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第二单元 方程（组）与不等式（组）
第一节 一次方程（组）及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合性较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2一次方程（组）的概念 ☆
考点3一次方程（组）的解法 ☆☆
考点4一次方程（组）的应用 ☆☆☆
1．一次方程（组）的相关概念：
(1)方程是指含有未知数的 ．
(2)只含有 未知数，并且未知数的指数是 ，这样的方程叫做一元一次方程．
（3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.
(4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有 的方程组，叫做二元一次方程组．
(5)方程的解： 使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解．
2.等式的性质：
（1）等式的两边都加上(或减去) ，所得结果仍是等式；
（2）等式的两边都乘或都除以 ，所得结果仍是等式．
3．解一元一次方程的步骤：
(1) ：在方程两边都乘各分母的 ，注意不要漏乘．
(2) ：注意括号前的系数与符号．
(3) ：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要 ．
(4) ：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝．
4.解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程组的基本思想是消元，有 消元法与 消元法，还有一种常用的解法是换元法．
(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.
5．一次方程（组）的应用：
列方程（组）解应用题的步骤：① ；② ；③找出能够包含未知数的 ；④列出 ；⑤ ；⑥ ．
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2023 衢江区三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　　）
A．5a＝5b B．a+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．
◆变式训练
1．（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若，则x＝﹣2
2．（2021 安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
■考点二 一次方程（组）的相关概念
◇典例2：1．（2023 安吉县一模）已知3是关于x的方程2x﹣a＝1的解，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣7
2．（2022 上城区一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2021 杭州一模）已知﹣2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　 　．
2．（2021 凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　 　．
3．（2023 舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　 　．
■考点三 一次方程（组）的解法
◇典例3：1．（2023 杭州一模）解方程：．
2．（2021 嘉兴二模）解方程组．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
◆变式训练
1．（2023 温州一模）将方程去分母，结果正确的是（　　）
A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2）
C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣2
2．（2023 临平区二模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1，
去括号，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1，
移项，得6x﹣4x＝1﹣1+1，
合并同类项，得2x＝1，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
3．（2022 婺城区模拟）解方程组：．
■考点四　一次方程（组）的应用
◇典例4：1．（2023 龙游县一模）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是　　元．
2．（2023 浙江模拟）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
价格 商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
◆变式训练
1．（2023 余姚市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．
2．（2023 柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进行对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜 　6　场．
3．（2022 椒江区二模）李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为6升/百公里（100公里油耗为6升），在非高速路段平均油耗为7.5升/百公里，从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．
（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；
（2）若汽油价格为8元/升，高速路段过路费为0.45元/公里，求此次杭州到椒江的单程交通费用（交通费用＝油费+过路费）．
1．（2022 下城区校级二模）下列说法正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b
2．（2023 衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
4．（2021 苍南县模拟）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2023 钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9
6．（2023 绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 镇海区校级一模）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　　．
9．（2023 长兴县校级一模）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一个解是，则a＝　　．
10．（2021 浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 　　．
11．（2021 温州三模）某商品的买入价为a元，出售价为50元，则毛利率为（0＜a＜50）．若用p的代数式表示a＝　　．
12．（2022 黄岩区一模）方程组的解是 　　．
13．（2023 永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 　　里/小时．
14．（2021 萧山区模拟）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝　　．
15．（2021 余杭区二模）已知x＝﹣2是关于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．
16．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
17．（2023 台州）解方程组：．
18．（2021 台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
19．（2021 吴兴区二模）织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
1．（2020 三门县一模）已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky
2．（2023 永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
3．（2021 下城区一模）若，则（　　）
A．3x＝2+1 B．3x＝1﹣2 C．3x﹣1＝ D．3x﹣1＝1
4．（2022 滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
5．（2023 平阳县一模）解方程，以下去分母正确的是（　　）
A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1
C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝12
6．（2021 宁波模拟）若，其中a，b，c是实数，则（　　）
A．b+c＝a B． C． D．b+c＝abc
7．（2023 温州三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值为（　　）
A．7 B． C．10 D．15
