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重难点突破
专题二　函数实际应用题
类型一　购买、销售问题
1. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1 000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元，求利润y(元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10 000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
2. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5 200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2 800元．
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买).购买 A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
3. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只， 正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
4. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
5. 为坚定不移走生态优先、绿色发展之路，使人民群众更有幸福感，让大地更加山清水秀，植物园区计划打包销售某品种花卉，该品种花卉的销售单价y(元)与一次性销售量x(株)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当0＜x≤200时，求y与x的函数关系式；
(2)若某零售商在该植物园区一次性批发该品种花卉共支付1 920元，求此次批发数量；
(3)若培养每株该品种花卉需要8元，某零售商一次性批发该品种花卉x(100≤x≤300)株使得园区获得的利润为w元，当x为何值时，园区获得的利润最大？最大利润是多少元？
　第5题图
类型二　跨学科问题
1. 声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)之间近似满足一次函数关系．经试验得到当温度为10 ℃时，声音的传播速度为337 m/s；当温度下降至5 ℃时，声音的传播速度为334 m/s.
(1)求v与t之间的函数关系式；
(2)某人在距烟花燃放地1 664 m处看烟花，在看见烟花5 s后才听到声响，则此时的温度为多少？(忽略光的传播时间)
2. 如图①，小明在测浮力的实验中，将一正方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入到水里，研究发现从石块刚接触水面到恰好完全浸入水中，弹簧测力计的示数F拉力是石块下降的高度x的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度x得到如下表：
x/cm 0 2 6 7 8 10 12 …
F/N 4 4 4 3.5 3.25 2.5 2.5 …
　
第2题图
(1)小明在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图②中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的值；
(2)若某一时刻该石块所受的浮力为0.75 N，求此时石块下降的高度．(温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力－F浮力．)
3. 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
　第3题图
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y).其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
拓展类型　抛物线型问题
1. 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型(如图所示)，现大棚的管理员需要对其进行加固设计并已知以下两个素材信息：
素材1：大棚的一端固定在距离地面1米的墙体A处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米，大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
素材2：为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
请你根据以上素材信息，帮助管理员完成以下任务：
(1)任务1：确定大棚形状：结合素材1，在图中建立合适的平面直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线的函数表达式(不需写自变量取值范围)；
(2)任务2：探索加固方案：请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：
①从何处立第一根竹竿；
②共需多少根竹竿；
③所需竹竿的总长度(写出计算过程).
　第1题图
2. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分．
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
　第2题图
专题二　函数实际应用题
类型一　购买、销售问题
1. 解：(1)由题意得y＝1 000(x－50)＝1 000x－50 000；
(2)设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有(m＋1 000)件航天模型玩具，
由题意得(m＋1 000)(60－50)×20%＝10 000，
解得m＝4 000，
答：该商店继续购进了4 000件航天模型玩具．
2. 解：(1)设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，
根据题意得，
解得，
答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1 000元；
(2)设购买A种型号帐篷m顶，则购买B种型号帐篷(20－m)顶，购买帐篷的总费用为w元，
∵A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的，
∴m≤(20－m)，
解得m≤5.
根据题意得w＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000，
m的取值范围为0∵－400<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝5时，w有最小值，
w最小＝－400×5＋20 000＝18 000，
20－m＝20－5＝15.
答：为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18 000元．
3. 解：(1)设甲头盔的单价是a元，则乙头盔的单价是(a－11)元，由题意得：
20a＋30(a－11)＝2 920，
解得a＝65，a－11＝65－11＝54.
∴甲头盔的单价是65元，乙头盔的单价是54元；
(2)设再次购进甲种头盔x只，则再次购进乙种头盔(40－x)只，总费用为w，由题意得：
w＝65x×80%＋(54－6)×(40－x) ＝4x＋1 920，
由x≥(40－x)，解得x≥13，
∵4＞0，且头盔的数量必须取整数，根据一次函数的性质，当x＝14时，w最小，
∴w的最小值为4×14＋1 920＝1 976.
答：应购买14只甲种头盔，可使此次购买头盔的总费用最小，最小费用是1 976元．
4. 解： (1)y＝－2x＋60；
(2)根据题意得(x－10)(－2x＋60)＝192，
解得x1＝18，x2＝22.
又∵10≤x≤19，
∴x＝18.
答：销售单价应为18元；
(3)由题意得w＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x2＋80x－600＝－2(x－20)2＋200，
∵a＝－2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴为直线x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198.
