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第二章 方程（组）与不等式（组）
第三节 分式方程及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2 分式方程的增根或无解 ☆
考点3分式方程的应用 ☆☆☆
1．分式方程的概念： 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 ，使 的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
（3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根．
（4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解
3．分式方程的应用：
（1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
（2）常见类型及数量关系
■考点一　解分式方程
◇典例1：（2023 西湖区二模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
◆变式训练
1．（2022 余杭区一模）把分式方程去分母后化为整式方程为（　　）
A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1
2．（2022 北仑区一模）方程的解为 　　．
3．（2022 仙居县二模）解方程：．
4．（2022 定海区一模）阅读下列解题过程．
解方程：．
解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），
方程两边化简，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）
去括号，移项，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0
解这个方程，得x＝2
∴x＝2是原方程的解．
你认为此解法是否正确？若不正确，请写正确的解题过程．
■考点二 分式方程的解
◇典例2：（2023 日照）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠
◆变式训练
1．（2023 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
2．（2021 浙江模拟）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
■考点三 分式方程的应用
◇典例3：（2023 乐清市模拟）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
（1）求该商品的单价；
（2）2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a＝15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
◆变式训练
1．（2023 郧阳区模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3） B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3） D．900（x+1）＝900（x+3）×2
2．（2023 缙云县二模）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　）
A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的天数
3．（2022 北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
1．（2023 义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
2．（2022 永嘉县三模）解方程，以下去分母正确的是（　　）
A．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5 B．x2﹣3x﹣x2+3＝5
C．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5（x﹣2） D．x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2）
3．（2022 宁波一模）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
4．（2022 丽水一模）在如下解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5．（2022 丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（　　）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
6．（2021 舟山）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 仙居县二模）某店有某商品现打8折，用320元购买该商品，打折后比打折前可以多买1件．设原价为x元，则根据题意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 萧山区一模）如图，边长为a的大正方形剪去4个边长为x的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，则根据题意可知a，x满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 　　．
10．（2023 绍兴）方程的解是 　　．
11．（2023 南湖区模拟）分式方程：的解是 　　．
12．（2023 上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　10　千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
13．（2022 宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝．若（x+1） x＝，则x的值为 　　．
14．（2023 鄞州区校级一模）如果关于x的方程无解，则a的值为　　．
15．（2023 慈溪市一模）对于实数x，y（x≠y），我们定义运算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．则方程F（x，1）＝2的解为 　　．
16．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
17．（2022 嘉兴）解方程：．
18．（2022 柯城区二模）解分式方程：．
19．（2022 衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
20．（2023 温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
1．（2023 海南）分式方程的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
2．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．（2021 湖州模拟）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2 B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2
4．（2023 黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数．则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
5．（2023 鹿城区校级二模）某校购买了一批篮球和足球，购买的篮球和足球的数量相同，其中足球花费2000元，篮球花费3500元，已知篮球单价比足球贵30元．设足球的单价为x元．则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 新昌县模拟）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程，则方程中关于x的含义理解正确的是（　　）
A．篮球有x个 B．每个篮球x元 C．足球有x个 D．每个足球x元
7．（2023 椒江区一模）“杭台高铁”台州至杭州铁路长为236千米，从台州到杭州乘某趟“G”字头列车比乘某趟“D”字头列车少用15分钟，“G”字头列车比“D”字头列车每小时多行驶40千米，设“G”字头列车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 无锡）分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．（2021 杭州模拟）若实数x满足，则的值为（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．±3
10．（2021 萧山区模拟）若分式的值等于﹣1，则x＝　　．
11．（2022 嵊州市模拟）分式方程的解为 　　．
12．（2021 西湖区校级二模）当x＝　0　时，代数式与的值相等．
13．（2023 宁波模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝．若（x﹣1） （x+1）＝，则x的值为 　　．
14．（2023 路桥区一模）定义一种新运算，当a≠b时，．若2※x＝4，则x＝　　．
15．（2021 杭州模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为 　　．
16．（2021 湖州）解分式方程：．
17．（2023 金华模拟）解方程：．
18．（2022 玉环市一模）解方程：．
19．（2023 滨江区模拟）小辉在解一道分式方程的过程如下：
方程整理，得，
去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，