8．（2021 杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（　　）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5 C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
9．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022 诸暨市二模）已知是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 　　．
11．（2022 松阳县一模）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为实数）．
（1）若x＝2a﹣1，则a的值是 　　；
（2）若x，y同时满足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，则a+b的值是 　　．
12．（2022 定海区一模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买一只羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，所列方程是 　　．
13．（2022 舟山二模）如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a+b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 　 　．
14．（2021 杭州模拟）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）．
15．（2022 台州）解方程组：．
16．（2021 衢江区一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
17．（2023 淳安县一模）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下：
小吴解法：由①﹣②，得3x＝3．
小严解法：由②，得3x+（x﹣3y）＝2．③
把①代入③，得3x+5＝2．
（1）上述两位同学的消元过程是否有误，请判断．
（2）请选择一种你喜欢的方法，解出方程组．
18．（2022 永嘉县三模）某品牌扫地机数据如表（开始工作时，已完成充电）．
剩余电量 扫地速度（平方米/分钟） 工作时间（分钟）
≥55% 一档 60
55%﹣5% 二档
≤5% 回充 30
小铭记录了该品牌扫地机的工作情况，如表．
工作时间（分钟） 5 16 28 50 52 57
扫地面积（平方米） 8.75 28 49 78.75 80.5 84.875
（1）设一档，二档扫地速度分别为a平方米/分钟，b平方米/分钟，求a，b的值．
（2）设扫地速度为一档时的最长连续工作时间为t分钟，求t的值．
（3）若扫地机工作100分钟，求它完成的扫地面积．
19．（2021 婺城区模拟）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
20．（2023 瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
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第二单元 方程（组）与不等式（组）
第一节 一次方程（组）及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合性较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2一次方程（组）的概念 ☆
考点3一次方程（组）的解法 ☆☆
考点4一次方程（组）的应用 ☆☆☆
1．一次方程（组）的相关概念：
(1)方程是指含有未知数的等式．
(2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
（3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.
(4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
(5)方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
2.等式的性质：
（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式；
（2）等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
3．解一元一次方程的步骤：
(1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘．
(2)去括号：注意括号前的系数与符号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝．
4.解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法．
(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.
5．一次方程（组）的应用：
列方程（组）解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答．
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2023 衢江区三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　　）
A．5a＝5b B．a+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．
【考点】等式的性质．
【答案】D
【点拨】根据等式的性质，分别判断即可．
【解析】解：∵a＝b，
∴5a＝5b，
故A不符合题意，
∵a＝b，
∴a+4＝b+4，
故B不符合题意；
∵a＝b，
∴b﹣2＝a﹣2，
故C不符合题意；
∵a＝b，
∴当c＝0时不成立，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若，则x＝﹣2
【考点】等式的性质．
【答案】A
【点拨】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、若，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2021 安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【考点】等式的性质．
【答案】D
【点拨】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【解析】解：∵，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键．
■考点二 一次方程（组）的相关概念
◇典例2：1．（2023 安吉县一模）已知3是关于x的方程2x﹣a＝1的解，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣7
【考点】一元一次方程的解．
【答案】B
【点拨】将x＝3代入方程计算即可求出a的值．
【解析】解：将x＝3代入方程2x﹣a＝1得：6﹣a＝1，
解得：a＝5．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2022 上城区一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】C
【点拨】把各选项代入方程，验证可得结论．
【解析】解：当时，﹣8﹣10＝﹣12≠2，故A选项不是二元一次方程的解；
当时，﹣4﹣2＝﹣6≠2，故B选项不是二元一次方程的解；
当时，4﹣2＝2，故C选项是二元一次方程的解；
当时，8+6＝14≠2，故D选项不是二元一次方程的解；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程解的验证办法是解决本题的关键．
◆变式训练
1．（2021 杭州一模）已知﹣2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　5　．
【考点】一元一次方程的解．
【答案】5
【点拨】把x＝﹣2代入方程即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【解析】解：把x＝﹣2代入方程，得：﹣4+a＝1，
解得：a＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
2．（2021 凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　﹣1　．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】﹣1．
【点拨】把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：把代入到方程中得：a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
3．（2023 舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　﹣2017　．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】﹣2017．
【点拨】根据二元一次方程解的定义可得a+2b＝3，再将2a+4b﹣2023化成2（a+2b）﹣2023，整体代入计算即可．
【解析】解：∵是方程ax+by＝3的解，
∴a+2b＝3，
∴2a+4b﹣2023＝2（a+2b）﹣2023
＝6﹣2023
＝﹣2017，
故答案为：﹣2017．
【点睛】本题考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的前提．
