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2.1 不等式的性质与区间
不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7可乘方性
性质8可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　
作差法比较大小关系
区间的概念
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a，b]
{x|a＜x＜b} (a，b)
{x|a≤x＜b} [a，b)
{x|a＜x≤b} (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
考点1 由已知条件判断所给不等式是否正确
【例1】已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若，则，故错误；
对B：若，则，故错误；
对C：若，则，，左右同除，有，故错误；
对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.
故选：D.
【变式1-1】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误；
对于B，成立时，不一定成立，比如时，，
此时，错误；
对于C，举反例，当时，满足，此时，，
则有，错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：D
【变式1-2】己知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.
【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A 错误；
对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；
对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；
对于选项D：当时，，故选项D错误.
故选：B
【变式1-3】下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D.
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，则，所以，故C错误；
对于D，若，，则，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
考点2 作差法比较代数式的大小
【例2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为，所以.，
因为，
且，所以，所以，所以.故.
故选： A
【变式2-1】设，，则、的大小关系是 .
【答案】/
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以.
故答案为：
【变式2-2】已知：，则大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
【变式2-3】已知,，则,的大小关系是 ．
【答案】
【分析】利用作差法直接比较大小.
【详解】解：因为,
所以
所以.
故答案为：.
考点3 区间的表示
【例3】不等式组的解集用区间表示为： ．
【答案】
【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示.
【详解】解：∵不等式组 ，
∴，∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【变式3-1】用区间表示集合{x|x>–1且x≠2}= ．
【答案】（–1，2）∪（2，+∞）
【详解】由已知得该集合中的元素大于-1，且不含元素2，
根据区间表示法的规定可知应为（-1,2）∪（2，+∞）,
故答案为（–1，2）∪（2，+∞）.
考点：区间的表示法．
【变式3-2】用区间表示不等式的解集，该集合为 .
【答案】
【分析】根据一元一次不等式以及区间的知识求得正确答案.
【详解】由，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【变式3-3】用区间表示数集{x|2【答案】（2，4]
【分析】根据集合与区间的转化得到结果.
【详解】数集{x|2故答案为（2，4]．
【点睛】(1)用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
考点4 利用不等式求取值范围
【例4】已知，，求的取值范围.
【答案】.
【分析】根据给定条件，用表示出，再利用不等式的性质求解作答.
【详解】令，即，
于是，解得，即，
由，得，而，则，
所以的取值范围是.
【变式4-1】已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
【变式4-2】已知，，求的取值范围.
【答案】
【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.
【详解】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
【变式4-3】设实数，满足，，求的最大值．
【答案】
【分析】利用待定系数法，令，求得，然后利用不等式的性质，求得的最大值.
【详解】令，则，
所以，解得，
所以，
由题意得，
所以，
所以.
故的最大值为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用不等式的性质求最值，属于中档题.2.1 不等式的性质与区间
不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7可乘方性
性质8可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　
作差法比较大小关系
区间的概念
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a，b]
{x|a＜x＜b} (a，b)
{x|a≤x＜b} [a，b)
{x|a＜x≤b} (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
考点1 由已知条件判断所给不等式是否正确
【例1】已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】己知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-3】下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
考点2 作差法比较代数式的大小
【例2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】设，，则、的大小关系是 .
【变式2-2】已知：，则大小关系是 ．
【变式2-3】已知,，则,的大小关系是 ．
考点3 区间的表示
【例3】不等式组的解集用区间表示为： ．
【变式3-1】用区间表示集合{x|x>–1且x≠2}= ．
【变式3-2】用区间表示不等式的解集，该集合为 .
【变式3-3】用区间表示数集{x|2考点4 利用不等式求取值范围
【例4】已知，，求的取值范围.
【变式4-1】已知，，分别求，，，的取值范围．
【变式4-2】已知，，求的取值范围.
【变式4-3】设实数，满足，，求的最大值．

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