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中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 方程（组）与不等式（组）
第二节 一元二次方程及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1一元二次方程的相关概念 ☆ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．
考点2一元二次方程的解法 ☆☆
考点3一元二次方程的根与系数的关系 ☆
考点4 一元二次方程的应用 ☆☆
1．一元二次方程的定义：
两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程的解法有 ， ， ， 四种.
(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．
(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为 ；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 ；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用 求出方程的解．
(3)公式法：求根公式 (其中 )．
(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为 ；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程 实数根．
②当Δ＝0时，方程 实数根．
③当Δ＜0时，方程 实数根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
4．一元二次方程的实际应用：
常见的等量问题：
(1)平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为 ．
(2)利润问题：
利润＝售价－ ，利润率＝ ，
销售价＝(1＋ )×进货价．
(3)利息问题：
利息＝本金× ×时间，本息和＝ ＋利息．
(4)面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝ ．
■考点一　一元二次方程的有关概念
◇典例1：（2023 兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
◆变式训练
1．（2021 永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
2．（2021 永嘉县模拟）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
3．（2023 长兴县二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值是 　　．
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2021 宁波模拟）解方程：x2﹣1＝3（x﹣1）．
◆变式训练
1．（2023 桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　6+　．
2．（2023 临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
3．（2021 宁波模拟）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
6．（2021 湖州模拟）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．
■考点三 一元二次方程根的判别式
◇典例3：（2023 龙湾区模拟）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜
◆变式训练
1．（2022 龙泉市一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0
2．（2022 金东区二模）已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（2023春 镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
■考点四 一元二次方程根与系数的关系
◇典例4：（2023 海曙区模拟）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
◆变式训练
1．（2023 诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2022 宁波模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2＝　　．
■考点五　 一元二次方程的应用
◇典例5：（2023 舟山模拟）某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率，设11月份的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．2500（1+x）（1+1.3x）＝3780 B．2500（1+x）2＝3780
C．2500（1+1.3x）2＝3780 D．2500（1+2.3x）＝3780
2．（2021 宁波模拟）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份桔梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
◆变式训练
1．（2022 衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
2．（2023 拱墅区三模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为x（x＞0），则x＝　　（用百分数表示）．
3．（2022 德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
1．（2022 婺城区模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
2．（2021 丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
3．（2023 浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
4．（2022 温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
4．（2021 台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
5．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
6．（2022 婺城区模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
3．（2021 杭州模拟）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
7．（2023 武义县一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则代数式x1+x2＝　 　．
8．（2022 金华模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值 　 　．
9．（2021 嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为　 　．
10．（2022 衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
11．（2021 婺城区模拟）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．
12．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
13．（2023 舟山一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同学的解答过程如右框：波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
14．（2023 宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
15．（2021 柯城区模拟）根据中国传统习俗，过年长辈总要给家里小朋友红包．小王统计了自己在2019年和2021年收到的五份“红包”数，详见表：
2019年“红包”数（单位：元） 300 800 500 500 400
2021年“红包”数（单位：元） 1000 m n 500 800
（1）求2019年收到的五份“红包”的平均数，众数和中位数．
（2）已知小王2021年收到的五份“红包”的平均数是720元，
①求从2019年到2021年，小王收到的“红包”的平均数的平均年增长率；
②若小王每次收到的“红包”都为百元的整数倍，且2021年收到的五份“红包”的中位数是800元，最多的是1000元，当m＞n时，求m，n的值．
1．（2023 永康市一模）方程x2﹣2x＝1经过配方后，其结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1
2．（2023 金东区一模）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2023 庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
4．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
5．（2023 温岭市一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0没有实数根，则n的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
6．（2023 金华模拟）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　）
A B C D
两边同时除以 （x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
7．（2021 温州模拟）若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，则关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
8．（2023 北仑区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9．（2022 台州模拟）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
10．（2022 宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
