，
取，得，，则.
因为，所以，即与共线.
所以平面.
【变式6-2】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知平行六面体的所有棱长均为1，．用向量解决下面的问题
(1)求的长；
(2)求证：平面．
【解题思路】（1）利用转化法将换成，利用求模长即可；
（2）利用向量垂直来证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可.
【解题思路】（1）设，
则，
又，
所以
，
即；
（2）因为，
所以
．
所以，同理可得，
又平面．
所以平面．
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在平面内求一点G，使平面.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得向量，由即得；
（2）设，求出平面内两个不共线向量，由和求得确定点位置．
【解题思路】（1）因为底面，平面，平面，
所以，，又底面为正方形，
所以，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，
∴，，
∴＝0，
∴，即EF⊥CD；
（2）设，则，，，
若使GF⊥平面PCB，则需且，
由，
解得，
由 ，
解得，
因为为平面内两条相交直线，故平面，
∴G点坐标为，即G为AD的中点．
【题型7 利用空间向量证明面面垂直】
【例7】（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.
【解题思路】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.
【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，
则，
所以，
设平面ECA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
设平面DEA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
因为，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若 .
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
【解题思路】（1）取AD中点N，连接EN，，易证得EN⊥平面ABCD，五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案.
（2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；
【解题思路】（1）因为，取AD中点N，连接EN，，
因为，所以，
又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，
所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，，
平面，所以平面，
所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积.
即：
（2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.
点，，，，
所以
得到：
所以，，平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.
证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以；
同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，
平面⊥平面AMD.
【变式7-2】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
【解题思路】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论；
（2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论．
【解题思路】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则，
所以为平面PAD的一个法向量，
又，所以BE⊥AB，
又平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y＝1，可得z＝1，所以，
又，
所以，所以平面PAD⊥平面PCD．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，计算，即可证明结论；
（2）求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，计算法向量的数量积，结果为0，即可证明结论.
【解题思路】（1）
证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；
则 ，
故，，
∴，
∴⊥，即 ；
（2）
证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以,
因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ，
∴M(0,，)，∴(0,,)，
(-4,,)，(4,,)；
设平面BMC的法向量为，
则 ，即，
令 ，则 ；
设平面AMC的法向量为，则 ，
即，令 ，则；
由于，
得⊥，即平面AMC⊥平面BMC．
【知识点4 用空间向量研究距离、夹角问题】
1．距离问题
(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
2．夹角问题
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【题型8 利用空间向量研究距离问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．
(1)求点M到直线的距离；
(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量法求出点到直线的距离即可；
（2）结合（1）中点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.
【解题思路】（1）由题可得AD=2，，
又点P为AB上靠近A的三等分点，所以AP=1．
在中，由余弦定理可得，
，
故，
所以为直角三角形，故DP⊥AB．
因为底面ABCD为平行四边形，所以DP⊥CD．
由直四棱柱性质可知，，
即DP，CD，两两垂直．
故以D为坐标原点，分别以DP，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
则．
因为，过点M作，（点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线，点到垂足的距离）
令，所以，故．
由，解得，所以，故点M到直线的距离为．
（2）因为，，，
设平面的法向量为，则即
令，得，，故．
设直线PD与平面所成角为，
则．
所以直线PD与平面所成角的正弦值为．
【变式8-1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离.
【解题思路】（1）先证线面垂直，再根据面面垂直的判定定理可证结论；
（2）建立坐标系，结合空间向量，利用点到平面的距离公式可求答案.
【解题思路】（1）因为是正方体，所以平面，所以.
又，，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，.
由令，则，，即.
设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面 平面；
(2)求平面与平面的距离．
【解题思路】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明.
（2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案.
【解题思路】（1）法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为.
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
【解题思路】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可.
【解题思路】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；
（2）由(1) ，，，
设平面的法向量，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.
【题型9 利用空间向量求空间角】
【例9】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）如图，三棱柱中，面面，，，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【解题思路】（1）利用线面平行的性质推导出，利用面面平行的性质可推导出，即可证得结论成立；
（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【解题思路】（1）证明：在三棱柱中，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，因此，四边形为平行四边形．
（2）解：因为，平面平面，平面平面，
平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

因，，
则，，，，
，，，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【变式9-1】（2023春·陕西西安·高一校考期末）如图1，在中，，，，，都在上，且，，将，分别沿，折起，使得点，在点处重合，得到四棱锥，如图2.