■考点三 一次方程（组）的解法
◇典例3：1．（2023 杭州一模）解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【答案】x＝1.5．
【点拨】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可．
【解析】解：去分母，得2（3x﹣2）﹣6＝5﹣4x，
去括号，得6x﹣4﹣6＝5﹣4x，
移项，合并同类项，得10x＝15，
系数化为1，得x＝1.5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2．（2021 嘉兴二模）解方程组．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】（1），（2），（3）．
【点拨】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【解析】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 温州一模）将方程去分母，结果正确的是（　　）
A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2）
C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣2
【考点】解一元一次方程．
【答案】A
【点拨】根据等式的性质两边都乘以6即可去掉分母．
【解析】解：，
去分母，得3（x+3）+6＝2（x﹣2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2．（2023 临平区二模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1，
去括号，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1，
移项，得6x﹣4x＝1﹣1+1，
合并同类项，得2x＝1，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次方程；等式的性质．
【答案】错误，正确的解答过程见解答．
【点拨】根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
【解析】解：圆圆的解答过程错误，
正确的解答过程如下：
，
去分母，得2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1），
去括号，得6x﹣2＝6﹣4x+1，
移项，得6x+4x＝6+1+2，
合并同类项，得10x＝9，
两边同除以10，得x＝．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．（2022 婺城区模拟）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】．
【点拨】①×2+②得出9x＝36，求出x，再把x＝4代入②求出y即可．
【解析】解：，
①×2+②，得9x＝36，
解得：x＝4，
把x＝4代入②，得4﹣2y＝6，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
■考点四　一次方程（组）的应用
◇典例4：1．（2023 龙游县一模）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是　500　元．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】500
【点拨】设这件衣服的进价x元，标价为（1+50%）x，根据题意可得等量关系：标价×八折﹣进价＝利润，根据等量关系列出方程即可．
【解析】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：
（1+50%）x×80%﹣x＝100，
解得：x＝500，
即：这件衣服的进价500元．
故答案为：500．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
2．（2023 浙江模拟）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
价格 商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）该商场第1次购进A商品200件，B商品150件；（2）B种商品是打9折销售的．
【点拨】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于54000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，
依题意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品是打9折销售的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
◆变式训练
1．（2023 余姚市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【答案】C
【点拨】设鸡x只，则兔（35﹣x）只，根据共有“94条腿”，即可列出相应的方程．
【解析】解，设鸡x只，则兔（35﹣x）只，
由题意可得：2x+4（35﹣x）＝94，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程．
2．（2023 柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进行对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜 　6　场．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】6．
【点拨】设甲胜了x场，根据“共赛10场，甲队保持不败，得22分”列出方程并解答．
【解析】解：设甲胜了x场，
由题意：3x+（10﹣x）＝22，
解得x＝6，
甲队胜了6场，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
3．（2022 椒江区二模）李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为6升/百公里（100公里油耗为6升），在非高速路段平均油耗为7.5升/百公里，从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．
（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；
（2）若汽油价格为8元/升，高速路段过路费为0.45元/公里，求此次杭州到椒江的单程交通费用（交通费用＝油费+过路费）．
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】（1）此次杭州到椒江高速路段的路程为250公里；
（2）244.5元．
【点拨】（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为x公里，则非高速路段的路程为y公里，由题意：从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．列出二元一次方程，解方程组即可；
（2）求出此次杭州到椒江的单程油费和过路费，即可解决问题．
【解析】解：（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为x公里，则非高速路段的路程为y公里，
由题意得：，
解得：，
答：此次杭州到椒江高速路段的路程为250公里；
（2）此次杭州到椒江的单程油费为：8×16.5＝132（元），
此次杭州到椒江的单程过路费为：0.45×250＝112.5（元），
∴此次杭州到椒江的单程交通费用为：132+112.5＝244.5（元），
答：此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1．（2022 下城区校级二模）下列说法正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b
【考点】等式的性质．
【答案】B
【点拨】根据等式的性质逐个判断即可．
【解析】解：A．∵a＝b，
∴a+c＝b+c，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，
∴ac2＝bc2，故本选项符合题意；
C．∵＝，
∴a2＝b2，
∴a＝±b，故本选项不符合题意；
D．当c＝0时，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数（或式子），等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
2．（2023 衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】A
【点拨】代入x，y的值，找出方程左边＝方程右边的选项，即可得出结论．
【解析】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，
∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；
B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；
C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；
D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
3．（2021 温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【考点】解一元一次方程．
【答案】D