11．（2023 金华模拟）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
12．（2023 镇海区校级一模）燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱．而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为　　．
13．（2023 路桥区二模）阳光体育用品商店篮球销售价为每只100元，一次购买10只以上（含10只）可降价销售，购买30只以上（含30只）可再次降价销售．若两次降价的百分数相同，且一次购买30只，共需费用为2430元．若设每次降价的百分数为x，则可列方程为 　 　．
14．（2023 嘉善县一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，则＝　　．
15．（2023 吴兴区一模）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．
16．（2021 西湖区二模）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
17．（2021 浙江）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
18．（2023 拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根．
（1）写出m与n表示的数
（2）求出b的值
（3）你认为琮琮说的对吗？为什么？
19．（2021 菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
20．（2021 永嘉县校级模拟）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．
（1）饲养场的长为　　米（用含a的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
21．（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
22．（2023 大渡口区模拟）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第二节 一元二次方程及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1一元二次方程的相关概念 ☆ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．
考点2一元二次方程的解法 ☆☆
考点3一元二次方程的根与系数的关系 ☆
考点4 一元二次方程的应用 ☆☆
1．一元二次方程的定义：
两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．
(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．
(3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)．
(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
4．一元二次方程的实际应用：
常见的等量问题：
(1)平均增长率(下降率)问题：
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
(2)利润问题：
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
(3)利息问题：
利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
(4)面积问题：
如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
■考点一　一元二次方程的有关概念
◇典例1：（2023 兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
【考点】一元二次方程的解．
【答案】D
【点拨】由题意知，a+b+1＝0，则a+b＝﹣1，根据2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），计算求解即可．
【解析】解：由题意知，a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2023﹣a﹣b
＝2023﹣（a+b）
＝2024．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．
◆变式训练
1．（2021 永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】B
【点拨】利用一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解析】解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2个未知数，所以A选项不符合题意；
B、方程整理为x2﹣2x＝0，它为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C选项不符合题意；
D、方程含有分式，它不是一元二次方程，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2021 永嘉县模拟）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【答案】B
【点拨】方程整理为一般形式即可．
【解析】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
3．（2023 长兴县二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值是 　2　．
【考点】一元二次方程的解．
【答案】2．
【点拨】利用一元二次方程根的定义把x＝﹣1代入方程可得到a﹣b的值．
【解析】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0得a﹣b﹣2＝0，
所以a﹣b＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2021 宁波模拟）解方程：x2﹣1＝3（x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】（1）x1＝2，x2＝1；
【点拨】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
【解析】解：方程整理得：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝2，x2＝1；
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆变式训练
1．（2023 桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　6+　．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】6+．
【点拨】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【解析】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
解得x1＝2+．x2＝2﹣，
∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝2+，b＝2﹣，
∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．
故答案为：6+．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
2．（2023 临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】B
【点拨】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（2021 宁波模拟）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元一次方程．
【答案】圆圆的解答错误，正确解答见解析．
【点拨】利用因式分解法求解即可．
【解析】解：圆圆的解答错误，
正确解答如下：
∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．（2021 湖州模拟）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】x1＝5，x2＝﹣2．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解析】解：方程移项得：x2﹣4﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0，
即（x+2）（x﹣2﹣3）＝0，
所以x+2＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
■考点三 一元二次方程根的判别式
◇典例3：（2023 龙湾区模拟）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜
【考点】根的判别式．
【答案】B
【点拨】利用判别式的意义得到Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
◆变式训练
1．（2022 龙泉市一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0
【考点】根的判别式．
【答案】A
【点拨】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，取Δ＝0的选项即可得出结论．
【解析】解：A．x2﹣2x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+1＝2x有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B．x2+1＝0，
∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0没有实数根，选项B不符合题意；
C．x2﹣2x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D．x2﹣2x＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．”是解题的关键．
2．（2022 金东区二模）已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．
【答案】B
【分析】由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于□的一元一次不等式，解不等式即可得出□的取值，根据□的值即可得出结论．
【解析】解：∵方程□x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣8×□＞0，且□≠0，
