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专题2-3 解二元一次方程组
模块1：学习目标
1. 理解消元的数学思想；
2. 能熟练、正确、灵活使用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；
3. 会对一些特殊的方程组进行特殊的求解。
模块2：知识梳理
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
3）代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
4）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
5）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
模块3：核心考点与典例
考点1. 代入消元法
例1．（2023·浙江长兴·期中）解方程组，
【答案】
分析：利用带入消元法消去y，求出x的值，然后将x的值代入①得出y的值，从而得出方程组的解．
【解析】由得： x=-2-4 y， 带入中解得：y=－1，把x=2代入得：x=2，
∴ 方程组的解为：.
点睛：本题主要考查的是利用带入消元法求出方程组的解，属于基础题型．理解消元的方法是解决这个问题的关键．
变式1.（2023·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
，故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
变式2.（2023·辽宁本溪·八年级期中）（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将②式整理后，利用代入消元法求解即可；
（2）将②式整理后，利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）
解：由②得：③
将③代入①得
将代入③得：
原方程组的解为；
（2）
解：由②得：③
将③代入①得：
将代入③得：
原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查用代入消元法解二元一次方程组．掌握代入消元法是解题关键．
考点2. 加减消元法
例1．（2023·山东·德州市九年级期中）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先运用加减消元法求出y，再利用代入法求出x．
（2）先运用加减消元法求出x，再利用代入法求出y．
（1）
5①-②，得，
解得代入①，得，解得，
所以方程组的解为
（2） 原方程组可化简为
②+①，得，解得，
②-①，得，解得，
所以方程组的解为
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，有加减和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单，特殊情况用代入法．
变式1．（2020·浙江嘉兴·统考中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
变式2．（2023·河南·濮阳市八年级期中）解方程组
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用加减法消元法解二元一次方程组即可；
（2）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：，
①×3-②得：-x=-5，解得：x=5，
把x=5代入①得10-y=5，解得：y=5，
∴方程组的解为；
（2）解：整理原方程组得，
②-①得4n=8，解得n=2，
把n=2代入①得2m-2=4，解得m=3，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
考点3. 同解方程组
例1．（2023·广东韶关七年级期中）若方程组与有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】两个方程组有相同的解，即有一对和的值同时满足四个方程，所以可以先求出第一个方程组的解，再把求得的解代入第二个方程组中，得到一个新的关于、的方程，并解得，求出、．
【详解】解：先解，得，
把代入方程组，得，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组．
变式1．（2023·山东济宁·七年级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据方程组，求出，再代入和中，得到关于a、b的方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
由①+②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
把，代入和中得：
，解得：．故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
考点4. 二元一次方程组的错解复原
例1．（2023·湖南怀化·七年级期末）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么的值是（ ）
A．不能确定 B．－3 C．－1 D．1
【答案】D
【分析】将错解代入得到a与b的关系式，再由正确解求出c，联立方程即可求得a、b进而得出答案．
【详解】解：将x=-2，y=2代入ax-by=2，可得：-2a-2b=2，
∵正确的解为x=3，y=2，
∴，解得c=-2，联立，解得，
∴a+b-c=0-1+2=1，故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键在于分析题意，联立方程组，解出答案．
变式1．（2023·河南·安阳市七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6 (2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
（1）解：把代入，
可得：，解得：，
把代入，
可得：，解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把代入，
可得：，解得：，
把代入，
可得：，解得：，
把，代入原方程组，
可得：，由②得：③，
由①+③，可得：，∴，
把代入①，可得：，解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
考点5. 整体构造法求代数式的值
例1．（2023·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
【答案】1
【分析】根据题意，得出，即可求解．
【详解】解： ，得，
∵的解满足，∴，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
变式1．（2023·湖南·长沙市八年级开学考试）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】2
【分析】利用整体思想的得出结果，之后等式两边都除以，即可得出的值．
【详解】解：，
得，；故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解决问题是解题的关键．
变式2．（2023·北京期末）已知：关于x、y的方程组，则x-y的值为( )
A．－1 B．a-1 C．0 D．1
【答案】D
分析：由x、y系数的特点和所求式子的关系，可确定让①-②即可求解．
【解析】，① ②，得x y= a+4 3+a=1.故选：D.
