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专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求直线方程】 1
【题型2 直线过定点问题】 2
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 3
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 3
【题型5 根据两直线平行求参数】 4
【题型6 根据两直线垂直求参数】 4
【题型7 直线方程的实际应用】 5
【知识点1 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型1 求直线方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过点和直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式1-3】（2023秋·高一单元测试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【题型2 直线过定点问题】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（ ）
A．直线一定不经过原点
B．直线一定不经过第三象限
C．直线一定经过第二象限
D．直线可表示经过点的所有直线
【知识点2 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）过点，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·高三课时练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023秋·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直线过定点，若直线过点且与平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 根据两直线平行求参数】
【例5】（2023春·河南·高二联考开学考试）已知直线与平行，则（ ）
A．2 B．3 C． D．2或
【变式5-1】（2023秋·湖北黄冈·高二校考期末），，若，则（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
【变式5-2】（2022·全国·高二专题练习）已知条件：直线与直线平行，条件，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）已知直线过、两点，直线的方程为，如果，则值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
【题型6 根据两直线垂直求参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022秋·湖南长沙·高二校考期中）若直线与互相垂直，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【变式6-2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022·全国·高一假期作业）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【知识点3 直线方程的实际应用】
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型7 直线方程的实际应用】
【例7】（2022·高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2022·全国·高二专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，．
（1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）
【变式7-3】（2022秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图．
（1）记，并设，试确定k的取值范围；
（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数；
（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求直线方程】 1
【题型2 直线过定点问题】 3
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 4
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 6
【题型5 根据两直线平行求参数】 7
【题型6 根据两直线垂直求参数】 9
【题型7 直线方程的实际应用】 10
【知识点1 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型1 求直线方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过点和直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.
【解答过程】因为直线过点和，
所以，
所以直线方程为，即.
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【解答过程】由倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即，
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程
【解答过程】当截距时，设直线方程为，
将，代入得，∴方程为
当截距时，过原点和点的直线方程为
又且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高一单元测试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程.
【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即.
由，得或.
故所求直线方程为或.
故选：D.
【题型2 直线过定点问题】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果.
【解答过程】把直线方程整理为，
令，故，所以直线恒过定点为.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线变形为，由且，即可求出定点．
【解答过程】将变形为：，令且，解得，
所以直线恒过定点.
故选：A.
【变式2-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.
【解答过程】直线方程可整理为：，
则由得：，即直线恒过定点.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（ ）
A．直线一定不经过原点
B．直线一定不经过第三象限
C．直线一定经过第二象限
D．直线可表示经过点的所有直线
【解题思路】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
【解答过程】对于直线，令，解得，故直线恒过点，
一定不经过原点，故A正确；
当时直线即为，直线过二、三象限，
当时直线即为，
若，则，，直线过一、二、三象限，
若，则，，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，
故选：B.
【知识点2 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入，即可求解.
【解答过程】设所求的直线方程为，
代入方程解得，
所求的直线方程为.
故选：B.
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）过点，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据垂直关系可得斜率，由点斜式即可求解.
【解答过程】当直线与垂直时，此时原点到直线的距离最大，
,所以所求直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，即，
故选：C.
【变式3-2】（2023·高三课时练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案
【解答过程】解：因为，
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为
，即，
故选：D.
【变式3-3】（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先设出平行于直线的直线系方程，再将点代入方程，进而求得所求直线的方程.
【解答过程】平行于直线的直线方程可设为
又所求直线过点
则，解之得，
则所求直线为
故选：A.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【解答过程】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D.
【变式4-2】（2023秋·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出直线交于轴交点，再设与直线平行的直线方程，代入点的坐标得解.
【解答过程】设直线交于轴于点，令，则，
所求直线与平行，设，把
代入得
所求直线方程为：
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直线过定点，若直线过点且与平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线方程可求得定点；根据直线平行求得直线斜率；利用点斜式方程求得的方程，整理可得一般式方程.
【解答过程】由得： 直线过定点
又直线的斜率且与直线平行 直线斜率为
直线的方程为：，即：，
故选：.
【题型5 根据两直线平行求参数】
【例5】（2023春·河南·高二联考开学考试）已知直线与平行，则（ ）
A．2 B．3 C． D．2或
【解题思路】由直线平行的条件求解即可.
【解答过程】因为，所以，解得或．当时，与重合．故．
故选：A.
【变式5-1】（2023秋·湖北黄冈·高二校考期末），，若，则（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
【解题思路】利用直线平行的性质求解即可.
【解答过程】因为，，，
当，即时，，此时与不平行；
当，即时，有，解得，
经检验，当时，，
所以.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高二专题练习）已知条件：直线与直线平行，条件，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先求出两条直线平行时对应的的值，再判断两者之间的条件关系.
【解答过程】若直线与直线平行，则，故.
当时，为，
此时直线与直线平行.
当时，为，
此时直线与直线平行.
故若直线与直线平行，则，推不出，
若，则直线与直线平行.
故是的必要不充分条件.
故选：C.
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）已知直线过、两点，直线的方程为，如果，则值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
【解题思路】先求直线斜率，再根据两直线平行列式求得值.
【解答过程】因为直线过、两点，所以直线斜率为，
因为直线的方程为，所以直线斜率为，
因为，所以
故选：D.
【题型6 根据两直线垂直求参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平面内两直线垂直，得，解之即可．
【解答过程】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
【变式6-1】（2022秋·湖南长沙·高二校考期中）若直线与互相垂直，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解题思路】根据两条直线互相垂直列关于的方程求解.
【解答过程】因为直线与互相垂直，
所以，化简得，
解得或.
故选：C.
【变式6-2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【解答过程】由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D.
【变式6-3】（2022·全国·高一假期作业）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【解答过程】因为，所以，即，
因为，所以，
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
【知识点3 直线方程的实际应用】
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型7 直线方程的实际应用】
【例7】（2022·高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.
【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率，
∴直线方程为，
∴当蜡烛燃尽时，有，即，
故选：B.
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.
【解答过程】如图所示可知，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为：
整理为一般式即：
分别对应题中的ABD选项.
故选C.
【变式7-2】（2022·全国·高二专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，．
（1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）
【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解.
（2）设，可得，展开配方即可求解.
【解答过程】（1）由题意得，
所以线段所在直线的方程为，即；
（2）设，则草坪的占地面积
故当时，，此时．
【变式7-3】（2022秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图．
（1）记，并设，试确定k的取值范围；
（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数；
（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
【解题思路】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围；
（2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是，
设点，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在，
设直线BC的方程为，求出B点坐标，由直线联立，得到C点坐标，表示出的面积为S，建立关于k的函数关系式．
（3）由（2）得由解得S的范围，得出结果．
【解答过程】（1）由题意得，所以，
即．
（2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则由已知得AN所在直线的方程为，即．
根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得．
解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以．
所以公路BC所在直线的方程为．
令，得，即．
将代入得，，
即
所以．
（3）由（2）得．
有解得舍或．
当时，，满足条件．
故面积的最小值为15，此时．
综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为．

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