(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)若为的中点，求钝二面角的余弦值.
【解题思路】（1）（2）依题意可得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【解题思路】（1）由题意可知，，，所以，
故，且，
∴，∴，∴，所以，
又，所以，即，，
故可以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，

易知，，
则，，，，
∴，，
∴，
故异面直线，所成角的余弦值为；
（2）由（1）可知，
∴，，，
设平面法向量为，
由，则，令得，
设平面法向量为，
由，则，令得，
所以，
所以钝二面角的余弦值为.
【变式9-2】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面（垂足H在矩形内），E为棱的中点，平面.

(1)证明：；
(2)若，直线PC与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.
【解题思路】（1）延长交于点，连按，，由线面平行的性质得，进而确定H为CF的中点，利用三角形全等证结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量法求面面角的余弦值.
【解题思路】（1）延长交于点，连接，，
平面，面面，面，则，
又E为棱PC的中点，则H为CF的中点，
∴BH是直角三角形BCF斜边上的中线，
∴，易知，则.
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∵平面，∴CH是PC在平面内的射影，
∴是直线与面所成角，∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，则，∴，
∴，，，，，
∴，，，，
设平面的法向量为，
由，令，则.
设平面的法向量为，
由，令，则.
∴，平面与平面夹角的余弦值为.
【变式9-3】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【解题思路】（1）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得向量，和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）由平面的一个法向量，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解题思路】（1）解：因为平面，且平面，所以，，
又因为，所以，
因为与底面所成的角为，所以，故，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
因为，，可得，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，可得，
取，则，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）解：根据题意，平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，可得，
取，则，，所以
则，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
【题型10 利用空间向量研究存在性问题】
【例10】（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角，
（2）由平面法向量与直线方向向量垂直，结合向量共线，即可由坐标运算求解.
【解题思路】（1）过作于，由于，则,由于,且四边形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
设面的法向量，
则，即，取，得．
设面的法向量，
则，即，则取，得．
，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
（2），,， 面，
面．
设,
若平面，则 ,所以，
所以.
【变式10-1】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由条件证明，再证明，由此可得，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明；
（2）建立空间直角坐标系，技术存在点满足条件，由条件求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程求即可.
【解题思路】（1）因为点P在底面ABC的射影为点H，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，
所以点为的垂心，所以，
因为，，平面，，
所以平面，又平面，
所以；
（2）延长交于点，由（1）可得，
又，所以点为线段的中点，
所以，同理可得，
所以为等边三角形，又，所以，
如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设存在点M，使得BM与平面所成角的余弦值为，且，
则，
设平面的法向量为，，
则，所以，
令，可得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
设直线BM与平面所成角为，则，又，
所以，故，
所以或，又，
所以.
所以在线段PC上存在点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为，且.
【变式10-2】（2023·河北衡水·河北校考三模）图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．
(1)求证：平面平面ABED．
(2)在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）在图1中，连接，交于O，由几何关系可得，，结合图2易得 是二面角 的平面角，由勾股定理逆定理可证，进而得证；
（2）以，， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 ，，求得，同时求出平面的法向量，由点面距离的向量公式求得，进而求得，结合向量公式可求直线EP与平面所成角的正弦值.
【解题思路】（1）如图所示：
在图1中，连接，交于O，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，且．
在图 2 中， 相交直线 ，均与 垂直， 所以 是二面角 的平面角， 因为 ， 所以 ，，所以平面 平面 ；
（2）由 （1） 知， 分别以，， 为 x，y，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，， ，，，，.
设 ，，
则 .
设平面 的法向量为 ，
则， 即 ， 取 ，
因为点 到平面 的距离为 ，
所以 ， 解得 ，
则 ， 所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【变式10-3】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用正方形性质、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用向量线性运算可得，根据二面角的向量求法可构造方程求得的值.
【解题思路】（1）连接，交于点，
四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，
设，则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为；
，解得：，
当，即时，二面角的余弦值为.

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