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延庆区 2023-2024学年第一学期期末考试
高一数学参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）C （2）B （3）A （4）A （5）D
（6）C （7）C （8）D （9）B （10）D
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（11）[0,1) （12） 15 （13） 10
4 7
（14） （注：第一空 3分，第二空 2分）
27 27
（15）②④ （注：选对一个得 3分，全部正确的 5分，有错误选项得 0分）
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） BC AC AB b a , …………2分
1 1
AD a + b . …………5分
2 2
1 1 5 1
（Ⅱ） BE AE AB AD AB (a b) a a + b ……10分
3 6 6 6
AF
（Ⅲ）设 ，则 AF AC b ， ………11分
AC
BF AF AB a + b ………12分
5 1

因为 BF 与 BE 共线，所以 6 6 . ………13分
1
1 AF 1
所以 ，即 ………14分
5 AC 5
（17）（本小题 14 分）
6
解：（Ⅰ）成绩优秀的学生共有6 人， 0.3， ……2分
20
所以这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3 . ……4分
（Ⅱ）[90,95)中有 4人，[95,100]中有 2人 ……6分
从样本成绩优秀的[90,95)，[95,100]两组学生中任意选取 2人，其样本空间可记为：
{{a1, a2},{a1,a3},{a1,a4},{a1,b1},{a1,b2},{a2 ,a3},{a2 ,a4},{a2 ,b1},{a2 ,b2},
高一数学答案 第 1 页（共 6 页）
{a3 , a4},{a3 ,b1},{a3 ,b2},{a4 ,b1},{a4 ,b2},{b1,b2}}共包含15 个样本点. ……8分
记 A：两人来自同一组，则
A {{a1, a2},{a1, a3},{a1, a4},{a2 , a3},{a2 , a4},{a3 ,a4},{b1,b2}}共包含7 个样本
点，9分
7
所以 p(A) ……11分
15
（Ⅲ）81或84 ……14分（对一个2分）
（18）（本小题 13分）
选择①
27 27 1
（Ⅰ） f ( ) f (27) log2 log2 27 log …3分 2 3log2 2 3
8 8 8
9
（Ⅱ） 线段 AB 的中点为C 为 ( ,0) …4分
2
9 9
A1 ， B1 ，C1 分别为 (1,0),(8,3),( , log ) …7分 2
2 2
9 3
线段 A1B1 中点M 为 ( , ) …8分
2 2
2
（i） A1B1 (7,3),| A1B1 | 7 3
2 58 ； …9分
3
3 3 9
（ii） |CM| log2 2 log
2
2 2 log2 2 2 ， |CC | log . …11分 1 2
2 2 2
2 9 2 81 9
( 2 2 ) ，8 ( ) ， 所以2 2 …12分
2 4 2
9
所以 log 2 2 log 即 |CM| |CC1| …13分 2 2
2
选择②
1 1
27 27 3 3
（Ⅰ） f ( ) f (27) （ ）3 （27）3 3 …3分
8 8 2 2
9
（Ⅱ） 线段 AB 的中点为C 为 ( ,0) …4分
2
9 9
A1 ， B 31 ，C1 分别为 (1,1),(8,2),( , ) …7分
2 2
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9 3
线段 A1B1 中点M 为 ( , ) …8分
2 2
（i） A1B1 (7,1),|
2 2
A1B1 | 7 1 5 2 ； …9分
3 9
（ii） |CM| ， |CC | 3 . …11分 1
2 2
3 2 7 9 9 36
( )3 ， 3 ( 3 ) = ， …12分
2 8 2 2 8
3 9
所以 3 即 |CM| |CC | …13分 1
2 2
（19）（本小题 15 分）
2
（Ⅰ）当 x [0, 2]时，图像是二次函数的一部分，设解析式为 f (x)=ax bx c, (a 0)
2
或 f (x)=a(x 1) 8, (a 0) …1分（3分）

4a 2b c=4
a 4
b 2
根据题意可知： 1 或 a(2 1) 8 4, (a 0)，解得： b 8 ；…4分
2a
4ac b2
c 4
8
4a
x (2, ) x当 时，图像是指数函数的一部分，设解析式为 f (x)=a , (a 1) …5分
根据题意可知：a2 4，所以a 2 . …7分
2 4x 8x 4, x [0, 2]
所以 f (x)= …8分
x
2 , x （2, )