移项，合并同类项，得x＝1，
检验，经检验x＝1是原来方程的根．
小辉的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
20．（2022 镇海区二模）4月23日是“世界读书日”，宁波某学校为了更好地营造读书好、好读书、读好书的书香校园．学校图书馆决定去选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果学校图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共多少本？
21．（2023 舟山模拟）某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式？
（3）在第（2）问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润．
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第三节 分式方程及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2 分式方程的增根或无解 ☆
考点3分式方程的应用 ☆☆☆
1．分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
（3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根．
（4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解
3．分式方程的应用：
（1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
（2）常见类型及数量关系
■考点一　解分式方程
◇典例1：（2023 西湖区二模）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝1．
【点拨】根据解分式方程的步骤计算即可．
【解析】解：有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2022 余杭区一模）把分式方程去分母后化为整式方程为（　　）
A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1
【考点】解分式方程．
【答案】C
【点拨】分式方程变形后，两边同乘（x﹣2）去分母化为整式方程，判断即可．
【解析】解：分式方程去分母得：3＝x﹣2+1．
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2022 北仑区一模）方程的解为 　x＝﹣5　．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝﹣5．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：2x+4＝x﹣1，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5．
故答案为：x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2022 仙居县二模）解方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝2．
【点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】解：，
x﹣x2＝x（x﹣3），
解得：x＝0或x＝2，
检验：当x＝0时，x（x﹣2）＝0，
∴x＝0是原方程的增根，
当x＝2时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
4．（2022 定海区一模）阅读下列解题过程．
解方程：．
解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），
方程两边化简，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）
去括号，移项，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0
解这个方程，得x＝2
∴x＝2是原方程的解．
你认为此解法是否正确？若不正确，请写正确的解题过程．
【考点】解分式方程；分式的混合运算．
【答案】x＝．
【点拨】不正确，写出正确的解题过程即可．
【解析】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）+4x＝﹣2（x+2），
去括号得：x﹣2+4x＝﹣2x﹣4，
移项合并得：7x＝﹣2，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
■考点二 分式方程的解
◇典例2：（2023 日照）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】D
【点拨】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
【解析】解：，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝，
∵分式方程的解为正数，
∴4﹣3m＞0且，
∴m＜且m≠．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】D
【点拨】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得m的取值范围即可．
【解析】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．
2．（2021 浙江模拟）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】分式方程的解．
【答案】C
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，
解得：m＝2，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
■考点三 分式方程的应用
◇典例3：（2023 乐清市模拟）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
（1）求该商品的单价；
（2）2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a＝15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【考点】分式方程的应用．
【答案】（1）该商品的单价为21元；
（2）①甲的平均单价等于乙的平均单价；②26或28．
【点拨】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可；
（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为50件 二月份甲购进的商品数量为70件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出（120﹣m﹣n）件，再根据销售额＝成本+利润列出方程推出，再由m、n都是正整数，得到m＜30，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到m≥25，进而得到25≤m＜30且m是正整数，再由也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为26或28．
由题意得，30m+30×0.9n+（30×0.9﹣2）（120﹣m﹣n）＝1050+1050+1050，
【解析】解：（1）设该商品的单价为x元，
由题意得，，
解得x＝21，
经检验，x＝21是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；
（2）①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件，乙两次一共购买的商品数量为，
∴甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，即＝，
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
②甲商品一月份一共购进的商品数量为件
当a＝15时，则二月份甲购进的商品数量为件，
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出50+70﹣m﹣n＝（120﹣m﹣n）件，
由题意得，30m+30×0.9n+（30×0.9﹣2）（120﹣m﹣n）＝1050+1050+1050，
∴30m+27n+3000﹣25m﹣25n＝3150，
∴5m+2n＝150；
∴，
∵m、n都是正整数，
∴150﹣5m＞0，
∴m＜30，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
∴，
∴，
∴m≥25，
∴25≤m＜30且m是正整数，
又∵也是正整数，
∴m必须是偶数，
∴m的值为26或28．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 郧阳区模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3） B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3） D．900（x+1）＝900（x+3）×2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】B
【点拨】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
，
即900（x+1）＝900（x﹣3）×2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
2．（2023 缙云县二模）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　）
A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的天数
