资源简介

3.2 函数的性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）（拓展）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）（拓展）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题（拓展）
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题（拓展）
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
考点1 求函数单调区间
【例1】函数的单调递减区间为 ．
【答案】.
【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令且其对称轴为，且，
的单调减区间是， 又∵在上是增函数，
∴函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【变式1-1】函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果.
【详解】由，得到或，
函数的图像如图所示，
由图知，函数的单调递减区间为，
故答案为：.

【变式1-2】函数的单调增区间为
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案.
【详解】由得，
因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
【变式1-3】已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，
又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数的单调增区间是．
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系．
考点2 由单调性解不等式
【例2】函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于x的不等式即可求解.
【详解】由为奇函数，得，
所以不等式等价于.
又因为在上单调递减，
所以，即.
故选：A
【变式2-1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性、单调性分析运算即可得解.
【详解】解：∵奇函数在上为增函数，且，
∴在上为增函数，，
则不等式等价为不等式，即.
∴当时，，由函数在上为增函数，得：；
当时，，由函数在上为增函数，得：；
∴不等式的解集为.
故选：B.
【变式2-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，
求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，且，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上：的解集为.
故选：B
【变式2-3】已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定函数的单调性，变换得到，解不等式即可.
【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
，即，故，解得.
故选：A.
考点3 由奇偶性求参数值
【例3】已知是奇函数，则 .
【答案】/
【分析】根据函数奇偶性由化简代入计算可解得.
【详解】由函数可知其定义域为，
所以.
因为是奇函数，所以，
即，解得.
故答案为：
【变式3-1】若为偶函数，则 .
【答案】2
【分析】由诱导公式可得，根据偶函数的性质得，解出a，验证即可.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
【变式3-2】若函数是偶函数，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】根据偶函数定义，结合对数运算化简可得.
【详解】的定义域为R，
，
因为函数是偶函数，
所以，
所以恒成立，故，即.
故答案为：
【变式3-3】函数是奇函数，则 .
【答案】1
【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解，再代入函数解析式求值.
【详解】因为，所以，
因为是奇函数，所以，即，
所以，解得，
则.
故答案为：1
考点4 由奇偶性求解析式
【例4】为定义在上的奇函数，当时，，则时， ．
【答案】
【分析】由时，得到，从而，再利用为定义在上的奇函数求解.
【详解】解：当时，，
则，
因为为定义在上的奇函数，
所以．
故答案为：
【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证.
【详解】解：当，又因为为上的奇函数，
所以，解得，
又，所以当．
故答案为：.
【变式4-2】已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时， .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求对称区间的解析式即可.
【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，.
则当时，，所以.
故答案为：.
【变式4-3】已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】由奇函数定义计算即可.
【详解】由函数是上的奇函数，得，
而当时，，
所以有，
综上所述，，
故答案为：
考点5 由奇偶性解不等式
【例5】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，
则函数在上为增函数，
因为，由可得，则，解得，
因此，满足的的取值范围是.
故选：C.
【变式5-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可求得时的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当时的解析式，分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，则，
则，所以，
则当时，，
当时，，
则，
则当时，不等式为，
解得，
当时，不等式为，
解得，
故不等式的解集为，
故选：A.
【变式5-2】已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集.
【详解】由题意可知，当时，，当时，，
当或时，，
当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；
当时，，则，
由已知可得或，解得或，又，所以.
综上，可得不等式的解集为.
故选：A
【变式5-3】在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范围是.
故答案为：.
考点6 由周期性求函数值
【例6】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知的图象关于直线对称，是以8为周期的周期函数，根据题意结合函数性质分析求解.
【详解】因为，可知的图象关于直线对称，
且是定义在上的奇函数，
则，且，
即，
可知是以8为周期的周期函数，
因为当时，，可得，
则
.
故选：C.
【变式6-1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.
【详解】解：因为在上的奇函数，且，
所以，即，
所以，则的周期为，
所以，
故选：A
【变式6-2】已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
.
故选：A.
【变式6-3】已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据表达式得出规律，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中， 定义域为，，
当时，，解得：，
当时，，
即
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵，
可得：
，
故选：D.
考点7 由对称性求函数问题