0 x 2 1 3
（Ⅱ）① ，解得 x ( , ) …10分 2
4x 8x 4 7 2 2
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x 2
② ，解得 x (log2 7, ) …12分
2
x 7
1 3
综上，不等式 f (x) 7的解集为 x ( , ) (log2 7, ) …13分
2 2
（Ⅲ）对于 x [a,b]，都有 f (x) g(x) 恒成立，则[a,b] [2,4]，
所以 a b （4,8） …15分
（20）（本小题 15 分）
x 1
解：（Ⅰ）当 x 2m 0时，若 f (x) log1 (3 1)= 2，则3 1=（ ）
3
3
所以 x= log3 8； …3分
x
（Ⅱ）若 f (x)是偶函数，所以 f ( x)= log (3 1) mx f (x) …5分 1
3
x x
即： log1 (3 1) mx log (3 1) mx …6分 1
3 3
x
x x 3 1
x x
3 (3 1)
所以 2mx log1 (3 1) log1 (3 1) log1 ( ) log ( ) x x 1 x
3 1 3 1
3 3 3 3
1
所以m …7分
2
1
（Ⅲ）当m 时，由（Ⅱ）可知
2
1 x
x
x 1 x 1 3 1
f (x) log 21 (3 1) x log1 (3 1) log1 ( ) log1 ( ) x
2 3
3 3 3 3 3
x
3 1
令m(x) ， x (0, )
x
3
在 (0, )上任取 0 x1 x2 ，
x x
x x 1 2
3 2 1 3 1 1 x2 x1 3 3 x2 x1 1
m(x2 ) m(x1) 3 3 ( 3 3 )(1 )x2 x1 x2 x1 x2 x1
3 3 3 3 3 3
x2 x1 1 1 1
因为 0 x1 x2，所以 3 3 1，0 1， 1 …8分 x2 x1 x2 x1
3 3 3 3
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x
3 1
所以m(x2 ) m(x1) 0，即m(x) ，在 (0, ) 单调递增 …9分 x
3
x
x 1 3 1
所以 f (x) log1 (3 1) x log1 ( ) 在 (0, ) 单调递减 …10分 x
2
3 3 3
x 1
又因为 f (x) log1 (3 1) x是偶函数，所以在 ( ,0) 单调递增 …11分
2
3
当 x 0时， f (x)max log1 2 log3 2
3
当 b log3 2时，方程 f (x) b，没有实数根. …12分
当 b log3 2时，方程 f (x) b，1个实数根. …13分
当 b log3 2时，
2b 1 2b
取 2b (0, )， f ( 2b) log1 ( 3 ) log 2b 1 3 b
3 3 3
在 (0, 2b)， f (0) log3 2 b， f ( 2b) b且 f (x)在 (0, ) 单调递减…14分
此时，方程 f (x) b，2 个实数根. …15分
（21）（本小题 14 分）
解（Ⅰ）根据题意，由 A 1,3 ，则 S 2,4,6 ，T 0,2 ； …………4 分
（Ⅱ）由于集合 A x x x x x T A1, x2 , x3, x4 ， 1 2 3 4 ，且 ，
所以T 中也只包含四个元素，因为 0 x2 x1 x3 x1 x4 x1 ，
即T 0, x2 x1, x3 x1, x4 x1 且 x1=0 ， …………6 分
剩下的 0 x3 x2 x4 x2 ， 0 x4 x3 x4 x2 ， x4 x2 x4 ，
所以 x4 x2 x3 ， x3 x2 x4 x3 x2 ，
所以 x3 2x2， x4 3x2 ； …………8 分
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（Ⅲ）设 A a ,a , a 满足题意，其中a a a ， 1 2 k 1 2 k
则 2a1 a1 a2 a1 a3 a1 ak a2 ak a3 ak ak 1 ak 2ak
S 2k 1， a1 a1 a2 a1 a3 a1 ak a1， T k ，
S T ， S T S T 3k 1， …………10 分
S T 中最小的元素为 0，最大的元素为2ak ，
S T 2a *k 1， 3k 1 2ak 1 4049(k N )， k 1350， …………11 分
设 A {m,m 1,m 2 ,2024}，m N
则 S {2m,2m 1,2m 2 ,4048}，T {0,1,2 ,2024 m}，
2
因为 S T ，可得2024 m 2m ，即m 674 ， …………12 分
3
故m的最小值为675，于是当m 675时， A中元素最多， ………13分
即 A {675,676,677 ,2024}时满足题意，
综上所述，集合 A中元素的个数的最大值是1350． …………14 分
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