点睛：此题考查了解二元一次方程组，一般解法是用含有a的代数式表示x、y，再计算，但也要注意能简便的则简便．此题中注意整体思想的渗透．
考点6. 根据二元一次方程组的特殊解求参数
例1．（2023·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
【答案】-6
【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】解∶，①×3+②，得，
∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．
变式1.（2023·贵州·七年级期末）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】先将x+2y=1和2x-y=7组成二元一次方程组，解得x、y的值后代入kx-y=4即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，解得：，
把代入得：，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了方程的解，解二元一次方程组，理解方程的解的意义是本题的解题关键．
变式2．（2023·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
【答案】-1
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉即可得出结论．
【详解】解：是常数），
=10，即，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
考点7. 二元一次方程组的整数解问题
例1．（2023·福建福州·七年级期中）关于x，y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【分析】把k看做常数，求出方程组的解，再根据方程组解是整数，求解整数k 值即可求解．
【详解】解：，②-①得：(k-3)y=k，∴y=，
把y=代入①，得x=，
∵方程组解是整数，即和是整数，k是整数，
∴k=0，2，4，6，共4个,故选：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2023·福建·福州年级期中）方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用加减法得到，再由方程组有正整数解，可确定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可．
【详解】解：，①-②得，（k+2）y=6-k，解得，
∵方程组有正整数解，∴k+2=4或k+2=2或k+2=1，
解得k=2或k=0或k=-1，∴整数k有3个，故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法，分数取整数的条件是解题的关键．
考点8. 换元法解二元一次方程组
例1．（2023·山东威海·七年级期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组，求x，y的值．
【答案】(1)；(2)x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．
得．故答案为：
（2）设．
原方程组可化为．解得．即．解得，x=4，y=3．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
变式1.（2023·山东·邹城市七年级阶段练习）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴即的解满足解得故选D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
考点9. 整体代入（加减）消元法解二元一次方程组
例1．（2023·江苏镇江市·七年级期中）【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，把方程代入得：，所以，
将代入得，所以原方程组的解为．
[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】（1）原方程组的解为；（2）
【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】解：将方程变形得:
把方程代入得:， 所以
将代入得，所以原方程组的解为；
，把方程变形，得到，
然后把代入，得，∴，∴；
【点睛】本题考查方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
变式1.（2023·福建泉州·七年级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把代入①得，，所以方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
【答案】
【分析】将方程变形为，再整体代入其他一个方程得到，进而得出x的值，再进一步得到y的值．
【详解】将方程①变形为：③，
将方程③整体代入②中，得，解得：，
将代入③，得，解得：，
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查用整体代换法解二元一次方程组，理解示例并正确运用时关键．
变式2．（2023·湖北八年级期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得 ，得
把代入（3）得，即 所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
【答案】
【分析】② ①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，① ③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可．
【解析】解：② ①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，
① ③×7得：4y＝8，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝ 1， 所以原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　）
A．均用代入消元法 B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法
【答案】C
【分析】根据方程组的特点，选择加减法或代入法即可．
【详解】解：方程组①有用x表示y的方程，适合用代入法；方程组②未知数x的系数相同，y的系数互为相反数，适合用加减消元法，故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法选择，解题关键是明确适合用代入消元法和加减消元法方程组的特征．
2．（2023·河南淇县·七年级期中）用加减法解方程组由②-①消去未知数，所得到的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察两方程发现y的系数相等，故将两方程相减消去y即可得到关于x的一元一次方程．
【详解】解：解方程组，由②-①消去未知数y，所得到的一元一次方程是2x=9，
故选：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】把两个方程相加得3x-3y=6，进而即可求解．
【详解】解：，①+②得：3x-3y=6，∴x-y=2，故选A．
【点睛】本题主要考查代数式的值，掌握解二元一次方程组的加减消元法，是解题的关键．