【例7】已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解.
【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
因为是偶函数，则其图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
又在上单调递增，则在上单调递减，
又，则有，
当，即时，需，
解得或；
当，即时，需，无解；
综上，不等式的解集为.
故选：D
【变式7-1】已知，则（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【答案】D
【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可.
【详解】，
即
设①，
则②
①+②得
，
所以，
又，
所以.
故选：D.
【变式7-2】已知函数定义域为R，且满足，，，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用赋值法推出，判断①，利用赋值法得，结合，可判断②；利用赋值法结合函数的奇偶性求出，判断③，设，根据函数的对称性可判断④.
【详解】对于，令，则，
即，①错误；
令，则，即，
而对于，令，则，矛盾，
故②错误；
由题意知，，
令，则，
令，则，
故，③错误；
又可得，
设，则，
即，即函数的图象关于直线对称
即函数的图象关于直线对称，④正确，
故选：B
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是④的判断，解答时要根据已知等式进行变形为，从而设，可得，即可判断其正误.
【变式7-3】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且函数的图象关于点对称，作出函数在上的图象以及函数的图象，数形结合可得出结果.
【详解】因为定义在上的奇函数满足，
则，所以，函数是周期为的周期函数，
则，故函数的图象关于点对称，
当时，，
作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点，
且这个交点有三对点关于点对称，
因此，函数在上所有零点的和为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数.
考点8 函数的性质综合问题
【例8】已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，函数的图像关于直线对称且关于点对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图像，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和.
【详解】因为，所以的图像关于点对称，
又因为，则用替换得，，
所以的图像关于直线对称.由得，，则，所以是以为一个周期的周期函数.
又当时，，则在恒成立，即在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减.
因为方程的根即为的根，即为的图像与直线交点的横坐标，当时，在直线上对应点的纵坐标为，
所以由数形结合得，的图像与直线在区间上有个交点，所以由图像关于点对称，得方程所有根之和为.
故选：B.
【变式8-1】已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
不等式，则
当时，有，即或，解得或，又，；
当时，有，即或，又，解得；
综上，不等式的解集为.
故选：C.
【变式8-2】已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案.
【详解】根据可得的图象关于对称，
因为，所以，
的周期为4，
，，，
，，
，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
．
故选：D．
【变式8-3】已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的最大值为 D．函数有8个零点
【答案】D
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，由于是定义域为且周期为4的奇函数，故，，
同理，+，故选项A正确；
对于选项C，因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，
当时，，
所以时，，故，
得到时，，
当时，，，
得到时，，
则当时，， ，
当时，，，
当时，，，
则当时，，
所以，，
易知，也是周期为4的周期函数，函数图像如图所示，在x处有最大值，
故，故选项C正确；
对于选项B，由图像知，对称轴为，
易知，k＝1时，，故选项B正确；
对于选项D，画出与的图像，
因为时，，时，；时，；时，，
如图所示，y＝g(x)与y共由9个交点，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用函数的周期性，从而得出的图像，利用图像，数形结合来解决问题.3.2 函数的性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）（拓展）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）（拓展）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题（拓展）
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题（拓展）
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
考点1 求函数单调区间
【例1】函数的单调递减区间为 ．
【变式1-1】函数的单调递减区间为 .
【变式1-2】函数的单调增区间为
【变式1-3】已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
考点2 由单调性解不等式
【例2】函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点3 由奇偶性求参数值
【例3】已知是奇函数，则 .
【变式3-1】若为偶函数，则 .
【变式3-2】若函数是偶函数，则实数的值为 ．
【变式3-3】函数是奇函数，则 .
考点4 由奇偶性求解析式
【例4】为定义在上的奇函数，当时，，则时， ．
【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
【变式4-2】已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时， .
【变式4-3】已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则 ．
考点5 由奇偶性解不等式
【例5】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
考点6 由周期性求函数值
【例6】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B．0 C． D．
【变式6-1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．3
【变式6-2】已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式6-3】已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
考点7 由对称性求函数问题
【例7】已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】已知，则（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【变式7-2】已知函数定义域为R，且满足，，，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式7-3】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
考点8 函数的性质综合问题
【例8】已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的最大值为 D．函数有8个零点

展开更多......

收起↑