解得：□＜2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
3.（2021 长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】（1）1；
（2）见解析．
【分析】（1）将x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解方程求得m的值；
（2）由根的判别式符号进行证明．
【解析】（1）解：∵方程的一个根为1，
∴1+m+m﹣3＝0，
∴m＝1；
（2）证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
■考点四 一元二次方程根与系数的关系
◇典例4：（2023 海曙区模拟）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
【考点】根与系数的关系．
【答案】C
【点拨】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，
∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，
∴＝
＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1
＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1
＝a2﹣a2﹣2a+1
＝﹣2a+1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
◆变式训练
1．（2023 诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【答案】D
【点拨】直接利用根与系数的关系将x＝1代入求出答案即可．
【解析】解：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，设另一根为m，
由根与系数的关系得：1×m＝﹣2，
∴另一根为﹣2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
2．（2022 宁波模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2＝　2　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【答案】2．
【点拨】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
【解析】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝3、x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：，．
■考点五　 一元二次方程的应用
◇典例5：（2023 舟山模拟）某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率，设11月份的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．2500（1+x）（1+1.3x）＝3780 B．2500（1+x）2＝3780
C．2500（1+1.3x）2＝3780 D．2500（1+2.3x）＝3780
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】A
【点拨】设11月份的增长率为x，则12月份的增长率是1.3x，故11月份的营业额为2500（1+x），12月份的营业额为2500（1+x）（1+1.3x），根据12月份的营业额达到3780万元，即可列方程．
【解析】解：设11月份的增长率为x，则12月份的增长率是1.3x，故11月份的营业额为2500（1+x），12月份的营业额为2500（1+x）（1+1.3x），
依题意可列方程为：2500（1+x）（1+1.3x）＝3780．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021 宁波模拟）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份桔梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【答案】（1）3元；（2）20．
【点拨】（1）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到桔梗的单价至少为多少元；
（2）根据题意，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解析】解：（1）设桔梗的单价为x元，则风铃草的单价是x元，
∵花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，
∴风铃草的销量为1000×＝600（朵），桔梗的销量为1000﹣600＝400（朵），
∵3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，
∴400x+600×x≥3600，
解得x≥3，
即桔梗的单价至少为3元；
（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，
解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），
即m的值是20．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式和一元二次方程，利用不等式的性质和方程的知识解答．
◆变式训练
1．（2022 衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】C
【点拨】设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出一元二次方程．
【解析】解：设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，
根据题意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系．
2．（2023 拱墅区三模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为x（x＞0），则x＝　20%　（用百分数表示）．
【考点】一元二次方程的应用；百分数的互化．
【答案】20%．
【点拨】利用2023年的新注册用户数＝2021年的新注册用户数×（1+新注册用户数的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.8（不符合题意，舍去），
∴x的值为20%．
故答案为：20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及百分数的互化，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022 德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）新的矩形绿地的长为40m，宽为20m；
（2）新的矩形绿地面积为1500m2．
【点拨】（1）设将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加y m，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解析】解：（1）设将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加y m，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
1．（2022 婺城区模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【考点】一元二次方程的解．
【答案】D
【点拨】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2022﹣a﹣b变形为2022﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解析】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2021 丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】D
【点拨】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解析】解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2023 浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【点拨】利用因式分解法解答，即可求解．
【解析】解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（2022 温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
【考点】根的判别式．
【答案】C
【点拨】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．
【解析】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ＝0．
4．（2021 台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【考点】根的判别式．
【答案】D
【点拨】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】C
【点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．
【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
6．（2022 婺城区模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【答案】A
【点拨】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021 杭州模拟）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】A
【点拨】设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
【解析】解：设道路的宽为x米，根据题意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
故选：A．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7．（2023 武义县一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则代数式x1+x2＝　2　．
【考点】根与系数的关系．
【答案】2．
【点拨】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则，．