【点拨】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解析】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣4x﹣2＝x，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．
4．（2021 苍南县模拟）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【答案】D
【点拨】方程组两方程相减即可求出结果．
【解析】解：，
①﹣②得：3x﹣3y＝6，
则x﹣y＝2，
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2023 钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【答案】D
【点拨】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2023 绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【答案】B
【点拨】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
【解析】解：由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2023 镇海区校级一模）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】C
【点拨】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
【解析】解：由题意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程组的解为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．
8．（2023 丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　2　．
【考点】一元一次方程的解．
【答案】2
【点拨】直接把x的值代入方程求出答案．
【解析】解：∵关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，
∴2×3+m﹣8＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
9．（2023 长兴县校级一模）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一个解是，则a＝　4　．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】4
【点拨】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把代入方程得：9﹣2a＝1，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2021 浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 　（答案不唯一）　．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】（答案不唯一）．
【点拨】把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．
【解析】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
当y＝1时，x＝11，
则方程的一组整数解为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（2021 温州三模）某商品的买入价为a元，出售价为50元，则毛利率为（0＜a＜50）．若用p的代数式表示a＝　　．
【考点】等式的性质；解二元一次方程．
【答案】．
【点拨】利用等式的性质将毛利率的公式进行变形，然后将p看作常数，求出a的值．
【解析】解：等式左右两边同时乘以a，可得：ap＝50﹣a，
移项，可得：ap+a＝50，
合并同类项，可得：（p+1）a＝50，
系数化1，可得：a＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查等式的性质，解二元一次方程，掌握等式的性质，将字母p看作常数解关于a的方程是解题关键．
12．（2022 黄岩区一模）方程组的解是 　　．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】．
【点拨】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解析】解：，
①﹣②，可得﹣x＝﹣4，
解得x＝4，
把x＝4代入①，可得：4+y＝1，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
13．（2023 永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 　60　里/小时．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【答案】60
【点拨】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【解析】解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：，
解得：，
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
14．（2021 萧山区模拟）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝　6　．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】6．
【点拨】根据题意得到关于x、y的方程组，利用加减消元法求得方程组的解，即可求得P的值，
【解析】解：由题意得，
①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，
①﹣③×2得﹣y＝3，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，
∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了解一元二次方程组，解方程组的方法有加减消元法和代入消元法．
15．（2021 余杭区二模）已知x＝﹣2是关于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．
【考点】一元一次方程的解．
【答案】a＝﹣
【点拨】把x＝﹣2代入（1﹣2ax）＝x+a，即可得出关于a的方程，求出方程的解即可．
【解析】解：把x＝﹣2代入（1﹣2ax）＝x+a得：（1+4a）＝﹣2+a，
解得：a＝﹣．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键．
16．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【考点】解一元一次方程．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【点拨】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【解析】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．（2023 台州）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】．
【点拨】利用加减消元法求解即可．
【解析】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
18．（2021 台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】（1）200毫升；
（2）60分钟．
【点拨】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；
（2）可设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解．
【解析】解：（1）250﹣75÷15×10
＝250﹣50
＝200（毫升）．
故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；
（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有
，
解得t＝60．
故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10分钟后药液流速．
19．（2021 吴兴区二模）织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】（1）甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元；
（2）有4种购买方案：①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条；
（3）不变，理由见解析．
【点拨】（1）甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意：该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，由题意：专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）求出利润是恒值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，
由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18﹣m，
∵m、n为正整数，
∴或或或，
即有4种购买方案：