【考点】分式方程的应用．
【答案】A
【点拨】根据方程中的实际意义求解即可．
【解析】解：由方程可得，
方程中x表示实际每天铺设管道的长度．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用题，能正确分析题目中的等量关系是解题的关键．
3．（2022 北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
【考点】分式方程的应用．
【答案】（1）甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【点拨】（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，由题意：用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出w＝2a+12000，再由新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，列出a的一元一次不等式，解得a≤500，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【解析】解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则1.4x＝1.4×20＝28，
答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，
由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，
∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，
解得：a≤500，
∵w随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元），
此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本）
答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
1．（2023 义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
【考点】解分式方程．
【答案】A
【点拨】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：＝1，
去分母得：x﹣2＝3，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2022 永嘉县三模）解方程，以下去分母正确的是（　　）
A．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5 B．x2﹣3x﹣x2+3＝5
C．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5（x﹣2） D．x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2）
【考点】解分式方程．
【答案】D
【点拨】利用等式的性质在分式方程两边分别乘（x﹣2）即可．
【解析】解：A、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此选项不符合题意．
B、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此选项不符合题意．
C、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此选项不符合题意．
D、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．
3．（2022 宁波一模）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
【考点】解分式方程．
【答案】C
【点拨】方程两边都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：，
方程两边都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣1≠0，
所以x＝3是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
4．（2022 丽水一模）在如下解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【考点】解分式方程．
【答案】B
【点拨】观察4个步骤，找出根据等式的基本性质即可．
【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性质）
x﹣3+x＝x﹣2……②（去括号法则）
x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性质）
∴x＝1……④（合并同类项法则）．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
5．（2022 丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（　　）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】D
【点拨】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．
【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得：＝﹣30，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．
6．（2021 舟山）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】B
【点拨】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．
【解析】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：．
故选：B．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2023 仙居县二模）某店有某商品现打8折，用320元购买该商品，打折后比打折前可以多买1件．设原价为x元，则根据题意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】C
【点拨】根据原价是x元，则打折后的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合打折后比打折前可以多买1件，即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：由题意可得打折后价格为0.8x元，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（2023 萧山区一模）如图，边长为a的大正方形剪去4个边长为x的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，则根据题意可知a，x满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】A
【点拨】根据无盖纸盒的底面积为（a﹣2x）2，表面积为a2﹣4x2，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，可得，化简即可得出答案．
【解析】解：∵无盖纸盒的底面积为（a﹣2x）2，表面积为a2﹣4x2，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 　4　．
【考点】解分式方程．
【答案】4．
【点拨】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
【解析】解：由题意得：＝2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括号得：2x﹣6＝2，
移项，合并同类项得：2x＝8，
∴x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
10．（2023 绍兴）方程的解是 　x＝3　．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝3．
【点拨】解分式方程得结论．
【解析】解：去分母，得3x＝9，
∴x＝3．
经检验，x＝3是原方程的解．
故答案为：x＝3．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
11．（2023 南湖区模拟）分式方程：的解是 　x＝5　．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝5．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2023 上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　10　千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【考点】分式方程的应用．
【答案】10．
【点拨】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解析】解：设需加入甲种糖x千克，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴需加入甲种糖10千克．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．（2022 宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝．若（x+1） x＝，则x的值为 　　．
【考点】解分式方程．
【答案】
【点拨】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：根据题意得：，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
