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专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2
【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3
【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4
【题型5 直线的一般式方程及辨析】 5
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6
【题型7 求直线的方向向量】 7
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 7
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点，且斜率为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程表示（ ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线过点， 则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交
C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果， ，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（ ）
A． B． C． D．2
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线，且向量是直线l的一个方向向量，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．或
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线的方向向量为，直线过点且与垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为＝(1，3)，直线l2的方向向量为＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2
【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5
【题型4 直线的截距式方程及辨析】 6
【题型5 直线的一般式方程及辨析】 8
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 9
【题型7 求直线的方向向量】 11
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 12
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【解题思路】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【解答过程】由两点，可得过两点的直线的斜率为，
又由直线的点斜式方程，可得，即.
故选：B.
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.
【解答过程】依题意，直线的斜率，
所以直线方程为：，即.
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点，且斜率为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点斜式方程求解即可.
【解答过程】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得.
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程表示（ ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【解答过程】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．
故选：C.
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线用斜截式表示为，
故选：B．
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案.
【解答过程】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.
设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，
求得,所以所求直线的斜截式方程为，
故选：B.
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.
【解答过程】斜率，
点斜式方程为，
斜截式方程为.
故选：A.
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【解题思路】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【解答过程】解：由于直线，即，可知斜率，
则与直线垂直的直线斜率为，
由于所求直线在轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是.
故选：A.
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.
【解答过程】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线过点， 则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接利用两点式直线方程得，化简即可.
【解答过程】直线的两点式方程为：，化简得，
故选：B.
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：，
故选：C.
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.
【解答过程】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为，
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】由题意，分截距为或不为两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.
【解答过程】显然，所求直线的斜率存在．
当两截距均为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为；
当两截距均不为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为．
故选：D．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】已知直线的过点点，可通过直线方程的截距式得出其方程为.
【解答过程】由直线过点，则直线的方程为即.
故选：A .
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.
【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为
把点代入求出，即直线方程为
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，
把点代入求出，即直线方程为
综上，直线方程为或
故选：A.
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即.
故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【解题思路】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【解答过程】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程
【解答过程】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
因为直线过点，所以，得，
所以直线方程为，
故选：B.
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交
C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线
【解题思路】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.
【解答过程】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误；
对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误；
对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确.
故选：D.
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】写出点斜式，再化为一般式即可.
【解答过程】由点斜式得，即.
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果， ，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.
【解答过程】由可得，，
因为，，故，.
故直线不经过第四象限.
故选：D.
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线方程化为点斜式方程，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【解答过程】解：由题知，故将直线方程化为点斜式方程得，
因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，即，解得.
故选：A.
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.
【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．
故选：D．
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
【解答过程】在直线上取点、，
故直线的一个方向向量为.
故选：A.
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接根据方向向量的定义解答即可.
【解答过程】明显，
直线即为，
所以直线的一个方向向量是.
故选：D.
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.
【解答过程】由题意，解得：.
故选：A.
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线，且向量是直线l的一个方向向量，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据题意得到直线的一个方向向量为，再结合已知条件，利用向量共线求解即可.
【解答过程】因为直线，直线的一个方向向量为，
又因为向量是直线l的一个方向向量，
所以，解得或.
故选：D.
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【解答过程】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D.
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线的方向向量为，直线过点且与垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先由直线的方向向量求得，再利用直线垂直的性质求得，从而利用点斜式即可求得直线的方程.
【解答过程】因为直线的方向向量为，所以，
又因为直线与垂直，所以，故，
所以由直线过点可得，直线的方程为，即.
故选：A.
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直线方程变为，可得定点 .根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【解答过程】可变形为，
解得，即点坐标为.
因为，所以直线的斜率为，又过点 ，
代入点斜式方程可得，整理可得.
故选：A.
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为＝(1，3)，直线l2的方向向量为＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
【解题思路】根据l1⊥l2，求得l2的斜率即可.
【解答过程】k1＝3，k2＝－k，又l1⊥l2，
∴3×(－k)＝－1.
∴k＝，
∴l2的斜率为－，
∴l2：x＋3y－15＝0.
故选：B.

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