①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条；
（3）不发生变化，理由如下：
∵利润w＝0.4m+2×25%×（18﹣m）＝9（元），
∴不同方案专卖店获利不发生变化．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
1．（2020 三门县一模）已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky
【考点】等式的性质．
【答案】C
【点拨】根据等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、x＝y的两边都减去k，该等式一定成立，故本选项不符合题意；
B、x＝y的两边都加上2k，该等式一定成立，故本选项不符合题意；
C、x＝y的两边都除以k，若k＝0无意义，所以不一定成立，故本选项符合题意；
D、x＝y的两边都乘以k，等式一定成立，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
2．（2023 永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【考点】一元一次方程的解．
【答案】A
【点拨】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解析】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
3．（2021 下城区一模）若，则（　　）
A．3x＝2+1 B．3x＝1﹣2 C．3x﹣1＝ D．3x﹣1＝1
【考点】解一元一次方程．
【答案】A
【点拨】根据解一元一次方程步骤中的去分母、移项判断即可．
【解析】解：，
两边同时乘2，得3x﹣1＝2，故C、D不正确；
等号两边同时加1得，3x＝2+1，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题考查的是解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
4．（2022 滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【考点】等式的性质．
【答案】B
【点拨】根据等式的性质，对原式进行分析即可．
【解析】解：将等式，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
5．（2023 平阳县一模）解方程，以下去分母正确的是（　　）
A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1
C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝12
【考点】解一元一次方程．
【答案】A
【点拨】去分母时，可以等式两边同时乘以分母的最小公倍数，即可得出答案．
【解析】解：方程两边同时乘以12，
得4（x+2）+3（2x﹣1）＝12．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2021 宁波模拟）若，其中a，b，c是实数，则（　　）
A．b+c＝a B． C． D．b+c＝abc
【考点】等式的性质．
【答案】D
【点拨】根据等式性质，等式两边乘以bc即可选出正确答案．
【解析】解：∵．
根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．
∴．
∴abc＝c+b．
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．
7．（2023 温州三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值为（　　）
A．7 B． C．10 D．15
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【答案】C
【点拨】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入3x+ky＝10，求解即可得到答案．
【解析】解：，
②﹣①×2得：5y＝4，
，
将代入①得：3x+4＝6，
，
∴方程组的解为，
将代入3x+ky＝10得：，
∴k＝10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
8．（2021 杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（　　）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5 C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】D
【点拨】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案．
【解析】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则
25（1+x）＝60.5．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）＝现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
9．（2023 宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】B
【点拨】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解析】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
10．（2022 诸暨市二模）已知是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 　1　．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】1．
【点拨】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把代入方程得：4+3a＝7，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（2022 松阳县一模）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为实数）．
（1）若x＝2a﹣1，则a的值是 　1　；
（2）若x，y同时满足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，则a+b的值是 　8　．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【答案】（1）1；（2）8．
【点拨】（1）用加减消元法求出x＝a，再将已知条件代入即可求a是值；
（2）由（1）得x＝a，y＝b﹣6，将此解代入方程ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，得到方程，再①﹣②×2即可得到关于a+b的二元一次方程，求解a+b即可．
【解析】解：（1），
①+②，得
x＝a，
∵x＝2a﹣1，
∴a＝1，
故答案为1；
（2）由（1）知，x＝a，
∴y＝b﹣6，
∵x，y同时满足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，
∴，
整理得，
③﹣④×2，得
a2+b2+2ab﹣16a﹣16b+64＝0，
∴（a+b）2﹣16（a+b）+64＝0，
∴a+b＝8，
故答案为8．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握加减消元法解方程组的方法，在求a+b时，通过观察，将方程组适当变形为关于a+b的二元一次方程是解题的关键．
12．（2022 定海区一模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买一只羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，所列方程是 　　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【答案】．
【点拨】设羊价为x钱，根据题意可得合伙的人数为或，由合伙人数不变可得方程．
【解析】解：设羊价为x钱，
根据题意可得方程：，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．
13．（2022 舟山二模）如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a+b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 　218或225或232　．
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】218或225或232．
【点拨】设横式纸盒x个，竖式纸盒为y个，由题意得，整理得a+b＝5x+5y，再由285＜a+b＜315，得285＜5x+5y＜315，然后由y＝x+30，解得13.5＜x＜16.5，即可解决问题．
【解析】解：设横式纸盒x个，竖式纸盒为y个，
由题意得：，
整理得：a+b＝5x+5y，
∵a+b的值在285和315之间（不含285与315），
∴285＜a+b＜315，
∴285＜5x+5y＜315，
又∵y＝x+30，
∴285＜5x+5（x+30）＜315，
解得：13.5＜x＜16.5，
∵x为整数，
∴x＝14或15或16，
当x＝14时，a＝218；当x＝15时，a＝225；
当x＝16时，a＝232；
即a的值可能是218或225或232，
故答案为：218或225或232．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键．