4．（2023·河北邯郸·校联考二模）解方程组时，经过下列步骤，能消去末知数y的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由消去未知数y，可得方程组中y的未知数系数化为绝对值相等，符号相反，可消去y．
【详解】解：∵消去未知数y，
解方程组中y的未知数系数化为绝对值相等，符号相反，
∴可消去y．故选：D
【点睛】本题考查二元一次方程组加减消元法，关键是化某一未知数系数化为绝对值相等，系数相同用减法，系数相反用加法．
5．（2023·统考二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先仿照已知方程组的解建立一个新的方程组，再解新的方程组即可．
【详解】解：∵ 的解是 ，
∴由方程组可得：，解得 ．故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，利用了类比的方法，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键．
6．（2023·山东淄博·八年级期中）已知关于，的二元一次方程组，的解为，其中“ ”是不小心被墨水涂的，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将，代入，得，将代入，即可求解．
【详解】解：将，代入，得，
将代入，得，解得．故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．
7．（海南省海口市第十四中学2021-2022学年七年级下学期第一次练习数学试题）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
【答案】B
【分析】根据题意即得出，，即可用a和c表示出b，即得出a和c的关系．
【详解】根据题意可知，，
∴，，∴，∴．故选B．
【点睛】本题考查解二元一次方程中的代入消元．正确的用a和c表示出b是解题关键．
8．（2023·河南·漯河市七年级期中）若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先解方程组，再把方程组的解代入和，求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同，
∴方程组的解满足四个方程，解方程组得，，
把分别代入和得，
，，解得，，；
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的意义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．
9．（2023·浙江七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】利用加减消元法消去a，得：x+2y=3，故①③正确；当a=-2时，代入方程组计算得：x+y=0，故②正确；解出方程组的解，根据条件得x+y=4，把方程组的解代入得a=2，故④正确．
【详解】解：，①×3+②得：4x+8y=12，∴x+2y=3，
∴不论a取何值，方程组总有一组解，故①③正确；
当a=-2时，方程组为：，①+②得：2x+2y=0，∴x+y=0，
∴x，y的值互为相反数，故②正确；
，解得：，
∵，∴x+y=4，∴2a+1+1-a=4，∴a=2，故④正确；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出x+y的值，这样比较简便．
10.（2023·广东·揭阳模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，由，可得：，
∵，为整数，∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二元一次方程组的解为________．
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：．①+②×2得：7x=14，解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1解得：y=3，
所以，方程组的解为，故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．（河南省商丘市睢县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）解方程组适合用_______消元法，解方程组适合用_______消元法．
【答案】 加减 代入
【分析】根据加减消元法适用于未知数前面系数不为1的方程组，代入消元法适用于未知数前系数是1的方程组，即可进行解答．
【详解】解:根据题意得：方程组中，-5y和5y符号相反，用加减消元法更合适；
方程组中，用代入法直接将x=4y代入x+5y=9中更合适．
故答案为：加减，代入．
【点睛】本题主要考查了选择合适的方法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法适用的情况是解题的关键．
13．（2021·山东枣庄·统考中考真题）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相减即可得．
【详解】解：，由①②得：，则，故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
14．（2023·广东清远·统考一模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________．
【答案】6
【分析】先消元用 表示出方程组的解，再代入已知条件，即可求得．
【详解】因为，故可得，
代入，则，则4p=24,解得．故答案为：6．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解一元一次方程的应用，属基础题，关键是能根据题意得出关于p的方程
15．（宁夏银川2021-2022学年下学期九年级第二次模拟数学试题）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】-2
【分析】根据等式的性质方程①与方程②相减即可．
【详解】解：，得，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解等式的性质是解决问题的前提，方程①与方程②相减是解决问题的关键．
16．（2023·江苏·扬州市江都区七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
【答案】-6
【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】解∶，①×3+②，得，
∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．
17．（2023·辽宁·兴城市七年级期中）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是________
【答案】
【分析】将和b=6代入方程组，解出k的值．然后再把代入y=kx+b中解出b的值．
【详解】解：依题意将代入y=kx+6，得：2=-k+6，k=4；
将和k=4代入y=kx+b，得1=3×4+b，∴b=-11．故答案为：-11．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
18．（2023·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
【答案】-1
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉即可得出结论．
【详解】解：是常数），
