资源简介

3.1 函数的概念及其表示（讲）
函数的概念
设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。
函数的三要素（定义域、值域、对应关系）
在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。
考点1 具体函数的定义域
【例1】已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得集合后，与集合进行交运算即可.
【详解】令，
解得，
所以，
又，
故，
故选：B.
【变式1-1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.
【详解】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故选:B.
【变式1-2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由被开方数大于等于0及真数大于0计算即可得.
【详解】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为.
故选：A.
【变式1-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，则由有意义，
得，解得，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式1-4】函数的定义域是 .
【答案】
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.
【详解】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
考点2 抽象函数的定义域
【例2】已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【分析】根据定义域的意义和括号内取值范围相同可求得结果.
【详解】∵的定义域为，即，
∴，
故需，
∴．
∴的定义域为．
故答案为：
【变式2-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域以及对数、分式的定义域求法求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，
所以对于有：，
解得：且，
故函数的定义域是，
故选：B．
【变式2-2】已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域求解即可.
【详解】因为定义域为，所以的定义域为，解得，
由分母不为，得，即，所以函数定义域为：.
故选：.
【变式2-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数关系，结合抽象函数定义域，列出不等式组求解即得.
【详解】由函数的定义域为，得，
因此函数中，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
考点3 复合函数的定义域
【例3】已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】根据函数成立的条件，建立条件关系即可.
【详解】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
【变式3-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
【变式3-2】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域.
【详解】由，解得，所以的定义域为.
令，则，所以的定义域为.
故选：D
【变式3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式列出其需满足的条件，即可求得答案.
【详解】由题意知函数需满足，即，
解得且，即，
故函数的定义域是，
故答案为：
考点4 求函数值
【例4】已知，则 ．
【答案】0
【分析】由解析式直接代入求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故答案为：0.
【变式4-1】已知函数，则 .
【答案】
【分析】将代入函数解析式中计算即可.
【详解】因为函数，
所以，
故答案为：.
【变式4-2】已知函数，则
【答案】
【分析】先求出并判断是否大于1，再代入求解即可.
【详解】，
所以，
故答案为：
【变式4-3】已知函数，则 .
【答案】7
【分析】根据解析式代入即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：7
考点5 求函数值域
【例5】若，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式求最值即可求得函数的值域.
【详解】∵.
当时，，
当且仅当，即时取等号；
故函数的值域为.
故答案为：.
【变式5-1】求函数的值域．
【答案】
【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解.
【详解】，
当时，，
当时，，
令，则，，
所以，
由对勾函数的值域可知，当时，，
所以，
所以．
综上所述，函数的值域为．
【变式5-2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
【变式5-3】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法以及直线斜率的几何意义、直线与圆的位置关系进行求解.
【详解】依题意且，所以函数的定义域为.
设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点，
如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为，
当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即，
则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以.
所以函数的值域为.
故选：C.

考点6 判断函数是否相等
【例6】下列各组函数中表示同一函数的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件；
对于B选项，定义域为，的定义域为，，故不满足条件；
对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件；
对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件．
故选：D．
【变式6-1】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【分析】根据相同函数的定义，逐个判断即可.
【详解】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A：的值域为，的值域为，所以A错误；
对于B：的定义域需满足，即为，
的定义域满足，即为，且，
所以和是同一个函数，B正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以C错误；
对于D：的定义域满足，即为，
的定义域需满足，即为，所以D错误，
故选：B
【变式6-2】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.
【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，，定义域不同，故不为同一函数．
故选：C．
【变式6-3】下列各组函数表示相等函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据相等函数的定义即可求解.
【详解】由题知：
对于A：的定义域为，
的定义域为，两者的定义域不同，不是相等函数.故A选项错误；
对于B：，其定义域为，
的定义域为，两者定义域相同对应法则相同，所以是相等函数.
故B选项正确；
对于C：与对应法则不同，不是相等函数.故C选项错误；
对于D：的定义域为，
的定义域为或，
两者的定义域不同，不是相等函数.
故D选项错误；
故选：B.
考点7 求函数解析式
【例7】已知，则=（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法求解函数解析式，即可得答案.
【详解】令，则 ，则，
所以，
故选：D.
【变式7-1】已知，那么 ．
【答案】
【分析】利用解方程组法求解即可.
【详解】∵，，
∴．
联立方程组，
解得．
故答案为：.
【变式7-2】已知满足，则 ．
【答案】
【分析】利用方程组法即可得解.
【详解】因为，所以，
联立，解得.
故答案为：.
【变式7-3】已知二次函数满足，且．求的解析式；
【答案】
【分析】由题意设，再由已知得，根据多项式相等列方程求参即可.
【详解】由，设，
由，则，
整理得，则，解得．
所以．3.1 函数的概念及其表示（讲）
函数的概念
设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。
函数的三要素（定义域、值域、对应关系）
在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。
考点1 具体函数的定义域
【例1】已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式1-4】函数的定义域是 .
考点2 抽象函数的定义域
【例2】已知函数的定义域为，求的定义域 .
【变式2-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点3 复合函数的定义域
【例3】已知的定义域为，则函数的定义域为
【变式3-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
考点4 求函数值
【例4】已知，则 ．
【变式4-1】已知函数，则 .
【变式4-2】已知函数，则
【变式4-3】已知函数，则 .
考点5 求函数值域
【例5】若，则函数的值域是 .
【变式5-1】求函数的值域．
【变式5-2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【变式5-3】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
考点6 判断函数是否相等
【例6】下列各组函数中表示同一函数的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式6-1】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式6-2】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】下列各组函数表示相等函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
考点7 求函数解析式
【例7】已知，则=（ ）．
A． B．
C． D．
【变式7-1】已知，那么 ．
【变式7-2】已知满足，则 ．
【变式7-3】已知二次函数满足，且．求的解析式；

展开更多......

收起↑