14．（2021 杭州模拟）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移项合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移项合并得：x＝﹣1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时各项都乘以各分母的最小公倍数．
15．（2022 台州）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】．
【点拨】通过加减消元法消去x求出y的值，代入第一个方程求出x的值即可得出答案．
【解析】解：，
②﹣①得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
16．（2021 衢江区一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　①　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次方程．
【答案】（1）①；
（2）过程见解答．
【点拨】（1）观察解题过程，找出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解析】解：（1）上述解答过程从第①步开始出现错误；
（2）正确解答过程为：
方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括号，得2x﹣3x+3＝6，
合并同类项，得﹣x+3＝6，
移项，得﹣x＝3，
∴x＝﹣3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
17．（2023 淳安县一模）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下：
小吴解法：由①﹣②，得3x＝3．
小严解法：由②，得3x+（x﹣3y）＝2．③
把①代入③，得3x+5＝2．
（1）上述两位同学的消元过程是否有误，请判断．
（2）请选择一种你喜欢的方法，解出方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】（1）小吴的消元过程有误；
（2）．
【点拨】（1）根据已知步骤得出答案即可；
（2）由①﹣②得出﹣3x＝3，求出x，再把x＝﹣1代入①求出y即可．
【解析】解：（1）上述两个解题过程中，小吴的消元过程有误；
（2），
由①﹣②，得﹣3x＝3，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，
解得：y＝﹣2，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（2022 永嘉县三模）某品牌扫地机数据如表（开始工作时，已完成充电）．
剩余电量 扫地速度（平方米/分钟） 工作时间（分钟）
≥55% 一档 60
55%﹣5% 二档
≤5% 回充 30
小铭记录了该品牌扫地机的工作情况，如表．
工作时间（分钟） 5 16 28 50 52 57
扫地面积（平方米） 8.75 28 49 78.75 80.5 84.875
（1）设一档，二档扫地速度分别为a平方米/分钟，b平方米/分钟，求a，b的值．
（2）设扫地速度为一档时的最长连续工作时间为t分钟，求t的值．
（3）若扫地机工作100分钟，求它完成的扫地面积．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】（1）a＝1.75，b＝0.875；
（2）40；
（3）105平方米．
【点拨】（1）由题意判断出一档和二档切换时间在第28分钟和第50分钟之间，即可求出a，b的值；
（2）由（1）知工作50分钟时，二档工作时间为（50﹣t）分钟，根据50分钟的扫地面积为78.75平方米列出方程，解方程即可得到答案；
（3）分析扫地机工作100分钟时各档的工作时间，再利用扫地面积＝各档的速度×时间，即可求出结论．
【解析】解：（1）∵8.75÷5＝1.75（平方米/分钟），28÷16＝1.75（平方米/分钟），49÷28＝1.75（平方米/分钟），78.75÷50＝1.575（平方米/分钟），
∴一档和二档切换时间在第28分钟和第50分钟之间，
∴a＝1.75，（57﹣52）b＝84.875﹣80.5，
∴b＝0.875．
答：a的值为1.75，b的值为0.875．
（2）依题意得：1.75t+0.875（50﹣t）＝78.75，
解得：t＝40．
答：t的值为40．
（3）依题意可知：在前40分钟时，扫地机的速度为第一档；在40分钟到60分钟时，扫地机的速度为第二档；在60分钟到90分钟时，扫地机回充；在90分钟到100分钟时，扫地机的速度为第一档，
∴1.75×（40+10）+0.875×（60﹣40）＝1.75×50+0.875×20＝105（平方米）．
答：它完成的扫地面积为105平方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据表格中的数据，分析出一档和二档切换时间在第28分钟和第50分钟之间；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）正确的找出各档的工作时间．
19．（2021 婺城区模拟）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【答案】（1）每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元；
（2）费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，3D打印机130台．
【点拨】（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，根据“购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，根据“总费用不超过300万元，但不低于280万元”，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出费用最低的购买方案．
【解析】解：（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元．
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，
依题意得：，
解得：150≤m≤170．
设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，则w＝0.5m+1.5（300﹣m）＝﹣m+450，
∵k＝﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝170时，w取得最小值，
∴费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，3D打印机130台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
20．（2023 瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；解分式方程；一元一次方程的应用．
【答案】（1）甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
【点拨】（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，由甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天得：，解方程并检验可得答案；
（2）甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），设甲乙车间各被抽走a人，根据抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变列方程可解得答案；
（3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，可得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，即，设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝﹣40n+60000，由一次函数性质可得答案．
【解析】解：（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，
由题意得：，
解得x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，也符合题意，
∴2x＝1200，
∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）由题意知：甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），
设甲乙车间各被抽走a人，
根据题意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，
根据题意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴，
设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝3400×（）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W随n的增大而减少，
∵17m+8n＝300，
∴m为4的倍数，即m最小为4，
∴n最大值为29，
∴当n＝29时，总费用W最小值为﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，涉及一次函数，二元一次方程等知识，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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