=10，即，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·天津七年级期中）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用加减消元法解方程即可；（2）利用加减消元法解方程即可．
（1）②－①×2得： 解得
将代入①得：，则方程组的解为．
（2）②+①得：解得
将代入①得：，则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练利用加减消元法先求出一个未知数的值是解本题的关键．
20．（2023·山东济南市·八年级期末）解方程组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二元一次方程组的代入消元法即可求解．
（2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：把①代入②得：
把代入①得：∴方程组的解是：
（2）解：由①得：2x＋2y＝8 ③
由③－②得：把代入①得：∴方程组的解是：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法，灵活运用消元的思路是解题的关键．
21．（2023·成都嘉祥外国语学校八年级期末）如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．
【答案】，，0
【分析】根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值.
【详解】解：因为小明看错了方程①中的，所以满足方程②，
即，解得，因为小红看错了方程②中的，所以满足方程①，
即，解得，所以．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解.
22.（2023·江苏连云港市·）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．
【答案】（1）a=4 b=5（2）x=—2，y=—1.8
分析：（1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解；（2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可．
【解析】（1）根据题意得： 解得：
（2）原方程组是： 利用加减消元法解得：.
点睛：本题主要考查了方程组的解的定义，正确解方程组是解题的关键．
23．（2023·河北·七年级阶段练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
(1)解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
(2)解方程组
【答案】(1)①；②(2)原方程组的解为
【分析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可；
（2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可．
（1）解：把方程①代入方程②，则方程②变为，解得：，
将代入①，得，∴原方程组的解为；
（2）由题意可知：①×2得：，
将③代入②，得，解得：，
将代入①，得，∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元．
24．（2023·河南驻马店·七年级期末）已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
(3)无论实数m取何值，关于x，y的方程m-2y+mx+4=0总有一个固定的解，请求出这个解．
【答案】(1)方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，(2)m＝﹣(3)固定的解为：
【分析】（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解；
（2）将x+y=0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得m的值；（3）当含m项为零时，取x=0，代入可得固定的解．
（1）解：方程x+2y-6=0，即x+2y=6，解得：x=6-2y，
当y=1时，x=4；当y=2时，x=2，
方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；
（2）解：由题意得：，解得，
把代入x-2y+mx+4=0，得-6-12-6m+4=0，解得m=-；
（3）解：∵m-2y+mx+4=0，∴（1+x）m-2y=-4，∴当1+x=0时，即x=-1时，y=2，
即固定的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
25.（2023·重庆黔江·七年级期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【答案】(1)(2)8或5或4或3(3)-4或0或2
【分析】（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为自然数，x为正整数，可得x-2取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得4-k=8或4或2或1，从而得到k取-4或0或2或3，即可求解．
（1）解：∵，∴，解得： ，
∵、为正整数，∴是3的倍数，且，∴0＜y＜4，∴y=1，
∴方程的正整数解为；故答案为：
（2）解：∵为自然数，x为正整数，∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，∴8是的倍数， ∴4-k=8或4或2或1，
∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时，，符合题意；
当k=0时，，符合题意；
当k=2时，，符合题意；
当k=3时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为-4或0或2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能得出方程组的解是解（3）的关键．
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专题2-3 解二元一次方程组
模块1：学习目标
1. 理解消元的数学思想；
2. 能熟练、正确、灵活使用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；
3. 会对一些特殊的方程组进行特殊的求解。
模块2：知识梳理
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
3）代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
4）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
5）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
模块3：核心考点与典例
考点1. 代入消元法
例1．（2023·浙江长兴·期中）解方程组，
变式1.（2023·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·辽宁本溪·八年级期中）（1） （2）
考点2. 加减消元法
例1．（2023·山东·德州市九年级期中）解方程组：
(1) (2)
变式1．（2020·浙江嘉兴·统考中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