【解析】解：∵2x2﹣4x+1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根的和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，是解题的关键．
8．（2022 金华模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值 　a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）　．
【考点】一元二次方程的解．
【答案】a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
【点拨】把x＝1代入方程得到a与b的关系式，确定出一对a与b的值即可．
【解析】解：把x＝1代入方程得：a+b﹣2019＝0，
当a＝2019时，b＝0，
则满足条件的实数a，b的值为a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
故答案为：a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（2021 嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为　50.7（1+x）2＝125.6　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】50.7（1+x）2＝125.6．
【点拨】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程．
【解析】解：依题意，得：50.7（1+x）2＝125.6．
故答案为：50.7（1+x）2＝125.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022 衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　15x（10﹣x）＝360　（不必化简）．
【考点】一元二次方程的解；几何体的展开图；一元二次方程的定义．
【答案】15x（10﹣x）＝360．
【点拨】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解析】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
【点睛】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
11．（2021 婺城区模拟）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝﹣，x2＝2．
【点拨】先移项得到（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】解：（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣1﹣1）＝0，
2x+3＝0或x﹣1﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
12．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
13．（2023 舟山一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同学的解答过程如右框：波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【考点】根与系数的关系．
【答案】波波的解法不正确．正确的解法见解答．
【点拨】波波的解法没有考虑根的判别式的意义，所以他的解法不正确．先利用根的判别式的意义得到m≤，然后利用根与系数的关系得到m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，最后利用k的取值范围确定m的值．
【解析】解：波波的解法不正确．
正确解法为：
根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝3，
∴x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+（2m﹣1）+1＝3，
整理得m2+2m﹣3＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
∵m≤，
∴m的值为﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．也考查了根的判别式．
14．（2023 宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；数学常识．
【答案】（1）；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由见解析．
【点拨】（1）由勾股定理求出AB的长，即可得出结论；
（2）设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，由勾股定理得出方程，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下：
设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，
整理得：x2+ax＝b2，
∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及数学常识，弄清题意是解本题的关键．
15．（2021 柯城区模拟）根据中国传统习俗，过年长辈总要给家里小朋友红包．小王统计了自己在2019年和2021年收到的五份“红包”数，详见表：
2019年“红包”数（单位：元） 300 800 500 500 400
2021年“红包”数（单位：元） 1000 m n 500 800
（1）求2019年收到的五份“红包”的平均数，众数和中位数．
（2）已知小王2021年收到的五份“红包”的平均数是720元，
①求从2019年到2021年，小王收到的“红包”的平均数的平均年增长率；
②若小王每次收到的“红包”都为百元的整数倍，且2021年收到的五份“红包”的中位数是800元，最多的是1000元，当m＞n时，求m，n的值．
【考点】一元二次方程的应用；中位数；众数．
【答案】（1）500，500，500．
（2）①20%；②m1＝800元，n1＝500元；m2＝900元，n2＝400；m3＝1000元，n3＝300元．
【点拨】（1）将数据重新排列后根据众数、中位数和平均数的定义求解可得出答案；
（2）①设平均数的平均年增长率x，可列出一元二次方程求出答案．
②根据平均数列等式，得到关于m、n的关系式，然后再利用m＞n，中位数是800，得到满足条件得m、n．
【解析】（1）2019年“红包”的平均数＝（300+800+500+500+400）÷5＝500（元），
众数500元，中位数500元．
（2）①设2019年到2021年小收到的红色的平均数的平均年增长率为x，
根据题意列方程：500（1+x）2＝720，
即（1+x）2＝1.44，
则1+x＝±1.2，
∴x＝20%或x＝﹣2.2（不合题意舍去）．
②由题意：1000+m+n+500+800＝720×5，
∴m+n＝1300．
∵m＞n，中位数是800，
∴m1＝800元，n1＝500元；
m2＝900元，n2＝400；
m3＝1000元，n3＝300元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，众数、中位数和平均数的定义，根据表格得出数据，并熟练掌握众数、中位数和平均数的定义是解题的关键．
1．（2023 永康市一模）方程x2﹣2x＝1经过配方后，其结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【点拨】利用完全平方公式进行配方即可得．
【解析】解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
2．（2023 金东区一模）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【答案】A
【点拨】根据根的判别式可以求得一元二次方程x2+x﹣1＝0 的根的情况，从而可以解答本题．
【解析】解：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式可以判断一元二次方程根的情况．
3．（2023 庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【点拨】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解析】解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2023 湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【点拨】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
【解析】解：由题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
5．（2023 温岭市一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0没有实数根，则n的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
【考点】根的判别式．
【答案】D
【点拨】根据关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0没有实数根，得到Δ＜0，求出n的取值范围，再找出符合条件的n的值即可．
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣n）＝4+4n＜0，
解得：n＜﹣1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键．
6．（2023 金华模拟）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　）
A B C D
两边同时除以 （x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
【考点】根的判别式；解一元一次方程；一元二次方程的一般形式；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】D
【点拨】方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解析】解：A．不符合解一元二次方程的方法；故A错误；
B．c＝3不是﹣3，故B错误；
C．配方时，等式两边应该加4，故C错误，
D．x（x﹣1）＝3（x﹣1），
x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝3．故D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程﹣因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
7．（2021 温州模拟）若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，则关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