14．（2023 鄞州区校级一模）如果关于x的方程无解，则a的值为　2或1　．
【考点】分式方程的解．
【答案】1或2
【点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解析】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x＝﹣，
将x＝﹣代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
15．（2023 慈溪市一模）对于实数x，y（x≠y），我们定义运算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．则方程F（x，1）＝2的解为 　x＝3　．
【考点】解分式方程；实数的运算．
【答案】x＝3．
【点拨】根据新定义，可知F（x，1）＝，可得＝2，解分式方程即可．
【解析】解：根据新定义，可知F（x，1）＝，
∴＝2，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的根，
∴方程F（x，1）＝2的解为x＝3，
故答案为：x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义是解题的关键．
16．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【考点】解分式方程．
【答案】×；×；正确步骤见解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．（2022 嘉兴）解方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝﹣2．
【点拨】首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．
【解析】解：去分母得x﹣3＝2x﹣1，
∴﹣x＝3﹣1，
∴x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
∴原方程的解为：x＝﹣2．
【点睛】本题分别考查了解分式方程，解分式方程的基本方法时去分母．
18．（2022 柯城区二模）解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】无解．
【点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】解：，
2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须检验．
19．（2022 衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解析】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6，＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
20．（2023 温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
【考点】分式方程的应用．
【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
（2）可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
（3）文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点拨】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据a≥20，b≥20，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；
任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可．
【解析】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时2x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得，
由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
1．（2023 海南）分式方程的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
【考点】解分式方程．
【答案】A
【点拨】根据解方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，得出方程的解，注意检验．
【解析】解：去分母，得1＝x﹣5，
移项，得﹣x＝﹣5﹣1，
合并同类项，得﹣x＝﹣6，
系数化为1，得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴方程的解是x＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
2．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】分式方程的解．
【答案】B
【点拨】将x＝1代入原方程即可求出m的值．
【解析】解：将x＝1代入方程，得：，
解得：m＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．
3．（2021 湖州模拟）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2 B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2
【考点】解分式方程．
【答案】A
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解析】解：分式方程整理得：，
去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（2023 黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数．则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】C
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
【解析】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023 鹿城区校级二模）某校购买了一批篮球和足球，购买的篮球和足球的数量相同，其中足球花费2000元，篮球花费3500元，已知篮球单价比足球贵30元．设足球的单价为x元．则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】C
【点拨】设足球的单价为x元．根据其中足球花费2000元，篮球花费3500元，已知篮球单价比足球贵30元解方程即可得到结论．
【解析】解：根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2023 新昌县模拟）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程，则方程中关于x的含义理解正确的是（　　）
A．篮球有x个 B．每个篮球x元 C．足球有x个 D．每个足球x元
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】D
【点拨】由所列方程，可找出表示购买足球的数量，进而可得出x表示足球的单价．
【解析】解：∵购买足球的数量是篮球的2倍，且所列方程为，
∴表示购买足球的数量，表示购买篮球的数量，
∴每个足球x元．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2023 椒江区一模）“杭台高铁”台州至杭州铁路长为236千米，从台州到杭州乘某趟“G”字头列车比乘某趟“D”字头列车少用15分钟，“G”字头列车比“D”字头列车每小时多行驶40千米，设“G”字头列车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】D
【点拨】根据“G”字头列车速度为每小时x千米，可知“D”字头列车速度为每小时（x﹣40）千米．根据时间＝路程÷速度公式，结合“G”字头列车比乘某趟“D”字头列车少用15分钟，即可列出关于x的分式方程．
【解析】解：∵“G”字头列车速度为每小时x千米，
∴“D”字头列车速度为每小时（x﹣40）千米．
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系式，正确列出分式方程是解题的关键．本题的易错点在于单位不统一，列方程时需注意单位的转换．
8．（2021 无锡）分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考点】分式方程的增根．
【答案】D
【点拨】根据题意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解析】解：，
，
6+2（x﹣2）＝﹣m，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝中，
2＝，
解得：m＝﹣6，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9．（2021 杭州模拟）若实数x满足，则的值为（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．±3
【考点】换元法解分式方程．
【答案】A
【点拨】本题需先对方程进行变形，再用换元法即可求出的值．
【解析】解：由题意可得
，
故=3或0（其中0不符合题意，舍去）
故选：A．
【点睛】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，在解题时要能够对分式方程进行变形，并要换元法解出方程是本题的关键．
10．（2021 萧山区模拟）若分式的值等于﹣1，则x＝　3　．
【考点】解分式方程．
【答案】3．
【点拨】根据题意得出分式方程，再求出分式的解即可．
【解析】解：根据题意得：＝﹣1，
2＝﹣（1﹣x），
