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开封五校2023~2024学年上学期期末联考高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，若，则（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
2．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D，
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
6．已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．
7．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前60项和（ ）
A． B．5 C．59 D．60
8．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线 l与直线垂直，且与圆相切，则直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
12．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数只有1个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则______．
14．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______．
15．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．
16．已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，求使成立的最大正整数的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．
开封五校2023~2024学年上学期期末联考－高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．B因为数列满足，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以．故选B．
2．D直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，抛物线的标准方程为．故选D．
3．C因为，所以，令，则．故选C．
4．D由圆经过点和，可知圆心在直线上，又圆心在直线上，所以的坐标为，半径，所以圆的面积为．故选D．
5．A因为为等比数列的前项和且，所以成等比数列，即3，6，成等比数列，所以，所以．故选A．
6．C由双曲线的方程知渐近线方程为，设，由题意，得，即，点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以．故选C．
7．B因为是方公差为2的等方差数列，所以是公差为2的等差数列，所以，解得，又，所以，所以，所以．故选B．
8．A 令，则，当时，单调递增，所以，即；令，则，当时，单调递增，所以，即，即．综上所述，．故选A．
9．CD 由直线与直线垂直可设直线为，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为．因为直线与圆相切，所以，解得或，所以直线的方程是．或．故选CD．
10．AC ，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．
11．BCD 由题意，得，故A错误；，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；，即，所以，故C正确；，又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，故D正确．故选BCD．
12．BD 由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A错误；令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；由上知在上单调递减，故，故错误；当时，单调递增，又在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故D正确．故选BD．
13．12由题意知，所以，又由椭圆的定义，得．
14．由题意可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以，即的取值范围是．
15． ，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增．又，所以当时，在区间上只有一个变号的根，即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为．
16．15 因为双曲线的离心率为2，所以，不妨设，因为点在上，所以两式相减，得，因为点是的中点，所以，所以，即，所以，同理，因为，所以．
17．解：（1）设数列的公差为，
因为 是 和 的等差中项， 所以 ，
即，解得，所以．
（2）因为，所以，
由，得， 又，
所以使成立的最大正整数为44．
18．解：（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，有极小值－5．所以．
（2）由（1）知．令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
19．（1）证明：因为平面，四边形是矩形，所以两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得．所以．
因为，所以，即．
（2）解：由（1）得．
设是平面的一个法向量，则，
令，得，所以．
因为平面，所以平面，
所以平面的一个法向量为．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）当时，，又，所以．
由，得，两式相减，得，即，
所以是首项为2，公比为的等比数列，因此的通项公式
设等差数列的公差为，则由，得，
又，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由及，得，
所以
设的前项和为，则．
设的前项和为，则，
两式相减，得，所以．
所以．
21．解：（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得，
因为的最小值为，所以，所以椭圆的方程为．
因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，
所以拋物线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不符合条件，舍去．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，，
．
所以．
联立，得，
，
则．
因为，所以，解得．
所以直线的方程为或．
22．解：（1）的定义域为，，
由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立，
即恒成立，即恒成立．
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是．
（2），因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，
故且，所以， ，
又恒成立，即恒成立，
．
设，则
在上恒成立，故在上单调递减，
所以，
所以，即实数的取值范围为．

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