【考点】根与系数的关系．
【答案】A
【点拨】根据题意可得x+2＝1或x+2＝3，解方程即可求解．
【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，
∴关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根满足x+2＝1或x+2＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
8．（2023 北仑区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【考点】根的判别式．
【答案】A
【点拨】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
9．（2022 台州模拟）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式．
【答案】D
【点拨】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
10．（2022 宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【答案】B
【点拨】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解析】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．
因此．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据已知条件把a、b看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根．
11．（2023 金华模拟）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
【考点】一元二次方程的解．
【答案】2022．
【点拨】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．
【解析】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
12．（2023 镇海区校级一模）燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱．而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为　10　．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】10
【点拨】根据等量关系：2014年销售利润仅为2013年当天利润的50%列出关系式，解方程即可确定出a的值．
【解析】解：根据题意得：40（1﹣4a%）×[250（1+a%）﹣（1+50%）×100]＝40×（250﹣100）×50%，
整理得：（1﹣4a%）（100+2.5a）＝75，即（a+25）（a﹣10）＝0，
解得：a＝﹣25（舍去）或a＝10，
则a的值为10．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
13．（2023 路桥区二模）阳光体育用品商店篮球销售价为每只100元，一次购买10只以上（含10只）可降价销售，购买30只以上（含30只）可再次降价销售．若两次降价的百分数相同，且一次购买30只，共需费用为2430元．若设每次降价的百分数为x，则可列方程为 　100（1﹣x）2 30＝2430　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】100（1﹣x）2 30＝2430．
【点拨】根据原销售价每只100元，连续两次降价，两次降价的百分数相同，且一次购买30只，共需费用为2430元，列一元二次方程即可．
【解析】解：根据题意，得100（1﹣x）2 30＝2430，
故答案为：100（1﹣x）2 30＝2430．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
14．（2023 嘉善县一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，则＝　　．
【考点】根与系数的关系；分式的化简求值．
【答案】．
【点拨】根据m≠0，把方程2m2﹣8m﹣3＝0两边同时除以m2，然后把，看成3x2+8x﹣2＝0的两个实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解析】解：由题意知：m≠0，n≠0，
把2m2﹣8m﹣3＝0变形为，
∵，，且m≠n，
∴把，看成3x2+8x﹣2＝0的两个实数根，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是解题的关键．
15．（2023 吴兴区一模）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【点拨】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解析】解：方程整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（2021 西湖区二模）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝0，x2＝．
【点拨】先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解析】整理为一般式，得：3x2﹣17x＝0，
∴x（3x﹣17）＝0，
则x＝0或3x﹣17＝0，
解得x1＝0，x2＝．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（2021 浙江）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【考点】换元法解一元二次方程；解一元一次方程；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】见试题解答内容
【点拨】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解析】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
18．（2023 拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根．
（1）写出m与n表示的数
（2）求出b的值
（3）你认为琮琮说的对吗？为什么？
【考点】一元二次方程的解；实数与数轴．
【答案】（1）m＝+1，n＝﹣+1；
（2）b＝﹣2；
（3）琮琮说得不对．
【点拨】（1）先利用勾股定理计算出AB＝，则OE＝AE﹣OA＝﹣1，OD＝AD+OA＝+1，然后表示出点D、E表示的数，从而得到m、n的值；
（2）把x＝+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（+1）2+（+1）b﹣4＝0，然后解关于b的方程即可；
（3）把x＝﹣+1代入方程得（﹣+1）2﹣2（﹣+1）﹣4＝5＝0，所以可判断x＝n一定是此方程的根，原式可判断琮琮说得不对．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴AE＝AD＝AB＝，
∵OA＝1，
∴OE＝AE﹣OA＝﹣1，OD＝AD+OA＝+1，
∴D点表示的数为+1，即m＝+1，
E点表示的数为﹣+1，即n＝﹣+1；
（2）把x＝+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（+1）2+（+1）b﹣4＝0，
解得b＝﹣2，
即b的值为﹣2；
（3）琮琮说得不对．
理由如下：
把x＝﹣+1代入方程得（﹣+1）2﹣2（﹣+1）﹣4＝5﹣2+1+2﹣2﹣4＝0，
所以x＝n一定是此方程的根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．（2021 菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【点拨】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解析】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2021 永嘉县校级模拟）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．
（1）饲养场的长为　（60﹣3a）　米（用含a的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）（60﹣3a）；
（2）a＝12．
【点拨】（1）用总长减去3a后加上三个1米宽的门即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，注意a的范围讨论．
【解析】解：（1）由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（a﹣1）+2＝60﹣3a；
故答案为：（60﹣3a）；
（2）由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）＝288，
解得a＝12或a＝8；
当a＝8时，60﹣3a＝60﹣24＝36＞27，
故a＝8舍去，
则a＝12．
【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；
（2）a＝20．
【点拨】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解析】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（2023 大渡口区模拟）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）x的值为10或30；
（2）花园的面积不能为400米2，理由见解析．
【点拨】（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得方程x（40﹣x）＝400，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【解析】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣x）米，
由题意得：x（40﹣x）＝300，
解得：x1＝10，x2＝30，
即x的值为10或30；
（2）花园的面积不能为400米2，理由如下：
由题意得：x（40﹣x）＝400，
解得：x1＝x2＝20，
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20，
即当AB＝20米，BC＝20米＜24米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为400米2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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