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
5. 解：(1)当0＜x＜100时，y＝15；
当100≤x≤200时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
由图象可得，当x＝100时，y＝15，当x＝200时，y＝10，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为
y＝；
(2)∵15×100＜1 920＜10×200，
∴100＜x＜200.
根据题意得(－x＋20)x＝1 920，
整理得x2－400x＋38 400＝0，
解得x1＝160，x2＝240(舍去).
答：此次批发该品种花卉数量为160株；
(3)当100≤x≤200时，
w＝x·(－x＋20－8)＝－(x－120)2＋720，
∵－＜0，
∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝720；
当200≤x≤300时，w＝(10－8)x＝2x，
∵2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝300时，w有最大值，w最大＝2×300＝600.
∵720＞600，
∴当x＝120时，w最大＝720.
答：当x为120时，该植物园区获得的利润最大，最大利润为720元．
类型二　跨学科问题
1. 解：(1)设v与t之间的函数关系式为v＝kt＋b(k≠0)，
根据题意可得，
解得，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t＋331；
(2)∵看烟花处距烟花燃放地1 664 m，看见烟花5 s后才听到声响，
∴此时声音在空气中的传播速度v＝1 664÷5＝332.8(m/s)，
将v＝332.8代入v＝0.6t＋331中，解得t＝3，
答：此时的温度为3 ℃.
2. 解：(1)画出函数图象如解图，由解图可知，当x＝7时，点不在直线上，
∴x＝7时的数据是错误的．
由题意可知，当6≤x≤10时，记录弹簧测力计的示数F拉力/N是石块下降的高度x/cm的一次函数，
设F拉力/N与x/cm的函数解析式为F拉力＝kx＋b(k≠0)，
将点(6，4)，(10，2.5)代入得，解得，
∴F拉力＝－x＋(6≤x≤10)，
∴当x＝7时，F拉力＝3.625 N；
第2题解图
(2)由题意知，此时石块已入水，且弹簧测力计的示数是石块下降的高度的一次函数，
∵石块所受浮力为0.75 N，G重力＝4 N，
∴F拉力＝G重力－F浮力＝4－0.75＝3.25 N，
∴x＝8，
答：该石块下降的高度为8 cm.
3. 解：(1)根据题意，得m＝0，y＝0，
将m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得10l＝50a ，
∴l＝5a；
(2)根据题意，得m＝1 000，y＝50，
将m＝1 000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l＝5a＋250；
(3)联立(1)，(2)中的两个方程，
得，
解得；
(4)把l＝2.5，a＝0.5 代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，
化简，得y＝，
∴y关于m的函数解析式为y＝；
(5)由(4)知y＝，
将m＝100代入解析式y＝ ，
得y＝5，
将m＝200代入解析式y＝，
得y＝10，∵10－5＝5(厘米)，
答：从零刻度线开始，每隔100克质量在秤杆上找到对应刻度线，相邻刻度线间的距离为5厘米．
拓展类型　抛物线型问题
1. 解：(1)建立平面直角坐标系如解图(答案不唯一)，
由已知可得A(0，1)，B(6，2)，顶点P的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝3.5，
将点B代入到抛物线的函数表达式中，得36a＋6b＋1＝2
联立可得，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋1；
第1题解图
(2)符合要求的方案(答案不唯一)：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当x＝2时，y＝－x2＋x＋1＝－×4＋×2＋1＝，
当x＝4时，y＝－x2＋x＋1＝－×16＋×4＋1＝3，
＋3＝.
答：所需竹竿总长度为米．
2. 解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2的顶点坐标为(3，2)，
∴C1的最高点坐标为(3，2)，
将A(6，1)代入抛物线y＝a(x－3)2＋2中，
得1＝a(6－3)2＋2，
解得a＝－，
∴抛物线C1：y＝－(x－3)2＋2.
将B(0，c)代入抛物线y＝－(x－3)2＋2中，
得c＝－(0－3)2＋2＝1；
(2)将c＝1代入抛物线y＝－x2＋x＋c＋1中，
得y＝－x2＋x＋2.
根据题意，可知嘉嘉恰好在(5，1)和(7，1)两个点间能接到沙包．
将(5，1)代入抛物线y＝－x2＋x＋2中，
得1＝－×52＋×5＋2，解得n＝；
将(7，1)代入抛物线y＝－x2＋x＋2中，
得1＝－×72＋×7＋2，解得n＝，
∴≤n≤，
∴n的整数值为4和5，
答：符合条件的n的整数值为4和5.

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