变式2．（2023·河南·濮阳市八年级期中）解方程组
(1) (2)
考点3. 同解方程组
例1．（2023·广东韶关七年级期中）若方程组与有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1．（2023·山东济宁·七年级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（　　　）
A． B． C． D．
考点4. 二元一次方程组的错解复原
例1．（2023·湖南怀化·七年级期末）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么的值是（ ）
A．不能确定 B．－3 C．－1 D．1
变式1．（2023·河南·安阳市七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
考点5. 整体构造法求代数式的值
例1．（2023·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
变式1．（2023·湖南·长沙市八年级开学考试）已知，满足方程组，则的值为______．
变式2．（2023·北京期末）已知：关于x、y的方程组，则x-y的值为( )
A．－1 B．a-1 C．0 D．1
考点6. 根据二元一次方程组的特殊解求参数
例1．（2023·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
变式1.（2023·贵州·七年级期末）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 ．
变式2．（2023·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
考点7. 二元一次方程组的整数解问题
例1．（2023·福建福州·七年级期中）关于x，y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
变式1．（2023·福建·福州年级期中）方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点8. 换元法解二元一次方程组
例1．（2023·山东威海·七年级期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组，求x，y的值．
变式1.（2023·山东·邹城市七年级阶段练习）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A． B． C． D．
考点9. 整体代入（加减）消元法解二元一次方程组
例1．（2023·江苏镇江市·七年级期中）【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，把方程代入得：，所以，
将代入得，所以原方程组的解为．
[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
变式1.（2023·福建泉州·七年级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把代入①得，，所以方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
变式2．（2023·湖北八年级期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得 ，得
把代入（3）得，即 所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　）
A．均用代入消元法 B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法
2．（2023·河南淇县·七年级期中）用加减法解方程组由②-①消去未知数，所得到的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
4．（2023·河北邯郸·校联考二模）解方程组时，经过下列步骤，能消去末知数y的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·统考二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东淄博·八年级期中）已知关于，的二元一次方程组，的解为，其中“ ”是不小心被墨水涂的，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（海南省海口市第十四中学2021-2022学年七年级下学期第一次练习数学试题）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
8．（2023·河南·漯河市七年级期中）若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023·浙江七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
10.（2023·广东·揭阳模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二元一次方程组的解为________．
12．（河南省商丘市睢县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）解方程组适合用_______消元法，解方程组适合用_______消元法．
13．（2021·山东枣庄·统考中考真题）已知，满足方程组，则的值为______．
14．（2023·广东清远·统考一模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________．
15．（宁夏银川2021-2022学年下学期九年级第二次模拟数学试题）已知，满足方程组，则的值为______．
16．（2023·江苏·扬州市江都区七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
17．（2023·辽宁·兴城市七年级期中）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是________
18．（2023·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·天津七年级期中）解方程组：
(1)； (2)．
20．（2023·山东济南市·八年级期末）解方程组
（1） （2）
21．（2023·成都嘉祥外国语学校八年级期末）如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．
22.（2023·江苏连云港市·）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．
23．（2023·河北·七年级阶段练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
(1)解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
(2)解方程组
24．（2023·河南驻马店·七年级期末）已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
(3)无论实数m取何值，关于x，y的方程m-2y+mx+4=0总有一个固定的解，请求出这个解．
25.（2023·重庆黔江·七年级期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
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