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7.3 数列求和综合
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝＝.
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；
指数型；
对数型.
等
4．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点1 分组求和
【例1】．在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）变形得到，得到结论；
（2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得.
【详解】（1）（且），
（且），
，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）是首项为2，公比为2的等比数列，
，故，
.
【变式1-1】已知数列满足
(1)令，求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义判断，即可证明；
（2）根据题意，结合分组求和法，再由等差数列求和以及等比数列求和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）∵，
∴数列是以首项为，公比为等比数列；
（2）由（1）可知：，
∴，
从而
故.
【变式1-2】已知数列满足，．
(1)记，证明：是等比数列，并求的通顶公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由题意得，所以是等比数列，根据等比数列的通项公式即得
（2）由（1）的结论和求出的通顶公式，再由分组求和即得.
【详解】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比数列，
（2）由（1）得，得，
所以，
即
【变式1-3】已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；
（2）分组求和方法求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
【变式1-4】已知等差数列的前n项和为 ，且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足 求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，
解得，故；
（2）由（1）可得，
故
.
考点2 裂项相消求和
【例2】已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数列递推式可得当时递推式，和已知等式相减即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.
【详解】（1）由题意得，①
当时，，②
由①-②得，即，
又时，，满足上式，
综上，.
（2）由（1）可得，
故，
设数列的前项和为，
所以
.
【变式2-1】在等差数列中，是它的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设出等差数列的公差，根据条件列出两个方程，解之得首项与公差，继而写出数列的通项公式；
（2）将所求新数列的通项化简成，再根据裂项相消法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设的公差为，由可得：①，
由可得：，整理得：②，
联立①②可解得：，
故数列的通项公式为：.
（2）由（1）得，不妨设，
则，
故.
【变式2-2】已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）裂项相消法求和，证明出结论.
【详解】（1）因为成等比数列，且，
所以，由，解得，
所以.
（2）由，
得，
由，有，所以，得.
【变式2-3】在数列中，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的定义及等比中项的性质可得结果；
（2）根据裂项相消求和法可得结果.
【详解】（1）由，即，可知数列是以1为公差的等差数列．
因为成等比数列，所以，所以，解得，
所以，
故数列的通项公式为.
（2），
则
所以数列的前n项和.
【变式2-4】已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】(1)设数列的公比为,根据题意得求得公比,即可得通项公式.
(2)根据题意得代入并化简,再用裂项相消法求前2023项和即可.
【详解】（1）设数列的公比为,则
是和的等差中项,即解得或或（舍去）
当时,
当时,
（2）,由(1)知
故的前2023项和为
考点3 错位相减求和
【例3】已知数列满足，.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)将已知表达式变形为，通过配凑的方法可以得到是等差数列；
(2)由第一问可以求得数列的通项公式，代入，用错位相减法可以求得前n项和.
【详解】（1）由题可知，
所以，所以.
所以.
又，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，所以
所以.
所以.
所以.
两式相减，得
所以.
【变式3-1】已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与的关系式，即可得出结论；
（2）错位相减法求解数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
【变式3-2】已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义即可求得数列的通项公式；
（2）第一问结果代入第二问，用错位相减法求和.
【详解】（1）设等比数列的公比为.
由，得，
解得.
因为的各项均为正数，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以，
，
两式相减，得
所以.
【变式3-3】数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据累乘法或者利用等比数列的定义，结合等比通项的求解即可.
（2）根据错位相减法即可结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）方法1：
当．
又也适合上式，．
方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．
，
（2）由（1）知，①
②
①－②，
【变式3-4】已知数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）变形得到，则是首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；
（2）求出，利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，所以，
其中，故是首项为1，公比为2的等比数列，
故，所以；
（2），
所以①，
故②，
两式相减得，，
故.7.3 数列求和综合
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝＝.
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；
指数型；
对数型.
等
4．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点1 分组求和
【例1】．在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【变式1-1】已知数列满足
(1)令，求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和为.
【变式1-2】已知数列满足，．
(1)记，证明：是等比数列，并求的通顶公式；
(2)求数列的前项和．
【变式1-3】已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式1-4】已知等差数列的前n项和为 ，且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足 求数列的前n项和.
考点2 裂项相消求和
【例2】已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式2-1】在等差数列中，是它的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式2-2】已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求证：.
【变式2-3】在数列中，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式2-4】已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和．
考点3 错位相减求和
【例3】已知数列满足，.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【变式3-1】已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【变式3-2】已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式3-3】数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．
【变式3-4】已知数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前n项和为，求.

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