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§10.2　事件的相互独立性(二)
1．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为(　　)
A．0.48 B．0.4 C．0.32 D．0.24
2．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　)
A. B. C. D.
3．甲、乙、丙三人射击，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，若三人同时射击，则目标被击中的概率为(　　)
A. B. C. D.
4．(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1,2,3,4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”．则下列结论正确的是(　　)
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(ABC)＝ D．P(B)＝
5．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为(　　)
A. B. C. D.
6．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A. B. C. D.
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
8．某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．
9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑的成绩在13秒内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)恰有两人合格的概率；
(3)至少有一人合格的概率．
10．2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5，7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
11．某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
12. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片上的概率是(　　)
A. B. C. D.
13．如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为(　　)
A. B. C. D.
14．某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　)
A. B. C. D.
15. 如图为类似“杨辉三角”图形的竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下，则其落到B处的概率是________．
16．为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．
(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
(2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率．
§10.2　事件的相互独立性(二)
1．D　2.D　3.D　4.AB　5.B
6．D　[由题意知，P()·P()＝，
P()·P(B)＝P(A)·P()．
设P(A)＝x，P(B)＝y，x，y∈(0,1)，
则
即
∴x2－2x＋1＝，
解得x＝或x＝(舍去)，
故P(A)＝.]
7．0.26
8.
解析　设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝.
9．解　(1)三人都合格的概率
P1＝××＝.
(2)恰有两人合格的概率P2＝××＋××＋××＝.
(3)至少有一人合格的概率
P＝1－
＝.
10．解　(1)由频率分布直方图，可得
0．05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，
则a＋b＝0.55，①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72.
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3.
①“抽取的3人中有2人在[7.5,8.5)内”为事件AB∪AC∪BC，且AB与AC与BC两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立的定义，得
P1＝P(AB∪AC∪BC)
＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3
＝0.189.
②“抽取的3人中有3人在[7.5,8.5)内”为事件ABC，由相互独立的定义，得
P2＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.3×0.3×0.3＝0.027.
所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为
P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.
11．B　[因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，
依题意得
即
解得m＋n＝，
所以m＋n＝.]
12．A　[由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：
第一条：A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条：A→C→B→A，
P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A片上的概率P＝P1＋P2＝＋＝.]
13．C　[灯不亮包括4个开关都断开，或开关C和D都断开且开关A和B中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
∴灯不亮的概率为×××＋×××＋×××＝.
∵灯亮与灯不亮是对立事件，
∴灯亮的概率是1－＝.]
14．C　[比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况．
①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜．
所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P＝3＋××＋××＝.]
15.
解析　首先分清从E处出发到达B处的具体途径，然后继续求解．
钢珠从E处落下，①有的概率落到EF，经FH后有的概率落到HJ，经JM后有的概率落到MN，最后落到B处，
即P1＝××＝；
②有的概率落到EF，经FH后有的概率落到HK，经KO后有的概率落到ON，最后落到B处，
即P2＝××＝；
③有的概率落到EG，经GI后有的概率落到IK，经KO后有的概率落到ON，最后落到B处，
即P3＝××＝.
所以P＝P1＋P2＋P3＝.
16．解　(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
(2)消费总额为1 500元的概率是
0．1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是
(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1
＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是
(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋(0.2)3＋2×(0.2)2×
0．1＝0.033，
0．002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.

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