2＝﹣1+x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是所列方程的解，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要检验．
11．（2022 嵊州市模拟）分式方程的解为 　x＝3　．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝3
【点拨】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解析】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：2x＝3（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：∵当x＝3时，x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3，
故答案为：x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
12．（2021 西湖区校级二模）当x＝　0　时，代数式与的值相等．
【考点】解分式方程；代数式求值．
【答案】x＝0．
【点拨】根据题意列出分式方程，按分式方程的解法步骤解方程即可得解．
【解析】解：依题意得：=，
两边同时乘x﹣7得，x2＝7x，
即x（x﹣7）＝0，
解得：x1＝0，x2＝7．
检验：当x＝0时，x﹣7≠0，
所以x＝0是原方程的根，
当x＝7时，x﹣7＝0，
所以x＝7不是原方程的根．
所以原方程的解为：x＝0．
故答案为：x＝0．
【点睛】本题考查了分式方程的解法．掌握其解法是解决此题关键．
13．（2023 宁波模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝．若（x﹣1） （x+1）＝，则x的值为 　x＝2　．
【考点】解分式方程；实数的运算．
【答案】x＝2．
【点拨】根据题干的新定义，得到．再解这分式方程，进而求得x．
【解析】解：由题意得，．
去分母，得x+1+x﹣1＝3x﹣2．
移项，得x+x﹣3x＝﹣2+1﹣1．
合并同类项，得﹣x＝﹣2．
x的系数化为1，得x＝2．
检验：当x＝2，（x+1）（x﹣1）≠0．
∴该分式方程的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
14．（2023 路桥区一模）定义一种新运算，当a≠b时，．若2※x＝4，则x＝　4或　．
【考点】解分式方程；有理数的混合运算．
【答案】4或．
【点拨】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．
【解析】解：由题意可知：当x＜2时，则，
解得：，
经检验当时，2﹣x≠0，且x＜2，
∴是原方程的解；
当x＞2时，则，
解得：x＝4，
经检验当x＝4时，x﹣2≠0，且x＞2，
∴x＝4是原方程的解．
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
15．（2021 杭州模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为 　0.5或1.5　．
【考点】分式方程的解．
【答案】0.5或1.5
【点拨】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解析】解：，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
16．（2021 湖州）解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝4．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：2x﹣1＝x+3，
解得：x＝4，
当x＝4时，x+3≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．（2023 金华模拟）解方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝3．
【点拨】方程两边都乘x（x﹣2）得出x＝3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：，
方程两边都乘x（x﹣2），得x＝3（x﹣2），
解得：x＝3．
检验：当x＝3时，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
18．（2022 玉环市一模）解方程：．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝3．
【点拨】根据分式方程的求法：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解析】解：，
x﹣1+x﹣2＝3，
2x＝6，
x＝3，
经检验，x＝3是方程的解，
∴原方程的解为x＝3．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程根进行检验是解题的关键．
19．（2023 滨江区模拟）小辉在解一道分式方程的过程如下：
方程整理，得，
去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，
移项，合并同类项，得x＝1，
检验，经检验x＝1是原来方程的根．
小辉的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．
【答案】有错误，正确解答过程见解析．
【点拨】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解析】解：有错误，
正确的解答如下：
整理，得：，
去分母，得：x﹣1﹣（x﹣2）＝3x﹣4，
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣2≠0，
∴x＝是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
20．（2022 镇海区二模）4月23日是“世界读书日”，宁波某学校为了更好地营造读书好、好读书、读好书的书香校园．学校图书馆决定去选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果学校图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共多少本？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【答案】（1）甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；
（2）该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本．
【点拨】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，由题意：用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，由题意：用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，列出一元一次不等式，解不等式，进而得出结论．
【解析】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意得：，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，
由（1）知，乙种图书每本20元，甲种图书每本50元，
由题意得：50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
∴2a+8≤28，
则10+28＝38，
答：该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21．（2023 舟山模拟）某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式？
（3）在第（2）问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；
（2）购进A型商品78件，B型商品82件；购进A型商品79件，B型商品81件；购进A型商品80件，B型商品80件．
（3）购进A型商品80件，B型商品80件获得利润最大，最大利润为12 000元．
【点拨】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，由数量关系列出方程，即可求解；
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件．由A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，列出不等式，即可求解；
（3）分别求出三种方案的利润，即可求解．
【解析】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，
根据题意，得，
解得x＝150．
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
∴x+10＝160．
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件．
根据题意，得，
解得78≤m≤80，
因为m为整数，所以m可以为78，79，80；
所以共有3种进货方式：购进A型商品78件，B型商品82件；购进A型商品79件，B型商品81件；购进A型商品80件，B型商品80件．
（3）方式1获得的利润为（240﹣160）×78+（220﹣150）×82＝11 980（元）；
方式2获得的利润为（240﹣160）×79+（220﹣150）×81＝11 990（元）；
方式3获得的利润为（240﹣160）×80+（220﹣150）×80＝12 000（元）．
因为11 980＜11 990＜12 000，
所以购进A型商品80件，B型商品80件获得利润最大，最大利润为12 000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
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